章节题目 第十节方程的近似解 求方程近似解的方法 内容提要 隔离区间的确定 利用二分法、切线法求方程的近似解 重点分析 分法、切线法求方程的近似解的实质 难点分析 习题布置 备注
1 章 节 题 目 第十节 方程的近似解 内 容 提 要 求方程近似解的方法 重 点 分 析 隔离区间的确定 利用二分法、切线法求方程的近似解 难 点 分 析 二分法、切线法求方程的近似解的实质 习 题 布 置 备 注
教学内容 问题的提出 问题:高次代数方程或其他类型的方程求精确根一般比较困难,希望寻求方程近似 根的有效计算方法 求近似实根的步骤: 确定根的大致范围根的隔离 确定一个区间[ab]使所求的根是位于这个区间内的唯一实根 区间[a,b称为所求实根的隔离区间 如图,精确画出y=f(x)的图形,然后从图上定出它与x轴交 点的大概位置 2.以根的隔高区间的端点作为根的初始近似值,逐步改善根的近似值的精确度, 直至求得满足精确度要求的近似实根 常用方法二分法和切线法(牛顿法) 二、二分法 设∫(x)在区间[a,b]上连续,f(a)·f(b)<0,且方程∫(x)=0在 (a,b)内仅有一个实根ξ,于是[a,b]即是这个根的一个隔离区间 作法: 取[ab]的中点51 a+b 计算f(5)如果f(5)=0,那末=5 如果f(5)与f(a)同号,那末取a1=5b=b 由f(a1)·f(b1)<0,即知a1<5<b,且b1-a1=(b-a) 如果f(51)与∫(b)同号,那末取a1=a,b=5, 也有a1<5<b及b1-a1=(b-a) 总之,当5≠51时,可求得a1<5<b1且b-a1=(b-a) 以[a1,b1]作为新的隔离区间,重复上述做法,当5≠2=(a1+b1) 时,可求得a2<5<b2且b2-a2=2(b-a)
2 教 学 内 容 一、问题的提出 问题：高次代数方程或其他类型的方程求精确根一般比较困难,希望寻求方程近似 根的有效计算方法． 求近似实根的步骤： １．确定根的大致范围——根的隔离． 区间 称为所求实根的隔离区间． 确定一个区间 使所求的根是位于这个区间内的唯一实根． [ , ] [ , ] a b a b 点的大概位置． 如图，精确画出 y = f (x) 的图形，然后从图上定出它与 x 轴交 ２．以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度， 直至求得满足精确度要求的近似实根． 常用方法——二分法和切线法（牛顿法） 二、二分法 内仅有一个实根 ，于是 即是这个根的一个隔离区间． 设 在区间 上连续， ，且方程 ＝０在 ( , ) [ , ] ( ) [ , ] ( ) ( ) 0 ( ) a b a b f x a b f a f b f x 作法： ( ). 2 [ , ] 1 1 f a b 取 a b 的中点 ，计算 + = 如果 f (1 ) = 0，那末 =1； ( ) ( ) , , 如果 f 1 与 f a 同号，那末取a1 =1 b1 = b ( ); 2 1 由 f (a1 ) f (b1 ) 0，即知 a1 b1，且b1 − a1 = b − a ( ) ( ) , , 1 b a1 = a b1 =1 如果 f 与 f 同号，那末取( ); 2 1 也有 a1 b1 及 b1 − a1 = b − a 总之， ( ); 2 1 当 １ 时，可求得 a1 b1 且 b1 − a1 = b − a ( ); 2 1 ( ) 2 1 [ , ] 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 a b b a b a a b a b − = − = + 时，可求得 且 以 作为新的隔离区间，重复上述做法，当
如此重复n次,可求得an0.如图 故∫(x)在(-∞,+∞)内单调增加,∴f(x)=0至多有一个实根. f(0)=-140, f(x)=0在[01内有唯一的实根 取a=0,b=1,[0,即是一个隔离区间 计算得: 51=0.5,f(21)=-0.550,故a2=0.5,b2=075, 53=0625,f(3)=-0.160,故a4=0625b4=0687 5=0656,f(5)=-00540,故a6=0656,b=0672 51=0664,f(57)=-0025<0,故a2=0664,b=0.672
3 ( ). 2 1 n , a b b a b a n n n n n 如此重复 次 可求得 且 − = − 如果以 或 作为 的近似值，那末其误差小于 ( )． 2 1 a b b a n n n − 例１： 10 . 1.1 0.9 1.4 0 , 3 3 2 − + + − = 使误差不超过 用二分法求方程 x x x 的实根的近似值 解： ( ) 1.1 0.9 1.4, 3 2 令 f x = x + x + x − 显然 f (x) 在(−,+)内连续. ( ) 3 2.2 0.9, 2 f x = x + x + = −1.49 0, f (x) 0. 如图 故 f (x) 在(−,+)内单调增加, f (x) = 0至多有一个实根． f (0) = −1.4 0, f (1) =1.6 0, f (x) = 0 在[0,1]内有唯一的实根. 取a = 0,b =1, [0,1]即是一个隔离区间. 计算得: 0.5, ( ) 0.55 0, 0.5, 1; 1 = f 1 = − 故a1 = b1 = 0.75, ( ) 0.32 0, 0.5, 0.75; 2 = f 2 = 故 a2 = b2 = 0.625, ( ) 0.16 0, 0.625, 0.75; 3 = f 3 = − 故 a3 = b2 = 0.687, ( ) 0.062 0, 0.625, 0.687; 4 = f 4 = 故 a4 = b4 = 0.656, ( ) 0.054 0, 0.656, 0.687; 5 = f 5 = − 故 a5 = b5 = 0.672, ( ) 0.005 0, 0.656, 0.672; 6 = f 6 = 故 a6 = b6 = 0.664, ( ) 0.025 0, 0.664, 0.672; 7 = f 7 = − 故 a7 = b7 =
=0.668,f(2s)=-00100,故a0=0.670,bo=0671 06700 f(x)>0,f"(x)<0 在纵坐标与∫"(x)同号的那个端点(此端点记作(x0,f(x0))作 切线,这切线与x轴的交点的横坐标x1比x更接近方程的根5 令x=a,则切线方程为y-f(x0)=f(xXx-x0) 令y=0得x=f(x0),在点(x1f(x)作切线 f(x0) 得根的近似值x2=x1 ∫(x1) f(x,)
4 0.668, ( ) 0.010 0, 0.668, 0.672; 8 = f 8 = − 故 a8 = b8 = 0.670, ( ) 0.002 0, 0.670, 0.672; 9 = f 9 = − 故 a9 = b9 = 0.671, ( ) 0.001 0, 0.670, 0.671. 10 = f 10 = 故 a10 = b10 = , 10 . 0.670 0.671. 0.670 , 0.671 −3 过剩近似值 其误差都小于 即 作为根的不足近似值 作为根的 三、切线法 一个的实根 ， 是根的一个隔离区间． 在 上保持定号．则方程 ＝０在 内有唯 设 在 上具有二阶导数， ，且 及 [ , ] ( ) [ , ] ( ) ( , ) ( ) [ , ] ( ) ( ) 0 ( ) a b f x a b f x a b f x a b f a f b f x 定义 用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方 法叫做切线法（牛顿法）． 如图， 切线，这切线与 轴的交点的横坐标 比 更接近方程的根 ． 在纵坐标与 同号的那个端点（此端点记作 作 1 0 0 0 ( ) ( , ( ))) x x x f x x f x , 令 x0 = a ( ) ( )( ). 0 0 0 则切线方程为 y − f x = f x x − x 令 y = 0, 得 , ( ) ( ) 0 0 1 0 f x f x x x = − 在点(x1 , f (x1 )) 作切线， . ( ) ( ) 1 1 2 1 f x f x x x 得根的近似值 = − A B x y o a b 1 x y = f (x) ( ) 0, ( ) 0 ( ) 0, ( ) 0 f x f x f a f b
y=f(x) 如此继续,得根的近似值x=x-(x= f(r-D 注意:如果f(b)与∫"(x)同号可记x=b 用切线法求方程x3+1.1x2+0.9x-14=0的实根的近似值, 例2 使误差不超过10-3 解:令f(x)=x3+1.1x2+0.9x-14 [O,是一个隔离区间f(0)0 0.511.52 如图,在⑩,上,f(x)=3x2+22x+0.9>0,f"(x)=6x+22>0 ∫"(x)与f(x)同号,令x=1
5 如此继续，得根的近似值 (1) ( ) ( ) 1 1 1 − − − = − n n n n f x f x x x : ( ) ( ) , . 注意 如果 f b 与 f x 同号 可记 x0 = b 例２ 10 . 1.1 0.9 1.4 0 , 3 3 2 − + + − = 使误差不超过 用切线法求方程 x x x 的实根的近似值 解： ( ) 1.1 0.9 1.4, 3 2 令 f x = x + x + x − [0,1]是一个隔离区间. f (0) 0, f (1) 0. 如图，在[0,1]上， ( ) 3 2.2 0.9 0, 2 f x = x + x + f (x) = 6x + 2.2 0, f (x)与 f (x)同号， 1. 令 x0 = A B x y o a b 1 x y = f (x) 2 x
代入(得x=1-0D)=078x2=0738-21073580674 f(1) f(0.738) 3=0.674- f(0674) 0671x4=0671~f(0671) 0.671 ∫(0674 f(0.671 计算停止.得根的近似值为0671,其误差都小于10-3 四、小结 求方程近似实根的常用方法 分法、切线法(牛顿法)、割线法 切线法实质:特定的迭代法.((x)=x f(x) 求方程的根的迭代法是指由根的近似值出发,通过递推公式将近似值加以精确化的 反复演算过程 基本思想:f(x)=0→x=q(x) 优点:1.形式简单便于计算2形式多样便于选择 6
6 代入(1),得 0.738; (1) (1) 1 1 = − f f x 0.674; (0.738) (0.738) 2 0.738 = − f f x 0.671; (0.674) (0.674) 3 0.674 = − f f x 0.671; (0.671) (0.671) 4 0.671 = − f f x 计算停止. 0.671, 10 . 得根的近似值为 其误差都小于 −3 四、小结 求方程近似实根的常用方法: 二分法、切线法（牛顿法）、割线法． 切线法实质：特定的迭代法． ) ( ) ( ) ( ( ) f x f x x x = − 求方程的根的迭代法是指由根的近似值出发,通过递推公式将近似值加以精确化的 反复演算过程. 基本思想: f (x) = 0 x =(x) 优点:１.形式简单便于计算;2.形式多样便于选择