《高等数学》课程电子教案：第七章（7.4）数量积 向量积 混合积

章节题目 第四节数量积向量积混合积 向量的数量积 向量的向量积 内|向量的混合积 容提要 数量积的定义及运算法则 向量积的定义及运算法则 重点分析 向量的数量积、向量积的运算 难点分析 题|Pn2:1(1)、3、6、7、8、10 布 备注

1 章 节 题 目 第四节 数量积 向量积 混合积 内 容 提 要 向量的数量积 向量的向量积 向量的混合积 重 点 分 析 数量积的定义及运算法则 向量积的定义及运算法则 难 点 分 析 向量的数量积、向量积的运算 习 题 布 置 P402：1（1）、3、6、7、8、10 备 注

教学内容 、两向量的数量积 实例一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2,以表示位移,则力F 所作的功为W=F‖s|cosb(其中b为F与§的夹角) 启示两向量作这样的运算,结果是一个数量 定义向量a与b的数量积为a·b a·b=ab|cosb(其中b为a与b的夹角) 6 a·b=a‖b|cosb .b cos= Prjb, lalcos8= Pr j,a, ab=b Pr jBa=la| Prj b 结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的 投影的乘积数量积也称为“点积”、“内积” 关于数量积的说明: (1)a·a=aP 证∵O=0, aadalla cos0=al (2)a·b=0←→a⊥b 证(→)∵a·b=0,|a≠0,|bk≠0, cos0=0.0=- a⊥b (<=)∵a⊥b,O=z 2∴CosO=0, a·b=a‖b|cosb=0. 数量积符合下列运算规律: 2

2 教 学 内 容 一、两向量的数量积 实例 一物体在常力 F  作用下沿直线从点 M1 移动到点 M2 ，以 s  表示位移，则力 F  所作的功为 W | F || s | cos   = (其中  为 F  与 s  的夹角) 启示 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义 向量 a  与 b  的数量积为 a b    a b | a || b | cos      = (其中  为 a  与 b  的夹角) a b | a || b | cos      = | b | cos Pr j b, a     = | a | cos Pr j a, b    = a b b j ba       =| | Pr | a | Pr j b. a   = 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的 投影的乘积.数量积也称为“点积”、“内积”. 关于数量积的说明： (1) | | . 2 a a a     = 证  = 0, | || | cos | | . 2 a a a a a        =  = (2) a b = 0    a b.   ⊥ 证 () a b = 0,    | a | 0,  | b | 0,  cos = 0,  = , 2  a b.    ⊥ () a b,    ⊥  = , 2  cos = 0, a b =| a || b | cos = 0.     数量积符合下列运算规律： a  b  

(1)交换律:ab=b·a (2)分配律:(a+b)C=a·C+b·c; (3)若A为数:(i)·b=a·(b)=(a·b) 若A、H为数:(Aa)(1b)=41(a·b) ia=a i+aj+ak, b=bi+bj+bk a·b=(a1+a,j+ak)·(b,1+b,j+bk) i⊥j⊥k,∴ij=jk=k·i=0, liljkk1 ab=a1b2+a,b,+a2b数量积的坐标表达式 a·b=ab|cosb→c0sb= b +abta b cs6=,,.,, (两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 a⊥b<→a1b2+ab+a1b2=0 例1已知a={11-4},b={1-2,2},求(1)ab;(2)a与b的夹角;(3) a在b上的投影 解(1)a·b=11+1.(-2)+(-4)2=-9 (2)cos 8 ab +ab+a.b. +a +a .6

3 （1）交换律： a b b a;      =  （2）分配律： (a b) c a c b c;        +  =  +  （3）若  为数： ( a) b a ( b) (a b),         =   =   若  、  为数： ( a) ( b) (a b).        =   设 a a i a j a k, x y z     = + + b b i b j b k x y z     = + + a b =   (a i a j a k ) x y z    + + (b i b j b k ) x y z     + + i j k ,     ⊥ ⊥ i  j = j  k = k i = 0,       | i |=| j |=| k |=1,     i i = j  j = k  k =1.       a b = axbx + ayby + azbz    数量积的坐标表达式 a b | a || b | cos      = , | || | cos a b a b        = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = (两向量夹角余弦的坐标表示式) 由此可知两向量垂直的充要条件为 a ⊥b    axbx + ayby + azbz = 0 例 1 已知 a = {1,1,−4}  ，b = {1,−2,2}  ，求（1） a b    ；（2） a  与 b  的夹角；（3） a  在 b  上的投影. 解 a b   (1)  =11+1(−2) + (−4)2 = −9. 2 2 2 2 2 2 (2) cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = , 2 1 = −  = . 4 3

(3)ab=bIPrJBa: Pr Ja='6 例2证明向量c与向量(a·c)b-(b·c)a垂直 证[(a·c)b-(b·c)a]c [(a·c)bc-(b:c)a·c] =(c·b)a·c-a·] 0 (a·c)b-(b·c)a]⊥c 二、两向量的向量积 实例设O为一根杠杆L的支点,有一力F作用于这杠杆上P点处.力F与OP 的夹角为6,力F对支点O的力矩是一向量M 它的模|MHOQ‖F=OP‖F|snO M的方向垂直于OP与F所决定的平面,指向符合右手系 定义向量a与b的向量积为axb cHa‖b|snO(其中b为a与b的夹角) C的方向既垂直于a,又垂直于b,指向符合右手系向量积也称为“叉积”、“外 积 关于向量积的说明: (1)a×a=0.(:6=0→snb=0) (2)a∥b<→axb=0.(a≠0,b≠O) 证(→)∵a×b=0,|a≠0,|b≠0

4 a b b j ba     (3)  =| | Pr 3. | | Pr = −   = b a b j ba     例 2 证明向量 c  与向量 a c b b c a       (  ) − (  ) 垂直. 证 a c b b c a c        [(  ) − (  ) ] [(a c)b c (b c)a c]         =   −   (c b)[a c a c]       =   −  = 0 a c b b c a c        [(  ) − (  ) ] ⊥ 二、两向量的向量积 实例 设 O 为一根杠杆 L 的支点，有一力 F  作用于这杠杆上 P 点处．力 F  与 OP 的夹角为  ，力 F  对支点 O 的力矩是一向量 M  . 它的模 | M | | OQ || F |   = | OP || F |sin  = M  的方向垂直于 OP 与 F  所决定的平面, 指向符合右手系. 定义 向量 a  与 b  的向量积为 a b | c | | a || b |sin     = (其中  为 a  与 b  的夹角) c  的方向既垂直于 a  ，又垂直于 b  ，指向符合右手系.向量积也称为“叉积”、“外 积”. 关于向量积的说明： (1) 0.    a  a = ( = 0  sin  = 0) a b   (2) //  0.    ab = ( 0, 0)     a  b  证 () 0,    a b = | a | 0,  | b | 0,  L F  P Q O 

6=0.6=0.a∥b (<) b=0或x∴snb=0 向量积符合下列运算规律 (1)a×b=-b×a (2)分配律:(a+b)xC=axC+b×C (3)若λ为数:(A)×b=a×(b)=A(a×b) 设石=a1+a,+ak,b=b1+b+bk d×b=(a1+a,j+ak)×(b,1+b,j+bk) ixi=jxj=k×k=0 k jx=-k,k×j=-1,1xk=-j b=(a,b..) i+(ab-a,b)j+(a,b -a, b)k (向量积的坐标表达式) 向量积还可用三阶行列式表示 br b 由上式可推出 b 6. b. b b、b、b不能同时为零,但允许两个为零, 例如 00b 补充 a×b|表示以a和b为邻边的平行四边形的面积

5 sin  = 0,  = 0, a b   // ()   = 0或 sin = 0 | a b |=| a || b |sin  = 0.     向量积符合下列运算规律： （1） a b b a.      = −  （2）分配律： (a b) c a c b c.        +  =  +  （3）若  为数： ( a) b a ( b) (a b).         =   =   设 a a i a j a k, x y z     = + + b b i b j b k x y z     = + + ab =   (a i a j a k ) x y z    + + (b i b j b k ) x y z     + + 0,         i i = j  j = k k = i j k ,      = j k i ,     = k i j,     = j i k ,     = − k j i ,     = − i k j.     = − a b    a b a b i a b a b j a b a b k y z z y z x x z x y y x    = ( − ) + ( − ) + ( − ) (向量积的坐标表达式) 向量积还可用三阶行列式表示 x y z x y z b b b a a a i j k a b       = 由上式可推出 a b   //  z z y y x x b a b a b a = = x b 、 y b 、 z b 不能同时为零，但允许两个为零， 例如， z x y z b a a a = = 0 0  ax = 0, ay = 0 补充 | a b |    表示以 a  和 b  为邻边的平行四边形的面积

C=a×b 例3求与a=31-2j+4k,b=1+j-2k都垂直的单位向量 j k 解c=a×b=,a,a|=3-24=107+5k, . b1 cF=√102 例4在顶点为A(1,-1,2)、B(5,-6,2)和C(1,3,-1)的三角形中,求AC边上的高 BD ∠个 C 解AC={0,4,-3}AB={4,-5,0} 三角形ABC的面积为 S LACX AB|=√152+121+162 AC|=√42+(-3)2=5,S=AC||BD =-·5|BD BD|=5 例5设向量m,n,p两两垂直,符合右手规则,且|m}=4,|n=2,|m}=4, 计算(m×n) 解 m×n|m‖ n sin(m

6 例 3 求与 a i j k     = 3 − 2 + 4 ，b i j k     = + − 2 都垂直的单位向量. 解 x y z x y z b b b a a a i j k c a b       =  = 1 1 2 3 2 4 − = − i j k    10 j 5k ,   = + | | 10 5 5 5, 2 2 c = + =   | | 0 c c c     =  . 5 1 5 2       =  j + k   例 4 在顶点为 A(1,−1,2) 、B(5,−6,2) 和 C(1,3,−1) 的三角形中，求 AC 边上的高 BD . 解 AC ={0,4,−3} AB = {4,−5,0} 三角形 ABC 的面积为 S= 2 1 AC AB 2 2 2 15 12 16 2 1 = + + , 2 25 = AC 4 ( 3) 5, 2 2 = + − = | | 2 1 S = AC  BD 5 | | 2 1 2 25 =   BD | BD |= 5. 例 5 设向量 m n p    , , 两两垂直，符合右手规则，且 | m |= 4  ，| n |= 2  ，| m |= 4  ， 计算 m n p    (  ) . 解 ] a  b  c a b    =  A B C D | m n | | m || n |sin( m, n)        = 

=4×2×1=8 依题意知m×n与p同向 =(m×n,p)=0 (m×n)·p=m×|| pcos=8·3=24 三、向量的混合积 定义设已知三个向量a、b、C,数量(a×b)·C 称为这三个向量的混合积,记为[b i a=a, i+a,j+ak, b=bi+b,j+bk, C=CI+C.+ bd]=(a×b)=b,b (混合积的坐标表达式) 关于混合积的说明 (1)向量混合积的几何意义: 向量的混合积[ab]=(a×b)c是这样的一个数,它的绝对值表示以向量a b、C为棱的平行六面体的体积 a×b (2)[ib]=(axb)=(b×)a=(xa)b (3)三向量a、b、c共面<→[ab(]=0 例6已知[abC]=2,计算[(a+b)x(b+c(+a) 解[(Ga+b)×(b+c)(c+a =[a×b+axc+b×b+b×c)(c+a)

7 = 4 21 = 8, 依题意知 m n    与 p  同向，  = (mn, p) = 0     m n p    (  ) | m n | | p | cos    =   = 83 = 24. 三、向量的混合积 定义 设已知三个向量 a  、b  、c  ，数量 a b c    (  ) 称为这三个向量的混合积，记为 [abc]    . 设 a a i a j a k, x y z     = + + b b i b j b k , x y z     = + + c c i c j c k , x y z     = + + [abc]    a b c    = (  ) x y z x y z x y z c c c b b b a a a = (混合积的坐标表达式) 关于混合积的说明： （1）向量混合积的几何意义： 向量的混合积 [abc]    a b c    = (  ) 是这样的一个数，它的绝对值表示以向量 a  、 b  、 c  为棱的平行六面体的体积. (2) [abc]    a b c    = (  ) b c a    = (  ) (c a) b.    =   （3）三向量 a  、b  、c  共面 [abc] = 0.    例 6 已知 [abc] = 2    ，计算 [(a b) (b c)] (c a)       +  +  + . 解 [(a b) (b c)] (c a)       +  +  + [a b a c b b b c)] (c a)           =  +  +  +   + a  c  b  a b    

(a×b)·c+(a×c)·c+0·c+(b×c):c (axb)·a+(a×c)·a+0.a+(b×c)·a 2(a×b)·C=2[dbc]=4 例7已知空间内不在一平面上的四点A(x1,y,)、B(x2,y2,二2)、C(x3,y,二3) y4,=4),求四面体的体积 解由立体几何知,四面体的体积等于以向量AB、AC、AD为棱的平行六面体 的体积的六分之 AC {x2-x1,y2-y1,z2-=1} {x3-x1,y3-y1,z3-=1} AD x1,y4-y1,24-21 x1y2-y122-21 x 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致 四、小结 向量的数量积(结果是一个数量) 向量的向量积(结果是一个向量) 向量的混合积(结果是一个数量) (注意共线、共面的条件) 思考题 已知向量a≠0,b≠0,证明a×b=ab-(a.b)2 思考题解答 a×b=a·|bsin2(a^b)=d|bf[-cos2(a^b Ha.b-ar. b cos(ab)a- 1bP -(ab)2

8 a b c a c c c b c c            = (  ) + (  ) + 0 + (  ) a b a a c a a b c a            + (  ) + (  ) + 0 + (  ) a b c    = 2(  ) 2[abc]    = = 4. 例 7 已知空间内不在一平面上的四点 ( , , ) 1 1 1 A x y z 、 ( , , ) 2 2 2 B x y z 、 ( , , ) 3 3 3 C x y z 、 ( , , ) 4 4 4 D x y z , 求四面体的体积. 解 由立体几何知，四面体的体积等于以向量 AB 、 AC 、 AD 为棱的平行六面体 的体积的六分之一 { , , } 2 1 2 1 2 1  AB = x − x y − y z − z { , , } 3 1 3 1 3 1 AC = x − x y − y z − z { , , } 4 1 4 1 4 1 AD = x − x y − y z − z 4 1 4 1 4 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 6 1 x x y y z z x x y y z z x x y y z z V − − − − − − − − −  =  式中正负号的选择必须和行列式的符号一致. 四、小结 向量的数量积（结果是一个数量） 向量的向量积（结果是一个向量） 向量的混合积（结果是一个数量） （注意共线、共面的条件） 思考题 已知向量 0   a  ， 0   b  ，证明 2 2 2 2 | a b | | a | | b | (a b)        = −  . 思考题解答 | | | | | | sin ( ) , 2 2 2 2 a b a b a b         =  | | | | [1 cos ( )] , 2 2 2 a b a b      =  − 2 2 | a | | b |   =  | | | | cos ( ) , 2 2 2 a b a b      −  2 2 | a | | b |   =  ( ) . 2 a b   −  [ ] 6 1 V = AB AC AD