《高等数学》课程电子教案：第一章 函数与极限（1.1）函数

章节题目 第一节函数 回顾集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值等概念 介绍函数的概念和函数的特性 内/有界性单调性奇偶性周期性 容/函数的概念与特性 提 要 函数的概念和函数的特性 重点分析 函数概念与特性的数学语言描述 难点分析 P 16:3、4(3)(5)(7)、6、8、10、1l、15(1)(3)、16 题布置 备注

1 章 节 题 目 第一节 函数 内 容 提 要 回顾集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值等概念 介绍函数的概念和函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数的概念与特性 重 点 分 析 函数的概念和函数的特性 难 点 分 析 函数概念与特性的数学语言描述 习 题 布 置 P16 ：3、4（3）（5）（7）、6、8、10、11、15（1）（3）、16 备 注

教学内容 基本概念 1集合:具有某种特定性质的事物的总体 组成这个集合的事物称为该集合的元素 a∈M,a∈M A={a1,a2,…,an}有限集 M={xx所具有的特征无限集 若x∈A,则必x∈B,就说4是B的子集记作AcB 数集分类 N--自然数集 Z-整数集 Q-有理数集 R-实数集 数集间的关系:NcZ,ZcO,OcR 若A<B,且B∈A就称集合A与B相等(A=B) 例如A={1,2},C={xx2-3x+2=0},则A=C 不含任何元素的集合称为空集(记作∞ 例如,(x∈Rx2+1=0)= 规定:空集为任何集合的子集 2区间:是指介于某两个实数之间的全体实数这两个实数叫做区间的端点 Va,b∈R,且a<b x<x<b称为开区间,记作(ab) x≤x≤b称为闭区间,记作[ab] {xa≤x<b称为半开区间,记作ab) x<x≤b称为半开区间,记作(ab 以上为有限区间

2 教 学 内 容 一、基本概念 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. aM , aM , { , , , } A = a1 a2  an 有限集 M ={x x所具有的特征} 无限集 若x A,则必xB,就说A是B的子集. 记作 A  B. 数集分类: N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集 数集间的关系: N  Z, Z  Q, Q  R. 若A B,且B  A,就称集合A与B相等. (A = B) 例如 A ={1,2}, { 3 2 0}, 2 C = x x − x + = 则 A =C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作) 例如, { , 1 0} 2 x x R x + = =  规定：空集为任何集合的子集. 2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.  a,b R,且a  b. {x a  x  b} 称为开区间, 记作(a,b) {x a  x  b} 称为闭区间, 记作[a,b] {x a  x  b} 称为半开区间, 记作[a,b) {x a  x  b} 称为半开区间, 记作(a,b] 以上为有限区间 o a b x o a b x

[a+∞)={x≤x}、(-,b)={xx0.数集x|x-ak0)-a≤x≤a ≥a(a>0)分x≥a或x≤-a 、函数概念 定义设x和y是两个变量,D是一个给定的数集,如果对于每个数x∈D,变量y 按照一定法则总有确定的数值和它对应,则称y是x的函数,记作y=f(x)

3 [a,+) ={x a  x}、 (−,b) ={x x  b} 无限区间 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 3.邻域: 设a与是两个实数, 且  0. 数集{x x − a  }称为点a的邻域 , 点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径. ( ) {   }. U a = x a −  x  a + 点a的去心的邻域, ( ). 0 记作U a ( ) { 0 }. 0 U a = x  x − a   4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意：常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法：通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 5.绝对值:    −   = 0 0 a a a a a ( a  0) 运算性质: ab = a b; ; b a b a = a − b  a b  a + b. 绝对值不等式: x  a (a  0)  − a  x  a; x  a (a  0)  x  a 或 x  −a; 二、函数概念 定义 设 x 和 y 是两个变量, D 是一个给定的数集，如果对于每个数 xD ,变量 y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y = f (x) o a x o b x x a− a a+  

=f(x) 因变量 自变量 数集D叫做这个函数的定义域 当x∈D时,称f(x)为函数在点x处的函数值 函数值全体组成的数集W={yy=f(x),x∈D称为函数的值域 函数的两要素:定义域与对应法则 对应法则/ 约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值 例如,y=√1-x2D:[-1 例如, D:(-11) 如果自变量在定义域内任取一个数值时,对应的函数值总是只有一个,这种函数 叫做单值函数,否则叫与多值函数. 例如,x2+y2=a 定义点集C=x,yy=f(x,x∈D称为函数y=f(x)的图形 几个特殊的函数举例 1当x>0 (1)符号函数y=sgnx=10当x=0 (2)取整函数y=[x,[x表示不超过x的最大整数 1当x是有理数时 (3)狄利克雷函数y=D(x) o当x是无理数时 (4)取最值函数y=max{f(x),g(x)}y=mn{f(x),g(x)} 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数称为分段函数 例如,f(x)= 例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间(t≥0)

4 数集 D 叫做这个函数的定义域 , ( ) . 当x0 D时 称f x0 为函数在点x0处的函数值 函数值全体组成的数集W ={y y = f (x), xD}称为函数的值域. 函数的两要素: 定义域与对应法则. 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值. 2 例如， y = 1− x D :[−1,1] 2 1 1 x y − 例如， = D :(−1,1) 如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数 叫做单值函数，否则叫与多值函数． 例如，x 2 + y 2 = a 2 ． 定义: 点集C ={(x, y) y = f (x), xD}称为函数y = f (x)的图形. 几个特殊的函数举例 (1)符号函数      −  =  = = 1 0 0 0 1 0 sgn x x x y x 当 当 当 (2)取整函数 y=[x]，[x]表示不超过 x 的最大整数 (3)狄利克雷函数    = = 当 是无理数时 当 是有理数时 x x y D x 0 1 ( ) (4)取最值函数 y = max{ f (x), g(x)} y = min{ f (x), g(x)} 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.    −  −  = 1, 0 2 1, 0 , ( ) 2 x x x x 例如 f x 例 1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压 U 与时间 t(t  0) 因变量 自变量 y = f (x) ( ( ) ) 0 x 对应法则f x y D W ( ) 0 f x

的函数关系式 ( [0,]时, E 2E 当t∈(六,]时,U-0-E-0.(-)即U=-2E (t-r) 当t∈(x,+∞)时,U=0. U=U()是一个分段函数其表达式为 2E 2E U(1)= (t-z),t∈(,] 例2边(1)J10≤x≤1 ,求函数f(x+3)的定义域 210,Wx∈X,有(x)sM成立 则称函数(x)在X上有界否则称无界 2.函数的单调性 设函数f(x)的定义域为D,区间∈D

5 的函数关系式. 解： ] , 2 当 [0, 时  t  t E U 2  = ; 2 t E  = , ] , 2 当 (  时  t  ( ), 2 0 0     − − − − = t E U ( ) 2   = − t − E 即U 当t (,+)时, U = 0. U =U(t)是一个分段函数,其表达式为           + − −   = 0, ( , ) , ] 2 ( ), ( 2 ] 2 , [0, 2 ( )        t t t E t t E U t 例 2 , ( 3) . 2 1 2 1 0 1 设 ( ) 求函数 + 的定义域    −     = f x x x f x 解    −     = 2 1 2 1 0 1 ( ) x x  f x    −  +   +   + = 2 1 3 2 1 0 3 1 ( 3) x x f x    − −   − −   − = 2 2 1 1 3 2 x x 故 :[−3,−1] Df 三、函数的特性 1．函数的有界性: 若X  D,M  0,x X,有 f (x)  M 成立, 则称函数f (x)在X上有界.否则称无界. 2．函数的单调性: 设函数 f (x)的定义域为D, 区间I D, t t o E , ) 2 ( E  2  2 

如果对于区间/上任意两点x及x2,当x1f(x2) 则称函数f(x)在区间上是单调减少的 f(u f(x) f(x) f(x2) 3.函数的奇偶性: 设D关于原点对称,对于wx∈D,有f(-x)=f(x)称f(x)为偶函数; 设D关于原点对称,对于vx∈D,有f(-x)=-f(x)称f(x)为奇函数; 4.函数的周期性: 设函数(x)的定义域为D,如果存在一个不为零的 数,使得对于任x∈D、(x±D∈D.则称f(x)为周 期函数称为(x)的周期且f(x+D=f(x)恒成立 (通常说周期函数的周期是指其最小正周期) 四、反函数 直接函数与反函数的图形关于直线y=x对称 例3设D(x)= 0x∈ 求D(-D(1-√2)并讨论D(D(x)的性质 解:D(-2)=1,D(1-√2)=0,D(D(x)=1, 单值函数,有界函数,偶函数,不是单调函数,周期函数(无最小正周期) 6

6 , , 如果对于区间I 上任意两点x1及x2 当x1  x2时 (1) ( ) ( ), 1 2 恒有 f x  f x 则称函数 f (x)在区间I上是单调增加的; 设函数 f (x)的定义域为D, 区间I D, , , 如果对于区间I 上任意两点x1及x2 当x1  x2时 (2) ( ) ( ), 1 2 恒有 f x  f x 则称函数 f (x)在区间I上是单调减少的; 3．函数的奇偶性: 设D关于原点对称, 对于xD, 有 f (−x) = f (x) 称 f (x)为偶函数; 设D关于原点对称, 对于xD, 有 f (−x) = − f (x) 称 f (x)为奇函数; 4．函数的周期性: 设函数f (x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一xD,(x l)D. 则称f (x)为周 期函数,l称为f (x)的周期. 且f (x +l) = f (x)恒成立. （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. 四、反函数 直接函数与反函数的图形关于直线 y = x 对称. 例 3 , 0 1 ( )      = x Q x Q 设 D x ), (1 2). ( ( )) . 5 7 求D(− D − 并讨论D D x 的性质 解： ) 1, 5 7 D(− = D(1− 2) = 0, D(D(x)) 1, 单值函数, 有界函数, 偶函数, 不是单调函数, 周期函数(无最小正周期) ( ) x1 f ( ) 1 f x ( ) 2 f x x y o I y = f (x) ( ) 1 f x ( ) 2 f x x y o I

五、小结 基本概念 集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值 函数的概念 函数的特性 有界性单调性,奇偶性周期性 反函数 思考题 设x>0,函数值f()=x+1+x2,求函数y=f(x)(x>0)的解析表达式 思考题解答 设=,则的1 +1+l 1+√1+ 故f(x)= X>

7 五、小结 基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数 思考题 设 x  0 ，函数值 2 ) 1 1 ( x x x f = + + ，求函数 y = f (x) (x  0) 的解析表达式. 思考题解答 设 u x = 1 , 则 ( ) 2 1 1 1 u u f u = + + , 1 1 2 u + +u = 故 . ( 0) 1 1 ( ) 2  + + = x x x f x