章节题目 第二节、平面图形的面积 直角坐标系下平面图形的面积 参数方程形式下平面图形的面积 内|极坐标系下平面图形的面积 容提要 如何求平面图形的面积 重点分析 求平面图形的面积时积分变量的选取 求平面图形的面积时坐标系的选取 难点分析 342:2、5、8、10 题布置 备注
1 章 节 题 目 第二节、平面图形的面积 内 容 提 要 直角坐标系下平面图形的面积 参数方程形式下平面图形的面积 极坐标系下平面图形的面积. 重 点 分 析 如何求平面图形的面积 难 点 分 析 求平面图形的面积时积分变量的选取 求平面图形的面积时坐标系的选取 习 题 布 置 P342 ：2、5、8、10 备 注
教学内容 直角坐标系情形 f(x) 曲边梯形的面积A=f(x)dt y=a(x) 曲边梯形的面积A=D(x)-f(x)x 例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的图形的面积 y= 0.20.40.60.日1 解:两曲线的交点(00)(1,1),选x为积分变量x∈[0, 面积元素dA=( A=[(x-x2)k 3 例2计算由曲线y=x3-6x和y=x2所围成的图形的面积
2 教 学 内 容 一、直角坐标系情形 曲边梯形的面积 = b a A f (x)dx 曲边梯形的面积 = − b a A [ f (x) f (x)]dx 2 1 例 1 计算由两条抛物线 y = x 2 和 2 y = x 所围成的图形的面积. 解: 两曲线的交点 (0,0) (1,1) , 选 x 为积分变量 x [0,1] 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − A ( x x )dx 2 1 0 = − 1 0 3 3 3 2 2 3 = − x x . 3 1 = 例 2 计算由曲线 y x 6x 3 = − 和 2 y = x 所围成的图形的面积. x y o ( ) 1 y = f x ( ) 2 y = f x a b x y o y = f (x) a b 2 y = x 2 x = y
=x3-6x 解:两曲线的交点 →(00),(-24)(3,9) 选x为积分变量,x∈[-2,3] (1)x∈[-2,0],dA1=(x3-6x-x2)dh (2)x∈[0,3],d42=(x2-x3+6x)d 于是所求面积A=A+A2 A=(x'-6x-x)dx +[(x2-x+6x)dx 说明:注意各积分区间上被积函数的形式 问题:积分变量只能选x吗? 例3计算由曲线y2=2x和直线y=x-4所围成的图形的面积 解:两曲线的交点{y2=2x →(2,-2),(84) 选y为积分变量y∈[-2,4]d=y+4ypA4=d4=18
3 解：两曲线的交点 = = − 2 3 6 y x y x x (0,0), (−2,4), (3,9). 选 x 为积分变量， x[−2, 3] (1) x[−2, 0], dA (x 6x x )dx 3 2 1 = − − (2) x[0,3], dA (x x 6x)dx 2 3 2 = − + 于是所求面积 A = A1 + A2 A (x 6x x )dx 2 0 2 3 = − − − (x x 6x)dx 2 3 3 0 + − + . 12 253 = 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量只能选 x 吗？ 例 3 计算由曲线 y 2x 2 = 和直线 y = x − 4 所围成的图形的面积. 解：两曲线的交点 = − = 4 2 2 y x y x (2,−2), (8,4). 选 y 为积分变量 y [−2, 4] dy y dA y = + − 2 4 2 18. 4 2 = = − A dA
如果曲边梯形的曲边为参数方程 ∫x=o) y=v() 曲边梯形的面积A=v(o(oh(其中和12对应曲线起点与终点的参数值) 在[1,12](或t2,1])上x=(1)具有连续导数,y=()连续 例4求椭圆+=1的面积 x= a cos t 解:椭圆的参数方程 y=bsin t 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 A=40 ydx =4f bsin td(@acost)=4ab"sindt =mab 、极坐标系情形 设由曲线r=0(0)及射线b=a、=B围成一曲边扇形,求其面积.这里,p(0) 在[a,上连续,且(O)≥0.面积元素:d4=[o(O3d0,曲边扇形的面积 A=o(0)]de
4 如果曲边梯形的曲边为参数方程 = = ( ) ( ) y t x t 曲边梯形的面积 ( ) ( ) . 2 1 = t t A t t dt （其中 1 t 和 2 t 对应曲线起点与终点的参数值） 在[ 1 t , 2 t ]（或[ 2 t , 1 t ]）上 x = (t) 具有连续导数， y = (t) 连续. 例 4 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 的面积. 解：椭圆的参数方程 = = y b t x a t sin cos 由对称性知总面积等于 4 倍第一象限部分面积． = a A ydx 0 4 = 0 2 4 sin ( cos ) b td a t ab tdt = 2 0 2 4 sin =ab. 二、极坐标系情形 设由曲线 r = ( ) 及射线 = 、 = 围成一曲边扇形，求其面积．这里， ( ) 在 [,] 上连续，且 ( ) 0 ．面积元素：dA d 2 [ ( )] 2 1 = ，曲边扇形的面积： [ ( )] . 2 1 2 A d = y 2x 2 = y = x − 4
+d0 r=(0) 6=B 例5求双纽线p2=a2cos20所围平面图形的面积 y A p- =a cos 20 解:由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积A=4A4 a- cos 20de 例6求心形线r=a(1+cos)所围平面图形的面积(a>0) dA==a(1+cos 0)de
5 例 5 求双纽线 cos2 2 2 = a 所围平面图形的面积. 解：由对称性知总面积=4 倍第一象限部分面积 A= 4A1 A a cos 2 d 2 1 4 4 0 2 = . 2 = a 例 6 求心形线 r = a(1+ cos ) 所围平面图形的面积 (a 0). dA a d 2 2 (1 cos ) 2 1 = + y = x cos2 2 2 = a A1 d o x = d = + d r = ( )
利用对称性知A=225(1+s8pb=a01+2os+os 0+2sin 0+-sn 20 三、小结 求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积 (注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算) 思考题 设曲线y=f(x)过原点及点(2,3),且f(x)为单调函数,并具有连续导数,今在 曲线上任取一点作两坐标轴的平行线,其中一条平行线与x轴和曲线y=f(x)围 成的面积是另一条平行线与y轴和曲线y=f(x)围成的面积的两倍,求曲线方程 思考题解答 S,=2S,: S;=S/(x)dx,S, =xy-S2-=xy-hf(r)dr [(x)=2xy-5(x)d→3[(x)=2x男 两边同时对x求导 3f(x)=2y+2xy→2xy=y 积分得y2=cx, 因为曲线y=f(x)过点(2,3)→c y2=x,因为∫(x)为单调函数 所以所求曲线为y= 6
6 利用对称性知 = 0 2 2 1 A 2 a d 2 (1+ cos ) = 0 2 a (1 2cos cos )d 2 + + 0 2 sin 2 4 1 2sin 2 3 = a + + . 2 3 2 = a 三、小结 求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积. （注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算） 思考题 设曲线 y = f (x) 过原点及点 (2,3) ，且 f (x) 为单调函数，并具有连续导数，今在 曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与 x 轴和曲线 y = f (x) 围 成的面积是另一条平行线与 y 轴和曲线 y = f (x) 围成的面积的两倍，求曲线方程. 思考题解答 S2 = 2S1 = x S f x dx 0 2 ( ) ， = − = − x S xy S xy f x dx 0 1 2 ( ) ( ) 2[ ( ) ] 0 0 = − x x f x dx xy f x dx 3 ( ) 2 , 0 f x dx xy x = 两边同时对 x 求导 3 f (x) = 2y + 2xy 2xy = y 积分得 , 2 y = cx 因为曲线 y = f (x) 过点 (2,3) 2 9 c = , 2 2 9 y = x 因为 f (x) 为单调函数 所以所求曲线为 2 . 2 3 y = x S1 2 S x y o y = f (x) (x, y)
