章节题目 第二节换元积分法 第一类换元法:「八o(x)]p(x)t=可f(a)dhd-x 内|第二类换元法:∫()mwo 容提要 利用第一类换元法求不定积分时如何凑微分 利用三角代换、倒代换、根式代换求不定积分 重点分析 凑微分法求不定积分 难点分析 253:2(双) 题布置 备注
1 章 节 题 目 第二节 换元积分法 内 容 提 要 第一类换元法： f [(x)](x)dx = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 第二类换元法： ( ) ( ) [ ( )] ( ) t x f x dx f t t dt = = 重 点 分 析 利用第一类换元法求不定积分时如何凑微分 利用三角代换、倒代换、根式代换求不定积分 难 点 分 析 凑微分法求不定积分 习 题 布 置 P253：2（双） 备 注
教学内容 第一类换元法 问题:「cos2xdhx=?=sin2x+C, 解决方法:利用复合函数,设置中间变量 过程:令t=2x→dx=-dt I cos 2xdx=cos tdt=>sin(+CsI -sin 2x+C 在一般情况下: 设F()=f(a则Jf(a)dm=F()+C 如果u=(x)(可微) dFL(x)]=flo(x)lo(x)dx 「/(x)(x)x=F1(x)+C=(nuh1l=,由此可得换元法定理 定理1:设f(u)具有原函数,u=q(x)可导,则有换元公式 (x)l(x)x=可f(a)dhl-第一类换元公式〔凑微分法) 说明:使用此公式的关键在于将」g(x)t化为9(x)9(x)d 观察重点不同,所得结论不同 例1求 A(-)sin 2xdx=sin 2xd(2x)=-3cos 2x+C, N(=)sin 2xdx =2 sin x cos xdx =2 sin xd(sin x)=(sin x)+C 解(三)m2xdx=2 sinxcosxdx=-2 cos xd(cos x)) -(cosx)+C 例2求 解: 3+2x23+2x(3+2x) 3+2,女。1 (3+2x)dh du 2J3+2 lna+C=-h(3+2x)+
2 教 学 内 容 一、第一类换元法 问题： cos 2xdx = ? = sin 2x + C, 解决方法：利用复合函数，设置中间变量. 过程：令 t = 2x , 2 1 dx = dt cos 2xdx tdt = cos 2 1 = sin t +C 2 1 sin 2 . 2 1 = x +C 在一般情况下： 设 F(u) = f (u), 则 ( ) ( ) . f u du = F u +C 如果 u = (x) （可微） dF[(x)] = f [(x)](x)dx f [(x)](x)dx = F[(x)]+C = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 由此可得换元法定理 定理 1：设 f (u) 具有原函数， u = (x) 可导，则有换元公式 f [(x)](x)dx = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 第一类换元公式（凑微分法） 说明：使用此公式的关键在于将 g(x)dx 化为 [ ( )] ( ) . f x x dx 观察重点不同，所得结论不同. 例 1 求 sin 2 . xdx 解（一） sin 2xdx = sin 2 (2 ) 2 1 xd x cos 2 ; 2 1 = − x +C 解（二） sin 2xdx = 2 sin x cos xdx = 2 sin xd(sin x) (sin ) ; 2 = x +C 解（三） sin 2xdx = 2 sin x cos xdx = −2 cos xd(cos x) (cos ) . 2 = − x +C 例 2 求 . 3 2 1 dx x + 解： (3 2 ) , 3 2 1 2 1 3 2 1 + + = + x x x dx x 3+ 2 1 x dx x (3 2 ) 3 2 1 2 1 + + = du u = 1 2 1 = ln u +C 2 1 ln( 3 2 ) . 2 1 = + x +C
般地∫f(ax+b)=2-()onl- 例3求 -dx x(+2In x 解 x(1+2nx) 1+2hx - d(+2 In x) =1+2hx 2J1+2hnx In u+C In(1+2In x)+C 例4求 (1 解 d(1+x) (1+x)(1 1+x2(1+x)2 解 2+ x 例6求 -dx 解 da dx 4 +1 例7 -dx
3 一般地 f (ax + b )dx = u du u =ax + b f a [ ( ) ] 1 例 3 求 . (1 2ln ) 1 dx x x + 解 ： dx x x ( 1 + 2ln ) 1 (ln ) 1 2ln 1 d x x + = ( 1 2ln ) 1 2ln 1 21 d x x + + = u = 1 + 2ln x = du u1 21 = ln u +C 21 ln( 1 2ln ) . 21 = + x + C 例 4 求 . ( 1 ) 3 dx xx + 解 ： dx xx + 3 ( 1 ) dx x x ++ − = 3 ( 1 ) 1 1 ] ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 [ 2 3 d x x x + + − + = 1 2 2 2 ( 1 ) 1 1 1 C x C x + + + + + = − . 2(1 ) 1 1 1 2 C x x + + + + = − 例 5 求 . 1 2 2 dx a x + 解 ： dx a x + 2 2 1 dx a a x + = 2 2 2 1 1 1 + = ax d a a x 2 1 1 1 arctan . 1 C ax a = + 例 6 求 . 8 25 1 2 dx x x − + 解 ： dx x x − 8 + 25 1 2 dx x − + = ( 4 ) 9 1 2 dx x + − = 1 3 41 312 2 − + − = 3 4 1 3 41 31 2 x d x . 3 4 arctan 31 C x + − = 例 7 求 . 1 1 dx e x +
解 -dx d x -d x 1+e)+C 例8求(1-2)e 解 De d(x+-) 例9求 解:原式= 12x+3dx-1(x-t 1〔、2x+30(2x+3)-8 x -ld (2x-1) +C. 例10求「 1-coS x 解: d x coS x (1+cos x X1-cos x) dx 1+cos x ∫xh-2a- d (sin x) sin x cot x+ sin x 例11求|sin2x.cos3xdh 解:∫sm2 xcos xdx-mn2x: cos'xd(sin x o)d(sin x)=l( 2 -sin'x-=sin 5x+=sin'x+C 说明:当被积函数是三角函数相乘时,拆开奇次项去凑微分
4 解： dx e x 1+ 1 dx e e e x x x + + − = 1 1 dx e e x x + = − 1 1 dx e e dx x x + = − 1 (1 ) 1 1 x x d e e dx + + = − x ln(1 e ) C. x = − + + 例 8 求 ) . 1 (1 1 2 e dx x x x + − 解： , 1 1 1 2 x x x = − + e dx x x x + − 1 2 ) 1 (1 ) 1 ( 1 x e d x x x = + + . 1 e x C x = + + 例 9 求 . 2 3 2 1 1 dx x x + + − 解：原式 ( )( ) dx x x x x x x + + − + − − + − − = 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 x dx x dx = + − 2 −1 4 1 2 3 4 1 2 1 (2 1) 8 1 2 3 (2 3) 8 1 = + + − − − x d x x d x ( ) ( 2 1) . 12 1 2 3 12 1 3 3 = x + − x − +C 例 10 求 . 1 cos 1 + dx x 解： + dx 1 cos x 1 ( )( ) + − − = dx x x x 1 cos 1 cos 1 cos − − = dx x x 2 1 cos 1 cos − = dx x x 2 sin 1 cos = − (sin ) sin 1 sin 1 2 2 d x x dx x . sin 1 cot C x = − x + + 例 11 求 sin cos . 2 5 x xdx 解： x xdx 2 5 sin cos = sin cos (sin ) 2 4 x xd x = sin (1−sin ) (sin ) 2 2 2 x x d x = (sin − 2sin + sin ) (sin ) 2 4 6 x x x d x sin . 7 1 sin 5 2 sin 3 1 3 5 7 = x − x + x +C 说明：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分
例12求∫cos3xcos2xd W: cos AcosB=-[cos(A-B)+COS(A+ b)l, 3 (cos x+cos 5x) 2 cos 3x cos 2xdx=-I(cos x+cos 5x)dx =sin x+sin 5x+C 例13求 解(-) jesc xda=∫ sin x 2 sin-cos )-:4m引 In tan -+C =h(cscx-cotx)+C.(使用了三角函数恒等变形) 解 CSC x sin x =丁d(sx u=COSx l 21+l 类似地可推出 isecxdx= n(sec x+tnx)+C 例14设f(sn2x)=cos2x,求∫(x) 解:令=sn2x→ ()=1 例15求∫ 2
5 例 12 求 cos3 cos 2 . x xdx 解： [cos( ) cos( )], 2 1 cos Acos B = A− B + A+ B (cos cos5 ), 2 1 cos3x cos 2x = x + x x xdx = (cos x + cos5x)dx 2 1 cos3 cos 2 sin 5 . 10 1 sin 2 1 = x + x +C 例 13 求 csc . xdx 解（一） csc xdx = dx sin x 1 = dx x x 2 cos 2 2sin 1 = 2 2 cos 2 tan 1 2 x d x x = 2 tan 2 tan 1 x d x C x = + 2 ln tan = ln(csc x − cot x) +C. （使用了三角函数恒等变形） 解（二） csc xdx = dx sin x 1 = dx x x 2 sin sin − = − (cos ) 1 cos 1 2 d x x u = cos x − = − du u 2 1 1 + + − = − du u 1 u 1 1 1 2 1 C u u + + − = 1 1 ln 2 1 . 1 cos 1 cos ln 2 1 C x x + + − = 类似地可推出 sec ln(sec tan ) . xdx = x + x + C 例 14 设 (sin ) cos , 2 2 f x = x 求 f (x) . 解：令 u x 2 = sin cos 1 , 2 x = −u f (u) =1− u, f u ( u)du ( ) = 1− , 2 1 2 = u − u +C . 2 1 ( ) 2 f x = x − x +C 例 15 求 . 2 4 arcsin 1 2 dx x x −
解:丁 dx -x arcsin x-2x arcsin - d(arcsin)=In arcs+C arcsin 、第二类换元法 问题:「x51-x2dx=? 解决方法:改变中间变量的设置方法 过程:令x=snt→dx= cos tdt, ∫(smyl-smn2 Icstd (应用“凑微分”即可求出结果) 定理2设x=v()是单调的、可导的函数,并且v'(1)≠0,又设/[v(t)y'(1)具 有原函数,则有换元公式∫(x/=。其中v()是x=v(0 的反函数 证:设Φ(1)为/v(t)y'(t)的原函数, 令F(x)=dy(x 则F(x)=如.d [v()y(t) v(0)v(1)=∫(x) 说明F(x)为f(x)的原函数 f(x)dx= F(x)+c =ply(x)+C, f(x)dx=ll fly(oly'(oa 第二类积分换元公式 例16求∫(a>0 解:令x= a tan t→dh=asec2td a sec tdt = sec tdt =In(sec t+ tant)+C a sec t 6
6 解： dx x x − 2 4 arcsin 1 2 2 2 arcsin 2 1 1 2 x d x x − = ) 2 (arcsin 2 arcsin 1 x d x = . 2 ln arcsin C x = + 二、第二类换元法 问题： 1 ? 5 2 − = x x dx 解决方法：改变中间变量的设置方法. 过程：令 x = sin t dx = costdt, − = x x dx 5 2 1 (sin t) 1 sin t costdt 5 2 − t tdt 5 2 sin cos = = （应用“凑微分”即可求出结果） 定理 2 设 x =(t) 是单调的、可导的函数，并且 (t) 0 ，又设 f [(t)](t) 具 有原函数，则有换元公式 ( ) ( ) [ ( )] ( ) t x f x dx f t t dt = = 其中 (x) 是 x =(t) 的反函数. 证：设 (t) 为 f [(t)](t) 的原函数, 令 F(x) = [(x)] 则 dx dt dt d F x ( ) = = f [(t)](t) , ( ) 1 t = f [(t)] = f (x). 说明 F(x) 为 f (x) 的原函数, f (x)dx = F(x) +C = [(x)]+C, ( ) ( ) [ ( )] ( ) t x f x dx f t t dt = = 第二类积分换元公式 例 16 求 ( 0). 1 2 2 + dx a x a 解：令 x = a tan t dx a tdt 2 = sec − 2 , 2 t = + dx x a 2 2 1 a tdt a t 2 sec sec 1 = sec tdt = ln(sec t + tan t) +C
x+a +C 例17求x3√4-xa 解:令x=2snt,dx=2 cos tdt,t∈ ∫x√4-xd-(2smn)4-4sm212csth=32Jsm7cost =32 sin t(1-cost)cos tdt =-32 (cost-cosi)d cost 32( 1)+C 4-x2+4-x2+C 4 例18 求 -dx (a> 解:令x=asct,dk= sect tan tdt,t∈(0,z -dx a sec t·tant a tan t seidl=In(sec 1+ tan)+C a
7 ln . 2 2 C a x a a x + + = + 例 17 求 4 . 3 2 x x dx − 解：令 x = 2sin t ， dx = 2costdt， − 2 , 2 t x x dx − 3 2 4 (2sin t) 4 4sin t 2costdt 3 2 = − t tdt 3 2 32 sin cos = t t tdt 2 2 32 sin (1 cos ) cos = − 32 (cos t cos t)d cost 2 4 = − − = − t − cos t) +C 5 1 cos 3 1 32( 3 5 ( ) ( 4 ) . 5 1 4 3 4 5 2 3 2 = − − x + − x +C 例 18 求 ( 0). 1 2 2 − dx a x a 解：令 x = asect ， dx = asect tantdt ， 2 0, t = − dx x a 2 2 1 dt a t a t t tan sec tan = sec tdt = ln(sec t + tan t) +C ln . 2 2 C a x a a x + − = + t a x 2 2 x + a t 2 x 2 4− x
说明(1)以上几例所使用的均为三角代换三角代换的目的是化掉根式 般规律如下:当被积函数中含有 (1)√a2-x2,可令x=asnt; (2)Ⅷa2+x2,可令x=amn (3)√x2-a2,可令x= asec t 说明(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换 cosh2t- sinh2t=1∴x= asinh t,x= a cosh t也可以化掉根式 例 dx中,令x= asinh t,dx= a cosh tdt dt = dt=t+C=arsinh - +C acosh t x2+a+C 说明(3)积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换(或双曲代换)并不是绝对 的,需根据被积函数的情况来定 例19求 dx(三角代换很繁琐 1+x 解:令t=√1+x2→x2=t2-1,xadx=tdh, 1d=[(4-22+1)a=-t-2t3+t+C (8-4x2+3x4)l+x2+C 例20求 ate
8 说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 2 2 (1) a − x ，可令 x = asin t; 2 2 (2) a + x ，可令 x = a tan t; 2 2 (3) x − a ，可令 x = asect. 说明(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换. cosh sinh 1 2 2 t − t = x = asinh t, x = a cosh t 也可以化掉根式 例 dx x a + 2 2 1 中, 令 x = asinh t ， dx = a cosh tdt dx x a + 2 2 1 = dt a t a t cosh cosh = dt = t +C C a x = arsinh + ln . 2 2 C a x a a x + + = + 说明(3) 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对 的，需根据被积函数的情况来定. 例 19 求 dx x x + 2 5 1 （三角代换很繁琐） 解：令 2 t = 1+ x 1, 2 2 x = t − xdx = tdt, dx x x + 2 5 1 ( ) tdt t t − = 2 2 1 (t t )dt = − 2 +1 4 2 = t − t + t +C 5 3 3 2 5 1 (8 4 3 ) 1 . 15 1 2 4 2 = − x + x + x +C 例 20 求 . 1 1 dx e x + t a x 2 2 x − a
解:令t=√1 2-1 t-1t+1 +c 说明(4)当分母的阶较高时,可用倒代换x= 例21求 x(x2+2) 解:令 dt x(x7+2) 1+2 14 h|1+2r In -In x +C. 例22求 dx.(分母的阶较高) dx dt +u 2(+n-1+a1(+) +√1+u+C 说明(5)当被积函数含有两种或两种以上的根式√x…,x时,可采用令x=t (其中n为各根指数的最小公倍数) 例23求 x(1+x)
9 解：令 x t = 1+ e 1, 2 e = t − x ln( 1), 2 x = t − , 1 2 2 dt t t dx − = dx e x 1+ 1 dt t − = 1 2 2 dt t t + − − = 1 1 1 1 C t t + + − = 1 1 ln 2ln( 1 e 1) x C. x = + − − + 说明(4) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 . 1 t x = 例 21 求 dx x x ( + 2) 1 7 解：令 t x 1 = , 1 2 dt t dx = − dx x x ( + 2) 1 7 dt t t t − + = 7 2 1 2 1 + = − dt t t 7 6 1 2 = − ln |1+ 2t | +C 14 1 7 ln | | . 2 1 ln | 2 | 14 1 7 = − + x + x +C 例 22 求 . 1 1 4 2 dx x x + （分母的阶较高） 解：令 t x 1 = , 1 2 dt t dx = − dx x x +1 1 4 2 dx t t t − + = 2 4 2 1 1 1 1 1 dt t t + = − 2 3 1 2 2 2 2 1 1 dt t t + = − 2 u = t + = − du u u 2 1 1 + − − = du u u 1 1 1 2 1 + − + + = 1 (1 ) 1 1 2 1 u d u u = − ( 1+ u ) + 1+ u +C 3 1 3 . 1 1 3 1 2 3 2 C x x x x + + + + = − 说明(5) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 k l x, , x 时，可采用令 n x = t （其中 n 为各根指数的最小公倍数） 例 23 求 . (1 ) 1 3 dx x x +
解:令x=t° - dx dt dt=6 Vx(1+Vx) t(1+t2) 1+t2 dt=[t-arctant]C=6Vx-arctan xl 1+t 基本积分表 (16)tan xdx=-In cosx+C (17cot xdx=In sin x+C (18)sec xdx= In(sec x+ tan x)+C; (19)csc xdr=In(csc x-cot x)+C, (20) -dx=-arctan -+C a2+x (21) Adx =2a x+a (2)=1k= a+x (24)]x±d b=h(x+√x2±a2)+C 三、小结 两类积分换元法 (一)凑微分(二)三角代换、倒代换、根式代换 基本积分表(2)
10 解：令 6 x = t 6 , 5 dx = t dt dx x x (1+ ) 1 3 + = dt t t t (1 ) 6 3 2 5 + = dt t t 2 2 1 6 + + − = dt t t 2 2 1 1 1 6 + = − dt t 2 1 1 6 1 = 6[t − arctan t]+C 6[ arctan ] . 6 6 = x − x +C 基本积分表 (16) tan ln cos ; xdx = − x +C (17) cot ln sin ; xdx = x +C (18) sec ln(sec tan ) ; xdx = x + x +C (19) csc ln(csc cot ) ; xdx = x − x +C arctan ; 1 1 (20) 2 2 C a x a dx a x = + + ln ; 2 1 1 (21) 2 2 C x a x a a dx x a + + − = − ln ; 2 1 1 (22) 2 2 C a x a x a dx a x + − + = − arcsin ; 1 (23) 2 2 C a x dx a x = + − ln( ) . 1 (24) 2 2 2 2 dx x x a C x a = + + 三、小结 两类积分换元法： （一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换 基本积分表(2)