章节题目 第一节导数的概念 导数的实质:增量比的极限 f(x0)=a分∫(x)=f(x0)=ar 内 蓉/导数的几何意义:切线的斜率 函数可导一定连续,但连续不一定可导 提求导数最基本的方法由定义求导数 要|判断可导性 导数的概念、几何意义 函数可导与连续的关系 利用导数的定义判断函数的可导性 重点分析 利用导数的定义判断分段函数的可导性 难点分析 习p:4、5(单、7、9、12(2、13、18 题布置 备注
1 章 节 题 目 第一节 导数的概念 内 容 提 要 导数的实质: 增量比的极限; f (x0 ) = a f − (x0 ) = ( ) ; f + x0 = a 导数的几何意义: 切线的斜率; 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 求导数最基本的方法: 由定义求导数. 判断可导性 重 点 分 析 导数的概念、几何意义 函数可导与连续的关系 利用导数的定义判断函数的可导性 难 点 分 析 利用导数的定义判断分段函数的可导性 习 题 布 置 P105：4、5（单）、7、9、12（2）、13、18 备 注
教学内容 问题的提出 1自由落体运动的瞬时速度问题 求t时刻的瞬时速度,取一邻近于t的时刻,运动时间M, 平均速度v=As=5-50=8(n+0) △tt-102 当t→1时,取极限得瞬时速度v=mS(t0+t)=go 2切线问题 割线的极限位置切线位置 如图:如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT直线MT就称为曲线C在点 M处的切线 y=f(x) 极限位置即:MV→0,∠NM→0. 设M(x02y)N(x,y)割线M的斜率为 0二 f(x)-f(o) tan p 曲线C →>M,x→x0 x-x x-xo 切线Mm的斜率为k=tna=lmf(x)-/(x) 二、导数的定义 定义 设函数y=f(x)在点x的某个邻域内有定义 当自变量x在x处取得增量△x(点x。+△x仍在该邻域内)时, 相应地函数y取得增量Ay=∫(x+△x)-f(x)
2 教 学 内 容 一、问题的提出 1.自由落体运动的瞬时速度问题 , 求t 0时刻的瞬时速度 , 0 取一邻近于t 的时刻t 运动时间t, t s v 平均速度 = 0 0 t t s s − − = ( ). 2 0 t t g = + , 当t →t 0时 取极限得 2 (t t) v lim 0 0 + = → g t t 瞬时速度 . = gt0 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图：如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋向极限位置 MT,直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的切线. 极限位置即： MN →0,NMT →0. ( , ), ( , ). 0 0 设 M x y N x y 割线MN的斜率为 0 0 tan x x y y − − = , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x − − = , , 0 N M x x ⎯沿曲线 ⎯ ⎯C→ → 切线MT的斜率为 . ( ) ( ) tan lim 0 0 0 x x f x f x k x x − − = = → 二、导数的定义 定义 设函数 y = f (x)在点x0的某个邻域内 有定义, 当自变量x在x0处取得增量 ( ) , x 点x0 + x仍在该邻域内 时 ( ) ( ); 0 0 相应地函数 y取得增量y = f x + x − f x T 0 x x o x y y = f (x) C N M
如果4y与A之比当Ax→>0时的极限存在 则称函数y=f(x)在点x处可导 并称这个极限为函数y=f(x)在点x处的导数 记为 d x =lm f(xo+Ar)-f(o) =Im 其它形式f(x0)=lm (x+b)-/(x).r(x)=m(x)=fc h 关于导数的说明: 点导数是因变量在点x处的变化率,它反映了因变量随 自变量的变化而变化的快慢程度 如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导,就称函 数f(x)在开区间/内可导 对于任一x∈l,都对应着f(x)的一个确定的导数值这个函 ★数叫做原来函数f()的导函数记作y,r(x)或当 即y=ln(x+Ax)-f(x) 或∫(x)=im f(x+h)-f(x) h 注意 1.f(x0)=f( 2导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数 ★单侧导数 1左导数:(x)=lmf(x)-∫(x=lmf(x0+△x)-/(x) 2右导数:∫“(x0)=Iim f(x)-f(xo) f(x0+△x)-f(x0) ★函数f(x)在点x处可导分→左导数广(x0)和右导数∫(x)都存在且相等 ★如果f(x)在开区间(ab)内可导,且f(a)及(b)都存在,就说f(x)在闭区 间[ab]上可导
3 如果y与x之比当x →0时的极限存在, ( ) , 则称函数y = f x 在点x0处可导( ) , 并称这个极限为函数 y = f x 在点x0处的导数 0 x x y = 记为 ， , ( ) 0 0 x x x x dx df x dx dy = 或 = 即 x f x x f x x y y x x x x + − = = → → = ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 其它形式 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h + − = → . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = → 关于导数的说明： ★ . , 0 自变量的变化而变化的快慢程度 点导数是因变量在点x 处的变化率 它反映了因变量随 ★ ( ) . ( ) , 数 在开区间 内可导 如果函数 在开区间 内的每点处都可导 就称函 f x I y = f x I ★ . ( ) ( ) . , ( ), , ( ) . dx df x dx dy f x y f x x I f x 数叫做原来函数 的导函数记作 或 对于任一 都对应着 的一个确定的导数值这个函 x f x x f x y x + − = → ( ) ( ) lim 0 即 . ( ) ( ) ( ) lim 0 h f x h f x f x h + − = → 或 注意: 1. ( ) ( ) . 0 0 x x f x f x = = 2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数. ★单侧导数 1.左导数: ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x + − = − − = → − →− − 2.右导数: ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x + − = − − = → + →+ + ★函数 f (x) 在点 0 x 处可导 左导数 ( ) 0 f x − 和右导数 ( ) 0 f x + 都存在且相等. ★如果 f (x) 在开区间 (a,b) 内可导，且 f (a) + 及 f (b) − 都存在，就说 f (x) 在闭区 间 a,b 上可导
★设函数f()=(x),x2x0,讨论在点x的可导性 y(x), x<xo 若 lim J(*+Ax)-f(o!=lim y(xo+Ax)-(x) =∫(x)存在 f(x0+△x)-f(x)=m少oax-(x) △x =f(x0)存在, 且(x0)=f(x0)=a 则f(x)在点x可导,且∫(x0)=a 三、由定义求导数 步骤: (1)求增量△y=f(x+△x)-f(x) (2)算比值=f(x+Ax)-f(x) (3)求极限y=lm 例1求函数f(x)=CC为常数)的导数 N: '(x)=lim (x+h)-()=limo C-C h 例2设函数f(x)=snx,求(sinx)及(snx) h M:(sin x)=lim sn(x+h)-sn x= lim cos(x+o) h h=cosx 即(snx)=cosx (sin x) COSX 例3求函数y=x"(n为正整数)的导数
4 ★ , . ( ), ( ), ( ) 0 0 设函数 0 讨论在点x 的可导性 x x x x x x f x = x f x x f x x + − →− ( ) ( ) lim 0 0 0 若 x x x x x + − = →− ( ) ( ) lim 0 0 0 ( ) , = f − x0 存在 x f x x f x x + − →+ ( ) ( ) lim 0 0 0 若 x x x x x + − = →+ ( ) ( ) lim 0 0 0 ( ) , = f + x0 存在 ( ) ( ) , 且 f − x0 = f + x0 = a 则 f (x) 在点 0 x 可导， ( ) . 且 f x0 = a 三、由定义求导数 步骤: (1)求增量 y = f (x +x)− f (x); ; ( ) ( ) (2) x f x x f x x y + − = 算比值 (3) lim . 0 x y y x = → 求极限 例 1 求函数 f (x) =C(C为常数)的导数. 解： h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h C C h − = →0 lim = 0. 即 (C) = 0. 例 2 ( ) sin , (sin ) (sin ) . 4 = = x 设函数 f x x 求 x 及 x 解： h x h x x h sin( ) sin (sin ) lim 0 + − = → 2 2 sin ) 2 lim cos( 0 h h h x h = + → = cos x. 即 (sin x) = cos x. 4 4 (sin ) cos = = = x x x x . 2 2 = 例 3 求函数 y x (n为正整数)的导数. n =
解:(x")=lm (x+1、m[mxn1+m(n-1) h x"h+…+h-] 更一般地(x4)=x (∈ 例如,(√xy=x (x-)=( 例4求函数f(x)=a(a>0,a≠1)的导数 Ai:(ay=im Q+h-d=a lm a=a ln a h 即(a2y=aha.(e^)=e 例5求函数y=og。x(a>0,a≠1)的导数 A: y'= lim logo(r+h)-log,x log (1+h) h h ap (log, x)'==log, e. (In x)'= 例6讨论函数f(x)=刚在x=0处的可导性 解 f(0+h)-f(0) h mf(0+h)-/(0 h→0 h h→0 m(0+h)-/(0)=mn=h=-1 h 即f(0)≠f(O),∴函数y=f(x)在x=0点不可导
5 解 ： h x h x x n n h n + − = → ( ) ( ) lim0 ] 2! ( 1) lim[ 1 2 1 0 − − − → + + − = + n n n h x h h n n nx − 1 = n nx ( ) . −1 = n n 即 x nx 更一般地 ( ) . ( ) 1 x = x R − 例如 , ( x ) 1 21 21 − = x . 2 1 x = ( ) 1 − x 1 1 ( 1 ) − − = − x . 12 x = − 例 4 求函数 f ( x ) = a ( a 0,a 1)的导数. x 解 ： h a a a x h x h x − = + →0 ( ) lim h a a h h x 1 lim0 − = → a ln a . x = ( a ) a ln a. x x 即 = ( ) . x x e = e 例 5 求函数 y = log x ( a 0,a 1)的导数. a 解 ： h x h x y a a h log ( ) log lim0 + − = → x xh xh a h 1 log ( 1 ) lim0 + = → hx a h xh x lim log ( 1 ) 1 0 = + → log . 1 e x = a log . 1 (log ) e x x a = a 即 . 1 (ln ) x x = 例 6 讨论函数 f (x) = x 在x = 0处的可导性. 解 ： , (0 ) (0) hh h f h f = + − hh h f h f h h → + → + = + − 0 0 lim ( 0 ) ( 0 ) lim =1 hh h f h f h h − = + − → − → − 0 0 lim ( 0 ) ( 0 ) lim = − 1 . ( 0 ) ( 0), + − 即 f f 函数y = f ( x ) 在x = 0点不可导
四、导数的几何意义与物理意义 1几何意义 f(x0)表示曲线y=f(x)在点M(x0,f(x)处的切线的斜率, 即f(x0)=ana,(a为倾角) 切线方程为:y-y=f(x0x-x) 法线方程为:y-y f(x)(x-无) 例7 求等边双曲线y=-在点(,2)处的切线的斜率,并写出在该点 处的切线方程和法线方程 解:由导数的几何意义,得切线斜率为 所求切线方程为y-2=-4(x-),即4x+y-4=0 法线方程为y-2=(x-)即2x-8y+15=0 2物理意义非均匀变化量的瞬时变化率 变速直线运动路程对时间的导数为物体的瞬时速度 as ds t→0△t dt 交流电路电量对时间的导数为电流强度 (1)=lm4g M→+0△tdt 非均匀的物体质量对长度(面积体积)的导数为物体的线(面体)密度 五、可导与连续的关系 定理凡可导函数都是连续函数 证:设函数f(x)在点x可导, lim Ay=f(xo, Ay=f(o)+a Ax→0 a→0(x→>0),Ay=f(x0)△x+a△x my=i[f(x0)Ax+a△x]=0 Ax→0 .函数f(x)在点x连续 6
6 四、导数的几何意义与物理意义 1.几何意义 ( ) tan , ( ) ( ) ( ) ( , ( )) , 0 0 0 0 即 为倾角 表示曲线 在点 处的切线的斜率 = = f x f x y f x M x f x 切线方程为： ( )( ). 0 0 0 y − y = f x x − x 法线方程为： ( ). ( ) 1 0 0 0 x x f x y y − − = − 例 7 . ,2) , 2 1 ( 1 处的切线方程和法线方程 求等边双曲线 在点 处的切线的斜率 并写出在该点 x y = 解：由导数的几何意义, 得切线斜率为 2 1 = = x k y 2 1 ) 1 ( = = x x 2 2 1 1 = = − x x = −4. 所求切线方程为 ), 2 1 y − 2 = −4(x − 即4x + y −4 = 0. 法线方程为 ), 2 1 ( 4 1 y − 2 = x − 即2x −8y +15 = 0. 2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率. 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度. ( ) lim . 0 dt ds t s v t t = = → 交流电路:电量对时间的导数为电流强度. ( ) lim . 0 dt dq t q i t t = = → 非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度. 五、可导与连续的关系 定理 凡可导函数都是连续函数. 证： ( ) , 设函数 f x 在点x0可导 lim ( ) 0 0 f x x y x = → ， = + ( ) 0 f x x y → 0 (x → 0)， y = f (x )x +x 0 lim lim [ ( ) ] 0 0 0 y f x x x x x = + → → =0 ( ) . 函数 f x 在点x0连续
注意:该定理的逆定理不成立 ★连续函数不存在导数举例 1.函数∫(x)连续,若∫"(x)≠f(x)则称点x为函数f(x)的 角点,函数在角点不可导 例如,f(x)= 在x=0处不可导,x=0为f(x)角点 x.x>0 2.设函数f(x)在点x连续,但m=lm f(xo +Ax)-f(x Ax→40△xAx+0 称函数f(x)在点x有无穷导数(不可导) 例如,f(x)=x-1,在x=1处不可导 3函数f(x)在连续点的左右导数都不存在(指摆动不定) 则x0点不可导 例如,f(x)= x SI ≠0 在x=0处不可导 4.若f(x0)=∞,且在点x的两个单侧导数符号相反, 则称点x为函数f(x)的尖点(不可导点)
7 注意: 该定理的逆定理不成立. ★连续函数不存在导数举例 , . 1. ( ) , ( ) ( ) ( ) 0 0 0 角点 函数在角点不可导 函数 f x 连续 若 f − x f + x 则称点x 为函数 f x 的 例如, , , 0 , 0 ( ) 2 = x x x x f x 在x = 0处不可导, x = 0为 f (x)的角点. ( ) .( ) , ( ) ( ) 2. ( ) , lim lim 0 0 0 0 0 0 称函数 在点 有无穷导数 不可导 设函数 在点 连续 但 f x x x f x x f x x y f x x x x = + − = → → 例如, ( ) 1, 3 f x = x − 在x =1处不可导. . 3. ( ) ( ) , 则 0点不可导 函数 在连续点的左右导数都不存在 指摆动不定 x f x 例如, , 0, 0 , 0 1 sin ( ) = = x x x x f x 在x = 0处不可导. ( ) ( ) . 4. ( ) , , 0 0 0 则称点 为函数 的尖点 不可导点 若 且在点 的两个单侧导数符号相反 x f x f x = x 0 1 －1/π 1/π x y x y o x y 0 x o y = f (x) y = f (x)
讨论函数f(x) 0 在x=0处的 例8 0 连续性与可导性 解:∵sn-是有界函数,∴ lim x sin-=0 f(0)=imf(x)=0∴f(x)在x=0处连续 但在x=0处有y= (0+△x)si 0+△x 当Ax→0时在-1和之间振荡而极限不存在 f(x)在x=0处不可导 六、小结 1.导数的实质:增量比的极限; 2.f(x0)=a分(x)=f2(x)=a 3.导数的几何意义:切线的斜率; 4.函数可导一定连续,但连续不一定可导 5.求导数最基本的方法:由定义求导数 6.判断可导性 不连续,一定不可导.连续,直接用定义或看左右导数是否存在且相等 思考题 函数f(x)在某点x处的导数f(x)与导函数f(x)有什么区别与联 思考题解谷 由导数的定义知,f(x0)是一个具体的数值,f(x)是由于f(x)在某区间/上每 一点都可导而定义在/上的一个新函数,即x∈,有唯一值∫"(x)与之对应, 所以两者的区别是:一个是数值,另一个是函数.两者的联系是:在某点x0处的 导数f(x0)即是导函数f(x)在x处的函数值
8 例 8 . , 0 0, 0 , 0 1 sin ( ) 连续性与可导性 讨论函数 在 = 处的 = = x x x x x f x 解： , 1 sin 是有界函数 x 0 1 lim sin 0 = → x x x (0) lim ( ) 0 0 = = → f f x x f (x)在x = 0处连续. 但在x = 0处有 x x x x y − + + = 0 0 1 (0 )sin x = 1 sin 当 0时, 在−1和1之间振荡而极限不存在. → x y x f (x)在x = 0处不可导. 六、小结 1. 导数的实质: 增量比的极限; 2. f (x0 ) = a f − (x0 ) = ( ) ; f + x0 = a 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数. 6. 判断可导性 不连续,一定不可导. 连续，直接用定义;或看左右导数是否存在且相等. 思考题 函数 f (x) 在某点 0 x 处的导数 ( ) 0 f x 与导函数 f (x) 有什么区别与联 思考题解答 由导数的定义知， ( ) 0 f x 是一个具体的数值， f (x) 是由于 f (x) 在某区间 I 上每 一点都可导而定义在 I 上的一个新函数，即 xI ，有唯一值 f (x) 与之对应， 所以两者的区别是：一个是数值，另一个是函数．两者的联系是：在某点 0 x 处的 导数 ( ) 0 f x 即是导函数 f (x) 在 0 x 处的函数值．