章节题目 第九节函数的连续性与间断点 函数在一点连续必须满足的三个条件 区间上的连续函数 内|间断点的分类与判别 容 提 要 间断点的分类与判别 重点分析 分段函数连续的判别 函数间断点的判别 难点分析 2(1)(3)、3 题布置 备注
1 章 节 题 目 第九节 函数的连续性与间断点 内 容 提 要 函数在一点连续必须满足的三个条件 区间上的连续函数 间断点的分类与判别 重 点 分 析 间断点的分类与判别 难 点 分 析 分段函数连续的判别 函数间断点的判别 习 题 布 置 P80：2（1）（3）、3 备 注
教学内容 函数的连续性 .函数的增量 设函数f(x)在U(x0内有定义,x∈U6(x) △x=x-x0,称为自变量在点x的增量 △y=f(x)-f(x),称为函数f(x)相应于Ax的增量 y=f(x) y=f(x) Xo+△xx 2连续的定义 定义1设函数f(x)在U(x0)内有定义如果当自变量的增量△x趋向于零时对 应的函数的增量△y也趋向于零,即linΔy=0或 im[f(x+Ax)-f(x)=0,那末就称函数f(x)在点x连续,x称为f(x)的连 续点 设x=x+Ax,△y=f(x)-f(x0) △x→>0就是x→>x,Δy→>0就是f(x)→>f(x) 定义2设函数f(x)在U6(x0)内有定义如果函数f(x)当x→x时的极限存在, 且等于它在点x处的函数值∫(x),即mf(x)=f(x)那末就称函数f(x)在 点x连续 E-O"定义 E>0,3δ>0,使当x-x<时恒旬f(x)-f(x)<E 例1试证函数f(x)=xmxx≠0在x=0处连续
2 教 学 内 容 一、函数的连续性 1.函数的增量 , . ( ) ( ) , ( ), 0 0 0 0 称为自变量在点 的增量 设函数 在 内有定义 x x x x f x U x x U x = − ( ) ( ), ( ) . y = f x − f x0 称为函数 f x 相应于x的增量 2.连续的定义 定义 1 设函数 f (x) 在 ( ) 0 U x 内有定义,如果当自变量的增量 x 趋向于零时,对 应的函数的增量 y 也趋向于零 , 即 lim 0 0 = → y x 或 lim [ ( 0 ) ( 0 )] 0 0 + − = → f x x f x x ,那末就称函数 f (x) 在点 0 x 连续, 0 x 称为 f (x) 的连 续点. , 0 设 x = x + x ( ) ( ), 0 y = f x − f x 0 , 0 x → 就是 x → x 0 ( ) ( ). 0 y → 就是 f x → f x 定义 2 设函数 f (x) 在 ( ) 0 U x 内有定义,如果函数 f (x) 当 0 x → x 时的极限存在, 且等于它在点 0 x 处的函数值 ( ) 0 f x ,即 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 那末就称函数 f (x) 在 点 0 x 连续. " −"定义: 0, 0, , ( ) ( ) . 0 0 使当x − x 时 恒有 f x − f x 例 1 0 . 0, 0, , 0, 1 sin 试证函数 ( ) 在 = 处连续 = = x x x x x f x x y 0 x y 0 0 x x0 + x y = f (x) x 0 x x0 + x x y y y = f (x)
证:∵ lim x sn-=0,又f(0)=0,lnf(x)=f(0) 由定义2知函数f(x)在x=0处连续 3单侧连续 若函数f(x)在(a,x0内有定义,且f(x0-0)=f(x0 则称f(x)在点x处左连续 若函数f(x)在[x,b)内有定义,且f(x+0)=f(x0), 则称f(x)在点x处右连续 定理:函数∫(x)在x处连续台是函数f(x)在x处既左连续又右连续 x+2,x≥0, 例2讨论函数f(x)=1x-2,x 在x=0处的连续性 0 A: Im f(r)=lm(+2)=2=f(o) lim f(x)=lm(x-2)=-2*f(o) x→0 右连续但不左连续,故函数f(x)在点x=0处不连续 4连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间 上连续 如果函数在开区间(a,b)内连续,并且在左端点x=a处右连续 在右端点x=b处左连续,则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如:有理函数在区间(-∞,+∞)内是连续的 例3证明函数y=snx在区间(∞,+∞)内连续 证:任取x∈(-0,+∞) △x y=sin(x+Ax)-sin x =2sin.cos(x+-) cos(x+ 251.则Ays2si 对任意的a,当a≠O时,有sna<a, 故Ay2m2(1:当△x→0时4y→0
3 证： 0, 1 lim sin 0 = → x x x 又 f (0) = 0, lim ( ) (0), 0 f x f x = → 由定义 2 知 函数 f (x)在x = 0处连续. 3.单侧连续 ( ) ; ( ) ( , ] , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处左连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x a x f x − = f x ( ) . ( ) [ , ) , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处右连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x x b f x + = f x 定理： ( ) ( ) . 函数 f x 在 x0 处连续 是函数 f x 在 x0处既左连续又右连续 例 2 0 . 2, 0, 2, 0, 讨论函数 ( ) 在 = 处的连续性 − + = x x x x x f x 解： lim ( ) lim ( 2) 0 0 = + → + → + f x x x x = 2 = f (0), lim ( ) lim ( 2) 0 0 = − → − → − f x x x x = −2 f (0), 右连续但不左连续 , 故函数 f (x)在点x = 0处不连续. 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间 上连续. , ( ) [ , ] . ( , ) , , 在右端点 处左连续 则称函数 在闭区间 上连续 如果函数在开区间 内连续 并且在左端点 处右连续 x b f x a b a b x a = = 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如： 有理函数在区间 (−,+)内是连续的. 例 3 证明函数 y = sin x在区间(−,+)内连续. 证： 任取x(−,+), y = sin( x + x) −sin x ) 2 cos( 2 2sin x x x + = ) 1, 2 cos( + x x . 2 2sin x y 则 对任意的,当 0时, 有sin , , 2 2sin x x y 故 当x →0时,y →0
即函数y=snx对任意x∈(-,+∞)都是连续的 函数的间断点 函数f(x)在点x处连续必须满足的三个条件 (1)f(x)在点x处有定义 (2)mf(x)存在 ()lim f(x)=f(ro) 如果上述三个条件中只要有一个不满足,则称函数f(x)在点x处 不连续(或间断,并称点x为f(x)的不连续点(或间断点) 1跳跃间断点 如果f(x)在点x处左,右极限都存在,但f(x0-0)≠f(x0+0),则称 点x0为函数f(x)的跳跃间断点 例4讨论函数f(x) -x,x≤0 在x=0处的连续性 解:f(0-0)=0,f(0+0)=1, ∵f(0-0)≠f(0+0) x=0为函数的跳跃间断点 2可去间断点 如果f(x)在点x处的极限存在,但imf(x)=A≠f(x0),或 f(x)在点x处无定义则称点x为函数f(x)的可去间断点 例5 2√x,0≤x<1 讨论函数(x)=1,x 在x=1处的连续性 1+x 1
4 即函数y = sin x对任意x(−,+)都是连续的. 二、函数的间断点 ( ) : 函数 f x 在点x0处连续必须满足的三个条件 (1) ( ) ; f x 在点x0处有定义 (2) lim ( ) ; 0 f x 存在 x→x (3) lim ( ) ( ). 0 0 f x f x x x = → ( ), ( ) ( ). , ( ) 0 0 不连续 或间断 并称点 为 的不连续点 或间断点 如果上述三个条件中只要有一个不满足 则称函数 在点 处 x f x f x x 1.跳跃间断点 ( ) . ( ) , , ( 0) ( 0), 0 0 0 0 点 为函数 的跳跃间断点 如果 在点 处左 右极限都存在 但 则称 x f x f x x f x − f x + 例 4 0 . 1 , 0, , 0, 讨论函数 ( ) 在 = 处的连续性 + − = x x x x x f x 解： f (0 − 0) = 0, f (0 + 0) =1, f (0 − 0) f (0 + 0), x = 0为函数的跳跃间断点. 2.可去间断点 ( ) ( ) . ( ) , lim ( ) ( ), 0 0 0 0 0 在点 处无定义则称点 为函数 的可去间断点 如果 在点 处的极限存在 但 或 f x x x f x f x x f x A f x x x = → 例 5 1 . 1 , 1, 1 0 1, 1, 2 , 讨论函数 ( ) 在 = 处的连续性 + = = x x x x x x f x
+x 解:∵f(1)=1,f(1-0)=2,f(1+0)=2, imf(x)=2≠f(1),∴x=0为函数的可去间断点 注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点 如例5中,令f(1)=2,则f()=2√x,0≤x<1在x=1处连续 1+x,x≥1, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点 特点:函数在点x处的左、右极限都存在 3第二类间断点 如果f(x)在点x处的左、右极限至少有一个不存在,则称点x为函数 f(x)的第二类间断点 例6讨论函数f(x)={x 在x=0处的连续性 x.x≤0 解:f(0-0)=0,f(0+0)=+∞, x=1为函数的第二类间断点这种情况称为无穷间断点 例7讨论函数f(x)=sn-在x=0处的连续性
5 解： f (1) =1, f (1− 0) = 2, f (1+ 0) = 2, lim ( ) 2 1 = → f x x f (1), x = 0为函数的可去间断点. 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 如例 5 中, 令 f (1) = 2, 1 . 1 , 1, 2 , 0 1, 则 ( ) 在 = 处连续 + = x x x x x f x 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点： . 函数在点x0处的左、右极限都存在 3.第二类间断点 ( ) . ( ) , 0 0 的第二类间断点 如果 在点 处的左、右极限至少有一个不存 在 则称点 为函数 f x f x x x 例 6 0 . , 0, , 0, 1 讨论函数 ( ) 在 = 处的连续性 = x x x x x f x 解： f (0 − 0) = 0, f (0 + 0) = +, x =1为函数的第二类间断点. 这种情况称为无穷间断点. 例 7 0 . 1 讨论函数 ( ) = sin 在x = 处的连续性 x f x o x y 1 1 2 y =1+ x y = 2 x
解::在x=0处没有定义,且 lim sin-不存在 x=0为第二类间断点.这种情况称为的振荡间断点 注意:不要以为函数的间断点只是个别的几个点 ★狄利克雷函数 =m)={1当是有理数时 0,当x是无理数时, 在定义域R内每一点处都间断且都是第二类间断点 x,当x是有理数时, ★f(x)= x,当x是无理数时, 仅在x=0处连续,其余各点处处间断 ★()≈1,当x是有理数时, -1,当x是无理数时 在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续 判断下列间断点类型 例8当a取何值时,函数f(x)= cOSx. x<0 在x=0处连续 +x,x≥0, 解:∵f(0)=a,limf(x)= lim cosx=1, lm f(x)=lim(a+x)=a 要使f(0-0)=f(0+0)=f(0),→a=1, 故当且仅当a=l时,函数∫(x)在x=0处连续 6
6 解：在x = 0处没有定义, . 1 lim sin 0 且 不存在 x→ x x = 0为第二类间断点. 这种情况称为的振荡间断点. 注意：不要以为函数的间断点只是个别的几个点. ★ 狄利克雷函数 = = 0, , 1, , ( ) 当 是无理数时 当 是有理数时 x x y D x 在定义域 R 内每一点处都间断,且都是第二类间断点. ★ − = , , , , ( ) 当 是无理数时 当 是有理数时 x x x x f x 仅在 x=0 处连续, 其余各点处处间断. ★ − = 1, , 1, , ( ) 当 是无理数时 当 是有理数时 x x f x 在定义域 R 内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续. 判断下列间断点类型: 例 8 0 . , 0, cos , 0, 当 取何值时,函数 ( ) 在 = 处连续 + = x a x x x x a f x 解： f (0) = a, f x x x x lim ( ) lim cos 0 0 → − → − = = 1, lim ( ) lim ( ) 0 0 f x a x x x = + → + → + = a, 要使 f (0−0) = f (0+0) = f (0), a =1, 故当且仅当a =1时, 函数 f (x)在x = 0处连续. x y 1 = sin
三、小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件 2区间上的连续函数; 3间断点的分类与判别; 间断点:第一类间断点可去型跳跃型.第二类间断点:无穷型振荡型 思考题 若f(x)在x连续,则f(x)、f2(x)在x是否连续?又若|f(x)、f2(x)在x 连续,f(x)在x是否连续? 思考题解谷 f(x)在x连续,∴imf(x)=f(x) 035(x)l-1(xo /(x)-f(xo): lim If(x)=f(xo) im f(x)= (x)I. lim f(x)=f(xo) 故f(x)、f(x)在x都连续 但反之不成立 例如:f(x) 在x=0不连续 但f(x)、f2(x)在x0=0连续
7 三、小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别; 间断点：第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 思考题 若 f (x) 在 0 x 连续，则 | f (x) |、 ( ) 2 f x 在 0 x 是否连续？又若 | f (x) |、 ( ) 2 f x 在 0 x 连续， f (x) 在 0 x 是否连续？ 思考题解答 f (x) 在 0 x 连续， lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 f x − f x f x − f x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → = → → → lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 2 f x f x f x x x x x x x ( ) 0 2 = f x 故 | f (x) |、 ( ) 2 f x 在 0 x 都连续. 但反之不成立. 例如： − = 1, 0 1, 0 ( ) x x f x 在 x0 = 0 不连续 但 | f (x) |、 ( ) 2 f x 在 x0 = 0 连续