章节题目 第四节、几种特殊类型函数的积分 有理函数的积分 三角函数有理式的积分 内/简单无理函数的积分 容 提 要 有理函数的积分 重点分析 如何将有理函数化为部分分式之和 难点分析 P 题布置 备注
1 章 节 题 目 第四节、几种特殊类型函数的积分 内 容 提 要 有理函数的积分 三角函数有理式的积分 简单无理函数的积分 重 点 分 析 有理函数的积分 难 点 分 析 如何将有理函数化为部分分式之和 习 题 布 置 P268 ：单数 备 注
教学内容 有理函数的积分 有理函数的定义:两个多项式的商表示的函数称之 P(x) ox"+a,x"-+ Q(x)bx"+b,x"-+.+bm-x+b 其中m、都是非负整数;a0,a1…an及b,b1,…,b都是实数 并且a0≠0,b 假定分子与分母之间没有公因式 ()n<m,这有理函数是真分式 (2)n≥m,这有理函数是假分式: 利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和 +x+1 例 x2+1=x+ 难点:将有理函数化为部分分式之和 有理函数化为部分分式之和的一般规律: 分母中若有因式(x-a),则分解后为 其中A,A2…4 都是常数 特殊地:k=1,分解后为 (2)分母中若有因式(x2+px+q)2,其中p2-4q<0则分解后为 Mx+N (x2+px+g)(x2+px+)-lx2+px+q 其中M,N都是常数(=1,2 特殊地:k=1分解后为x+Px+q 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1 3 x2-5x+6(x-2(x-3)x-2x-3 3=A(x-3)+B(x-2)
2 教 学 内 容 一、有理函数的积分 有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之. m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x + + + + + + + + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) 其中 m、 n 都是非负整数； a a an , , , 0 1 及 b b bm , , , 0 1 都是实数， 并且 a0 0，b0 0 . 假定分子与分母之间没有公因式 (1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. 例 1 1 2 3 + + + x x x . 1 1 2 + = + x x 难点：将有理函数化为部分分式之和. 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 分母中若有因式 k (x − a) ，则分解后为 , ( ) ( ) 1 1 2 x a A x a A x a A k k k − + + − + − − 其中 A A Ak , , , 1 2 都是常数. 特殊地： k = 1, 分解后为 ; x a A − （2）分母中若有因式 k (x px q) 2 + + ，其中 4 0 2 p − q 则分解后为 x px q M x N x px q M x N x px q M x N k k k k + + + + + + + + + + + + 2 −1 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 其中 Mi Ni , 都是常数 (i =1,2, , k) . 特殊地： k = 1, 分解后为 ; 2 x px q Mx N + + + 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例 1 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x , 2 − 3 + − = x B x A 解： x + 3 = A(x −3) + B(x − 2)
x+3=(A+B)x-(3A+2B) A+B=1, °1-(3A+282=3,=1B=6 x+3 56 2-5x+6 例2x(x-D)2AB 解:1=A(x-1)2+Bx+Cx(x-1)(1) 代入特殊值来确定系数A,B,C,取x=0,→A=1,取x=1,→B=1 取x=2,并将AB值代入(1)→C=-1 1)2 例3 (1+2x)1+x2)1+2x1+x2 l=A(1+x2)+(Bx+C(1+2x) 整理得1=(A+2B)x2+(B+2C)x+C+A, A+2B=0, B+2C=0,→A=2,B=-2,C A+C=1, 21 x 2x1+x 1+2x1+x 例4求积分xx1 x(x-1)2 x(x-1)2x-1 -dx+ d x In x hn(x-1)+C
3 x + 3 = (A+ B)x − (3A+ 2B), − + = + = (3 2 ) 3, 1, A B A B , 6 5 = = − B A 5 6 3 2 − + + x x x . 3 6 2 5 − + − − = x x 例 2 2 ( 1) 1 x x− , ( 1) 1 2 − + − = + x C x B x A 解： 1 ( 1) ( 1) (1) 2 = A x − + Bx +Cx x − 代入特殊值来确定系数 A, B,C ，取 x = 0, A=1，取 x =1, B =1 取 x = 2, 并将 A,B 值代入(1) C = −1 2 ( 1) 1 − x x . 1 1 ( 1) 1 1 2 − − − = + x x x 例 3 (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x , 1 2 1 2 x Bx C x A + + + + = 1 (1 ) ( )(1 2 ), 2 = A + x + Bx +C + x 整理得 1 ( 2 ) ( 2 ) , 2 = A+ B x + B + C x +C + A + = + = + = 1, 2 0, 2 0, A C B C A B , 5 1 , 5 2 , 5 4 A = B = − C = (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x . 1 5 1 5 2 1 2 5 4 2 x x x + − + + + = 例 4 求积分 . ( 1) 1 2 dx x x − 解： dx x x − 2 ( 1) 1 dx x x x − − − = + 1 1 ( 1) 1 1 2 dx x dx x dx x − − − = + 1 1 ( 1) 1 1 2 ln( 1) . 1 1 ln x C x x − − + − = −
例5求积分 dx (1+2x)(1+x2) 21 x 解: dx+ - dx (1+2x1+x2) 1+ ln(1+2x) In(1+2x)-=In(1+x)+=arctan x+C 例6求积分∫ 6Int, dx=-dt dt =6 dt +(+r2+t t (1+t)(1+1) 1+e2+e3+e 633t+3 dt= dt t1+t1+t2 6In t-3In(1+1) 1+-3==6h=31+0)-2(1+)-3ammC 说明:将有理函数化为部分分式之和后,只出现三类情况: (1)多项式:-了 (x-n,324x+N (x+ px+g 时论积分=+F+ x+ px+q=x+ 4 令 P t记x2+px+q Mx+N=Mt+b
4 例 5 求积分 . (1 2 )(1 ) 1 2 + + dx x x 解： + + dx (1 2x)(1 x ) 1 2 dx x x dx x + − + + + = 2 1 5 1 5 2 1 2 5 4 dx x dx x x x + + + = + − 2 2 1 1 5 1 1 2 5 1 ln(1 2 ) 5 2 arctan . 5 1 ln(1 ) 5 1 ln(1 2 ) 5 2 2 = + x − + x + x +C 例 6 求积分 . 1 1 2 3 6 dx e e e x x x + + + 解：令 6 x t = e x = 6ln t, , 6 dt t dx = dx e e e x x x + + + 2 3 6 1 1 dt t t t t 6 1 1 3 2 + + + = dt t t t + + = (1 )(1 ) 1 6 2 dt t t t t + + − + = − 2 1 3 3 1 6 3 dt t t t t + + − + = − 2 1 3 3 1 6 3 2 3 = 6ln t − 3ln(1+ t) − dt t t d t + − + + 2 2 2 1 1 3 1 (1 ) = t − + t − ln(1+ t ) −3arctan t +C 2 3 6ln 3ln(1 ) 2 ln(1 ) 3arctan( ) . 2 3 3ln(1 ) x e 6 e 3 e 6 C x x x = − + − + − + 说明：将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况： (1) 多项式； ; ( ) (2) n x a A − ; ( ) (3) 2 n x px q Mx N + + + 讨论积分 , ( ) 2 + + + dx x px q Mx N n , 2 4 2 2 2 p q p x px q x + − + + = + 令 t p x + = 2 记 , 2 2 2 x + px + q = t + a Mx + N = Mt + b, 则 , 4 2 2 p a = q − , 2 Mp b = N −
Mx+x dt dt Mx+x x x+ px+q Mx+ w (2)n>1, (x+px+q) 2(n-1)(t2+a 这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数 结论:有理函数的原函数都是初等函数 三角函数有理式的积分 角有理式的定义:由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之 般记为 sin x=2sin -cOS 1+ tan2 cOSx= cos cosX=一 1+tan 令=tanx,x=2arcn,(万能置换公式) 2 SInx= cosx= 2 I R(sin x, cosx)dx 1+21+l2)1+l2 例7求积分 d x 1+sin x+cos x 解:由万能置换公式Snx= 1+u2, cosx==u d x 1+l sin x 2u+1+t2-1 I+sin x+cos x 1+a)(1+l)
5 + + + dx x px q Mx N n ( ) 2 + = dt t a Mt n ( ) 2 2 + + dt t a b n ( ) 2 2 (1) n =1, + + + dx x px q Mx N 2 ln( ) 2 2 x px q M = + + ; 2 arctan C a p x a b + + + (2) n 1, + + + dx x px q Mx N n ( ) 2 2 2 1 2( 1)( ) − − + = − n n t a M . ( ) 1 2 2 + + dt t a b n 这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论：有理函数的原函数都是初等函数 二、三角函数有理式的积分 三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一 般记为 2 cos 2 sin 2sin x x x = 2 sec 2 2 tan 2 x x = , 2 1 tan 2 2 tan 2 x x + = , 2 sin 2 cos cos2 x 2 x x = − 2 sec 2 1 tan cos 2 2 x x x − = , 2 1 tan 2 1 tan 2 2 x x + − = 令 2 tan x u = ， x = 2arctanu ，（万能置换公式） , 1 2 sin 2 u u x + = , 1 1 cos 2 2 u u x + − = du u dx 2 1 2 + = R(sin x,cos x) dx = . 1 2 1 1 , 1 2 2 2 2 2 du u u u u u R + + − + 例 7 求积分 . 1 sin cos sin + + dx x x x 解：由万能置换公式 , 1 2 sin 2 u u x + = 2 2 1 1 cos u u x + − = ， , 1 2 2 du u dx + = + + dx x x x 1 sin cos sin du u u u + + = (1 )(1 ) 2 2 du u u u u u + + + + − − = (1 )(1 ) 2 1 1 2 2 2
l du (1+u1+n2) n(1+2)-hn1+u In In 1+tan 1+ 例8求积分∫ 解(一)u=tan-,sinx= 1+t u 24 tan 解(二)修改万能置换公式,令l=tanx dx 解(三)可以不用万能置换公式 d tx--cot ' x+c 结论:比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算 中先考虑其它手段,不得已才用万能置换 例9求积分r1+smxd sin a+sin b= 2sin A+b A-B cos 6
6 du u u u u + + + − + = (1 )(1 ) (1 ) (1 ) 2 2 2 du u u + + = 2 1 1 du u + − 1 1 = arctan u ln(1 ) 2 1 2 + + u − ln |1+ u | +C （ 2 tan x u = ） 2 x = | 2 ln |sec x + | . 2 ln |1 tan C x − + + 例 8 求积分 . sin 1 4 dx x 解（一） , 2 tan x u = , 1 2 sin 2 u u x + = , 1 2 2 du u dx + = dx x 4 sin 1 du u u u u + + + = 4 2 4 6 8 1 3 3 C u u u u = − − + + ]+ 3 3 3 3 1 [ 8 1 3 3 . 2 tan 24 1 2 tan 8 3 2 8tan 3 2 24 tan 1 3 3 C x x x x + − + + = − 解（二）修改万能置换公式, 令 u = tan x , 1 sin 2 u u x + = , 1 1 2 du u dx + = dx x 4 sin 1 du u u u + + = 4 2 2 1 1 1 1 du u u + = 4 2 1 C u u = − − + 1 3 1 3 cot cot . 3 1 3 = − x − x +C 解（三）可以不用万能置换公式. dx x 4 sin 1 csc x(1 cot x)dx 2 2 = + xdx x xdx 2 2 2 csc cot csc = + cot . 3 1 cot 3 = − x − x +C 结论：比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算 中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换. 例 9 求积分 . sin 3 sin 1 sin + + dx x x x 2 cos 2 sin sin 2sin A B A B A B + − + =
1+sin x 2sin 2x cos x 4sin xcos- x dx+ dx I rsn x+coSx d x 4sin xcos2x4Jcos2x-4J sin xcos2 x d x+ d x dx CoS x dx 4Jcos x 4Jcos-x +-hn tan =1+tanx+C 三、简单无理函数的积分 ax+ b 讨论类型:R(x,ax+b),R(x cx+e 解决方法:作代换去掉根号 1+x 例10求积分 d x 1+x tdt 解:令 =t, t2 dx=- 2-1) tdt +x 2t-hn C 例11求积分 x+1+√x+1 解:令1=x+1→61d=dh d=,:6rd= =213-32+6t+6h|t+11+C
7 + + dx x x x sin 3 sin 1 sin + = dx x x x 2sin 2 cos 1 sin + = dx x x x 2 4sin cos 1 sin = dx x x 2 sin cos 1 4 1 + dx x 2 cos 1 4 1 + = dx x x x x 2 2 2 sin cos sin cos 4 1 + dx x 2 cos 1 4 1 = + dx x dx x x sin 1 4 1 cos sin 4 1 2 + dx x 2 cos 1 4 1 = − + dx x d x x sin 1 4 1 (cos ) cos 1 4 1 2 + dx x 2 cos 1 4 1 4cos x 1 = 2 ln tan 4 1 x + tan . 4 1 + x +C 三、简单无理函数的积分 讨论类型： ( , ), n R x ax + b ( , ), n cx e ax b R x + + 解决方法：作代换去掉根号. 例 10 求积分 + dx x x x 1 1 解：令 t x x = 1+ ， , 1 2 t x x = + , 1 1 2 − = t x ( ) , 1 2 2 2 − = − t tdt dx + dx x x x 1 1 ( ) ( ) dt t t t t − = − − 2 2 2 1 2 1 − = − 1 2 2 2 t t dt dt t − = − + 1 1 2 1 2 C t t t + + − = − − 1 1 2 ln 1 . 1 ln 1 2 2 C x x x x x + − + − + = − 例 11 求积分 . 1 1 1 3 + + + dx x x 解：令 1 6 t = x + 6 , 5 t dt = dx + + + dx x x 3 1 1 1 t dt t t 5 3 2 6 1 + = dt t t + = 1 6 3 = 2t −3t + 6t + 6ln | t +1| +C 3 2
=2√x+1-3x+1+3x+1+6l(x+1+1)+C 说明:无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数 例12求积分 x dx 3x+1+√2x+ 先对分母进行有理化 原式= x(√3x+1-√2x+1) (√3x+1+√2x+1)√3x+1-√2x+1) 3x+1-√2x+1)h ∫√3x+(3x+1)-5√2x+12x+ (3x+1)2-(2x+1)2+C 四、小结 有理式分解成部分分式之和的积分.(注意:必须化成真分式) 三角有理式的积分.(万能置换公式)(注意:万能公式并不万能) 简单无理式的积分 思考题 将分式分解成部分分式之和时应注意什么? 思考题解答 分解后的部分分式必须是最简分式
8 2 1 3 1 3 1 6ln( 1 1) . 3 6 6 = x + − x + + x + + x + + +C 说明：无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数. 例 12 求积分 . 3 1 2 1 + + + dx x x x 先对分母进行有理化 原式 + + + + − + + − + = dx x x x x x x x ( 3 1 2 1)( 3 1 2 1) ( 3 1 2 1) = ( 3x +1 − 2x +1)dx 3 1 (3 1) 3 1 = + + x d x 2 1 (2 1) 2 1 − + + x d x (2 1) . 3 1 (3 1) 9 2 2 3 2 3 = x + − x + +C 四、小结 有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式） 三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能） 简单无理式的积分. 思考题 将分式分解成部分分式之和时应注意什么？ 思考题解答 分解后的部分分式必须是最简分式
