章节题目 第一节微分方程的基本概念 微分方程的定义 微分方程的解、特解、通解 内/微分方程的初值条件 蓉/积分曲线 提 要 微分方程的解的概念 重点分析 微分方程的解、特解、通解之间的联系与区别 微分方程的初值问题 难点分析 题布置 备注
1 章 节 题 目 第一节 微分方程的基本概念 内 容 提 要 微分方程的定义 微分方程的解、特解、通解 微分方程的初值条件 积分曲线 重 点 分 析 微分方程的解的概念 难 点 分 析 微分方程的解、特解、通解之间的联系与区别 微分方程的初值问题 习 题 布 置 P325 3、5 备 注
教学内容 问题的提出 例1一曲线通过点(12),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这 曲线的方程 解设所求曲线为y=y(x) dy 2x其中x=时,y y=∫2x即y=x2+C,求得C=1 所求曲线方程为y=x2+1 例2列车在平直的线路上以20米秒的速度行驶当制动时列车获得加速度-04米 /秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间内行驶了多少路 解设制动后t秒钟行驶s米s=s() 04t=0时,s=0.p ds dt y==04+cs=02r+cr+C2 代入条件后知C1=20,C2=0 ds =-0.4t+20 故s=-0.212+20t 开始制动到列车完全停住共需t=~=50(秒), 列车在这段时间内行驶了s=-0.2×502+20×50=500米) 、微分方程的定义 微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 例y=邓y,y"+2y-3y=e,(+x)dt+xdx=0,=x+ 实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式 分类1:常微分方程,偏常微分方程 微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之 分类2 一阶微分方程F(x,y,y)=0,y=f(x,y) 2
2 教 学 内 容 一、问题的提出 例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M (x, y) 处的切线的斜率为 2x ,求这 曲线的方程. 解 设所求曲线为 y = y(x) x dx dy = 2 其中x =1时, y = 2 y = 2xdx , 2 即 y = x +C 求得C =1, 1. 2 所求曲线方程为 y = x + 例 2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度−0.4 米 /秒 2 ,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路 程？ 解 设制动后t 秒钟行驶s 米, s = s(t) 0.4 2 2 = − dt d s = 0 , = 0, = = 20, dt ds t 时 s v 4 1 0. t C dt ds v = = − + 1 2 2 s = −0.2t +C t +C 代入条件后知 C1 = 20, C2 = 0 = = −0.4t + 20, dt ds v 故 0.2 20 , 2 s = − t + t 开始制动到列车完全停住共需 50( ), 0.4 20 t = = 秒 列车在这段时间内行驶了 0.2 50 20 50 500( ). s = − 2 + = 米 二、微分方程的定义 微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 y = xy, 2 3 , x y + y − y = e ( ) 0, 2 t + x dt + xdx = x y, x z = + 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 分类 1: 常微分方程, 偏常微分方程. 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之. 分类 2: 一阶微分方程 F(x, y, y ) = 0, y = f (x, y);
高阶(n)微分方程F(x,y,y…,y)=0. y/=f(x,y,y2…,ym-) 分类3:线性与非线性微分方程 y+P(x)y=Q(x),x(0)2-2yy+x=0 分类4:单个微分方程与微分方程组 3y-2 dx 三、主要问题求方程的解 微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之 设y=0(x)在区间I上有n阶导数,F(x,9(x)(x)…,qm(x)=0 微分方程的解的分类: (1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 例y=y,通解y=cex; +y=0,通解y=c1sinx+c2cosx (2)特解:确定了通解中任意常数以后的解 解的图象:微分方程的积分曲线 通解的图象:积分曲线族 初始条件:用来确定任意常数的条件 初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题 "BA.Jy=f(x,y) 过定点的积分曲线 =f(r,y,y) 阶 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线 例3验证函数x= C cos kt+C2snkt是微分方程+k2x=0的解并求满足 初始条件x=A2=0的特解 dt dt -kc sin kt +kC cos kt
3 高阶(n)微分方程 ( , , , , ) 0, ( ) = n F x y y y ( , , , , ). ( ) ( −1) = n n y f x y y y 分类 3: 线性与非线性微分方程. y + P(x) y = Q(x), ( ) 2 0; 2 x y − yy + x = 分类 4: 单个微分方程与微分方程组. = − = − 2 , 3 2 , y z dx dz y z dx dy 三、主要问题-----求方程的解 微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. 设y =(x)在区间I 上有n阶导数, ( , ( ), ( ), , ( )) 0. ( ) F x x x x = n 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. 例 y = y, ; x 通解 y = ce y + y = 0, sin cos ; 1 2 通解 y = c x +c x (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 一阶: = = = 0 0 ( , ) y y y f x y x x 过定点的积分曲线; 二阶: = = = = 0 = 0 0 0 , ( , , ) y y y y y f x y y x x x x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 例 3 验证:函数 x C coskt C sin kt = 1 + 2 是微分方程 0 2 2 2 + k x = dt d x 的解. 并求满足 初始条件 , 0 0 0 = = = = t t dt dx x A 的特解. 解 sin cos , 1 2 kC kt kC kt dt dx = − +
k C cos kt-k c. sin kt 将2和x的表达式代入原方程, -k(Ci cos kt+ C2 sin kt)+k-(Cl cos kt+C2 sin kt=0 故x=C1 cos kt+C2 sin kt是原方程的解 4.d。=0:C=4C=0 所求特解为x= Acos kt 补充:微分方程的初等解法:初等积分法 求解微分方程→求积分 (通解可用初等函数或积分表示出来) 四、小结 微分方程微分方程的阶微分方程的解 通解;初始条件;特解 初值问题;积分曲线 思考题 数y=3e2是微分方程y"-4y=0的什么解? 思考题解答 y=6 y-4y=12e2-43e2=0 y=3e2x中不含任意常数 故为微分方程的特解
4 cos sin , 2 2 1 2 2 2 k C kt k C kt dt d x = − − , 2 2 将 和x的表达式代入原方程 dt d x ( cos sin ) ( cos sin ) 0. 1 2 2 1 2 2 − k C kt +C kt + k C kt +C kt cos sin . 故x =C1 kt+C2 kt是原方程的解 , 0, 0 0 = = = = t t dt dx x A , 0. C1 = A C2 = 所求特解为 x = Acoskt. 补充: 微分方程的初等解法: 初等积分法. 求解微分方程 求积分 (通解可用初等函数或积分表示出来) 四、小结 微分方程;微分方程的阶;微分方程的解; 通解; 初始条件; 特解; 初值问题; 积分曲线; 思考题 函数 x y e 2 = 3 是微分方程 y − 4y = 0 的什么解? 思考题解答 6 , 2x y = e 12 , 2x y = e y − 4y = 12 4 3 0, 2 2 − = x x e e x y e 2 = 3 中不含任意常数, 故为微分方程的特解