高等数学第六章习题 1.设曲线y=a(4-x2)a>0)过此曲线和x轴交点(-2,0)及(2,0)作曲线的 两条法线,求曲线与这两条法线所围成的平面图形的面积最小时a的值 2.算曲线4y2=x与直线y+x=所围成图形的面积 3.算曲线y2=2px及其在点(P,p)处的法线所围成的图形的面积 4.计算抛物线y=-x2+4x-3及其在点(0,-3)和(30)处的切线所围成图形的面积 5.计算抛物线4y2=x与直线x+y=所围成图形的面积,及此图形绕y轴旋转所成旋 转体的体积 6.求三次抛物线y=x3及直线y=2x所围成的图形的面积 7.求摆线x=a(t-sint)y=a(1-cos)的一拱与横轴所围成图形的面积及该图形绕横 周旋转所成旋转体的体积 8.求r=√2in及r2=cos20所围成图形的面积 9.已知星形线方程 x = acos t y=asn t 1.它所围的面积:2.它的弧长:3.它绕x轴旋转一周而生成的立体的体积 求曲线r=a(1+cosO)的全长 11.试证:曲线y=sinx上相应于0≤x≤2的一段弧的长度 等于椭圆x2+2y2=2的周长 12.一根平放的弹簧,已知当拉长10cm时,需力50牛顿,问拉长15cm时,克服弹力做功 多少? 13.已盛满了水的圆台形蓄水池,其下底半径为10米,上底半径为2米,高为5米,计算 抽完池中的水需做多少功? 14.一个半径为5米,高10米的圆柱形水桶装满水,求将水全部吸出所作的功。 15.闸门为矩形,宽20cm,高16cm,垂直置于水中,它的上沿与水相齐,求水对闸门的 压力 16.薄板形状为一椭圆形,其轴为2a和2b(a>b),此薄板的一半铅直沉入水中,而其短 轴与水的表面相齐,计算水对此薄板的一个面的压力 17.一直线形细杆,长为l,一端位于数轴的原点,线密度为p(x)=x2,求细杆的质量.(单 位长度的质量为线密度)
高等数学第六章习题 2 (4 )( 0). ( 2,0) (2,0) , . y a x a x a 1.设曲线 过此曲线和 轴交点 及 作曲线的 = − − 两条法线 求曲线与这两条法线所围成的平面图形的面积最小时 的值 2． 算曲线 y = x 2 4 与直线 2 3 y + x = 所围成图形的面积. 3． 算曲线 2 y px = 2 及其在点 ( , ) 2 p p 处的法线所围成的图形的面积. 4． 计算抛物线 4 3 2 y = −x + x − 及其在点 (0,−3) 和 (3,0) 处的切线所围成图形的面积. 5． 计算抛物线 y = x 2 4 与直线 2 3 x + y = 所围成图形的面积，及此图形绕 y 轴旋转所成旋 转体的体积； 6． 求三次抛物线 3 y = x 及直线 y = 2x 所围成的图形的面积. 7． 求摆线 x a t t y a t = − = − ( sin ), (1 cos ) 的一拱与横轴所围成图形的面积及该图形绕横 周旋转所成旋转体的体积. 8． 求 r = 2 sin 及 2 r = cos2 所围成图形的面积. 9． 已知星形线方程 = = y a t x a t 3 3 sin cos ，求： 1. 它所围的面积；2. 它的弧长；3. 它绕 x 轴旋转一周而生成的立体的体积. 10． 求曲线 r a = + (1 cos ) 的全长. 2 2 : sin 0 2 2 2 . y x x x y = + = 11. 试证 曲线 上相应于 的一段弧的长度 等于椭圆 的周长 12. 一根平放的弹簧，已知当拉长 10cm 时，需力 50 牛顿，问拉长 15cm 时，克服弹力做功 多少？ 13．已盛满了水的圆台形蓄水池，其下底半径为 10 米，上底半径为 2 米，高为 5 米，计算 抽完池中的水需做多少功？ 14．一个半径为 5 米，高 10 米的圆柱形水桶装满水，求将水全部吸出所作的功。 15. .闸门为矩形，宽 20cm，高 16cm，垂直置于水中，它的上沿与水相齐，求水对闸 门的 压力. 16. 薄板形状为一椭圆形，其轴为 2a 和 2b ( ) a b ，此薄板的一半铅直沉入水中，而其短 轴与水的表面相齐，计算水对此薄板的一个面的压力. 17. 一直线形细杆，长为 l ，一端位于数轴的原点，线密度为 2 ( ) x x = ，求细杆的质量. （单 位长度的质量为线密度）
17.已盛满了水的半球形蓄水池,其半径为10米,计算抽完池中的水所做的功 18.设f(x)在[O,1]上连续,在(0,1)内大于0,并且xf(x)=f(x)+ 又曲线 y=f(x)与x=1,y=0所围图形S的面积为2,求f(x),并问a为何值时,图形S 绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小 19.过坐标原点作曲线y=lnx的切线,该曲线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形围D (1)求D的面积 (2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积。 20.求曲线y=lnx在区间(2,6)内的一条切线,使其与直线x=2,x=6及曲线y=lnx 所围图形的面积最小 21.设曲线y=f(x)在任一点出的切线斜率与该点纵坐标成正比,若此曲线在(O,1)点的切 线斜率为2,求此切线与该曲线和直线x=1所围图形的面积及此面积绕y旋转一周所 得旋转体的体积
17. 已盛满了水的半球形蓄水池，其半径为 10 米，计算抽完池中的水所做的功. 18．设 f x( ) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内大于 0 ，并且 3 2 ( ) ( ) 2 a xf x f x x = + ，又曲线 y f x = ( ) 与 x y = = 1, 0 所围图形 S 的面积为 2，求 f x( ) ，并问 a 为何值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小。 19．过坐标原点作曲线 y x = ln 的切线，该曲线与曲线 y x = ln 及 x 轴围成平面图形围 D （1） 求 D 的面积； （2） 求 D 绕直线 x e = 旋转一周所得旋转体的体积。 20．求曲线 y x = ln 在区间 (2,6) 内的一条切线，使其与直线 x x = = 2, 6 及曲线 y x = ln 所围图形的面积最小。 21．设曲线 y f x = ( ) 在任一点出的切线斜率与该点纵坐标成正比，若此曲线在 (0,1) 点的切 线斜率为 2，求此切线与该曲线和直线 x =1 所围图形的面积及此面积绕 y 旋转一周所 得旋转体的体积