章节题目 第七节方向导数与梯度 方向导数的概念及计算 梯度的概念与几何意义 内容提要 方向导数的计算 梯度概念的理解 重点分析 梯度概念的理解 梯度的几何意义 难点分析 习题布置 2、4、7、10 备注
1 章 节 题 目 第七节 方向导数与梯度 内 容 提 要 方向导数的概念及计算 梯度的概念与几何意义 重 点 分 析 方向导数的计算 梯度概念的理解 难 点 分 析 梯度概念的理解 梯度的几何意义 习 题 布 置 P60 2、4、7、10 备 注
教学内容 问题的提出 实例:一块长方形的金属板,四个顶点的坐标是(1,1),(5,1),(1,3),(5,3),在坐标 原点处有一个火焰,它使金属板受热.假定板上任意一点处的温度与该点到原点 的距离成反比.在(3,2)处有一个蚂蚁,问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达 较凉快的地点? 问题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度方向)爬行 、方向导数的定义 讨论函数z=f(x,y)在一点P沿某一方向的变化率问题 设函数Z=f(x,y)在点P(x,y)的某一领域U(P)内有定义,自点P引射线L 设x轴正向到L射线的转角为φ并设p'(x+Ax,y+△y)为L上的另一点 且p'∈U(p) PPF=p=√(△x)2+(△y)2,且A=f(x+Ax,y+4y)-f(x,y) 考虑,当P"沿着1趋于P时,m/(x+△r,y+△y)-/(xy)是否存在? 定义函数的增量f(x+Ax,y+△y)-f(x,y)与 PP两点间的距离p=Ax)2+(4y)2之比值, 当P沿着l趋于P时,如果此比的极限存在, 则称这极限为函数在点P沿方向l的方向导数. 记为9=mf(x+△xy+24y)-f(xy lp→0 依定义,函数∫(x,y)在点P沿着x轴正向E1={0}、y轴正向e2={0,1}的方向 导数分别为fx,Jy; 定理如果函数==f(x,y)在点P(x,y)是可微分的,那末函数在该点沿任意方向 2
2 教 学 内 容 一、问题的提出 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标 原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点 的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达 较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行． 二、方向导数的定义 讨论函数 z = f (x, y) 在一点 P 沿某一方向的变化率问题． 设函数 Z=f (x ,y)在点 P (x ,y)的某一领域 U (P)内有定义,自点 P 引射线 L, 设 x 轴正向到 L 射线的转角为 ,并设 p (x+ x, y + y )为 L 上的另一点 且 p U（p) | PP |= ( ) ( ) , 2 2 = x + y 且z = f (x +x, y +y)− f (x, y), , z 考虑 当 P 沿着 l 趋于 P 时, ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → 是否存在？ 则称这极限为函数在点 沿方向 的方向导数． 当 沿着 趋于 时，如果此比的极限存在， 两点间的距离 之比值， 定义 函数的增量 与 P l P l P PP x y f x x y y f x y = + + + − 2 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) 记为 . ( , ) ( , ) lim 0 f x x y y f x y l f + + − = → 依定义，函数 f (x, y) 在点 P 沿着 x 轴正向 {1,0} e1 = 、 y 轴正向 {0,1} e2 = 的方向 导数分别为 x y f , f ； 定理 如果函数 z = f (x, y) 在点 P(x, y) 是可微分的，那末函数在该点沿任意方向 o y x l • P x y • P •
L的方向导数都存在,且有=yc0s9+9sm,其中为x轴到方向L 的转角 证明由于函数可微,则增量可表示为 f(x+Ax,y+Ay)-f(x, y) 可fAf △y+O(p) 两边同除以p,得到 f(x+Ax,y+4y)-f(x,y)△x,可f4y,o(p) 设一为cos,为sing 故有方向导数 af f(x+Ax, y+Ay)-f(x, y) acos+asin g 例1求函数z=xe2在点P(1,0)处沿从点P(10)到点Q(2-1)的方向的方向导数 解这里方向l即为PQ={,-1},故x轴到方向/的转角q= =e (1,0) (10 所求方向导数=c0S(-)+2sn(-) 例2求函数f(x,y)=x2-xy+y2在点(1,1)沿与x轴方向夹角为a的方向射 线l的方向导数并问在怎样的方向上此方向导数有 (1)最大值:(2)最小值:(3)等于零? 解由方向导数的计算公式知 f (,I)cosa+f, (L)sin a=(2x-y)lan cosa+(2y-x), sin a, cosa+sna=√2si(a+)
3 L 的方向导数都存在，且有 cos sin y f x f l f + = ，其中 为 x 轴到方向 L 的转角． 证明 由于函数可微，则增量可表示为 ( , ) ( , ) y o() y f x x f f x x y y f x y + + + + − = 两边同除以 , 得到 ( , ) ( , ) y o( ) y x f x f x x y y f x y f + + = + + − 设 x 为 cos , y 为 sin 故有方向导数 = l f ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → cos sin . y f x f + = 例 1 求函数 y z xe 2 = 在点 P(1,0) 处沿从点 P(1,0) 到点 Q(2,−1) 的方向的方向导数. 解 这里方向 l 即为 PQ = {1,−1} , 故 x 轴到方向 l 的转角 4 = − . 1; (1,0) 2 (1,0) = = y e x z 2 2, (1,0) 2 (1,0) = = y xe y z 所求方向导数 = l z ) 4 ) 2sin( 4 cos( − + − . 2 2 = − 例 2 求函数 2 2 f (x, y) = x − xy+ y 在点（1，1）沿与 x 轴方向夹角为 的方向射 线 l 的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？ 解 由方向导数的计算公式知 (1,1) cos (1,1)sin (1,1) x y f f l f = + (2 ) cos (2 ) sin , (1,1) (1,1) = x − y + y − x = cos +sin ), 4 2 sin( = +
故(1)当 时,方向导数达到最大值√2 (2)当α=一时,方向导数达到最小值 (3)当a=37和a=7z时,方向导数等于0 推广可得三元函数方向导数的定义 对于三元函数u=f(x,y,z),它在空间一点P(x,y,z)沿着方向L的方向导数 o°如/(x+Ax,y+4,=+A)-f(x,y2) 可定义为y (其中p=√(Ax)2+(4y)+(△c)2) 设方向L的方向角为a,B,y Ax= pcos, Ay= pcos B, A= cosy 同理:当函数在此点可微时,那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在, 且有 cosa+ B+ cosy 例3设n是曲面2x2+3y2+x2=6在点P(11)处的指向外侧的法向量,求 函数l=-(6x2+8y2)2在此处沿方向的方向导数 解令F(x,y,z)=2x2+3y2+z2-6 F=4x=4F=6=6,F1p=2 故={1,F,F=462} 同=V42+6+2=2√14,方向余弦为 B coS y 14 6 a √4cy √14 6x2+8y2
4 故（1）当 4 = 时，方向导数达到最大值 2 ; （2）当 4 5 = 时，方向导数达到最小值− 2 ; （3）当 4 3 = 和 4 7 = 时，方向导数等于 0. 推广可得三元函数方向导数的定义 对于三元函数 u = f (x, y,z) ，它在空间一点 P(x, y,z) 沿着方向 L 的方向导数 ， 可定义为 , ( , , ) ( , , ) lim 0 f x x y y z z f x y z l f + + + − = → （ 其中 2 2 2 = (x) + (y) + (z) ） 设方向 L 的方向角为 , , x = cos, y = cos , z = cos , 同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都存在， 且有 cos cos cos . z f y f x f l f + + = 例 3 设 n 是曲面 2 3 6 2 2 2 x + y + z = 在点 P(1,1,1) 处的指向外侧的法向量，求 函数 2 1 2 2 (6 8 ) 1 x y z u = + 在此处沿方向 n 的方向导数. 解 令 ( , , ) 2 3 6, 2 2 2 F x y z = x + y + z − = 4 = 4, x P P F x = 6 = 6, y P P F y = 2 = 2, z P P F z 故 n = Fx , Fy , Fz =4, 6, 2, 4 6 2 2 14, 2 2 2 n = + + = 方向余弦为 , 14 2 cos = , 14 3 cos = . 14 1 cos = P P z x y x x u 2 2 6 8 6 + = ; 14 6 = P P z x y y y u 2 2 6 8 8 + = ; 14 8 = P P z x y z u 2 2 2 6 +8 = − = − 14
故 (cosa+scos+=cosr) 7 三、梯度的概念 问题:函数在点P沿哪一方向增加的速度最快? 定义设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点 P(x,y)∈D,都可定出一个向量y7+97,这向量称为函数二=f(x)在点 P(x,y)的梯度,记为gad(xy)=97+9 设e=cos+sing是方向7上的单位向量, 由方向导数公式知 f可f =一cosq+Snq }·cosg,snφ} = gradf(x,y)·=grad(x,y)cosO,其中b=(grd(x,y)E) 当cos(gray(x,e)=1时, 有最大值 结论:函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向 致,而它的模为方向导数的最大值.梯度的模为 8(xy)=,/9)+(9 ax av 当不为零时,x轴到梯度的转角的正切为tanO
5 故 P P z u y u x u n u ( cos cos cos ) + + = . 7 11 = 三、梯度的概念 问题:函数在点P沿哪一方向增加的速度最快? 定义 设函数 z = f (x, y) 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 P(x, y) D ，都可定出一个向量 j y f i x f + ，这向量称为函数 z = f (x, y) 在点 P(x, y) 的梯度，记为 gradf (x, y) = j y f i x f + . 设 e i j = cos + sin 是方向 l 上的单位向量， 由方向导数公式知 cos sin y f x f l f + = { , }{cos,sin } = y f x f gradf x y e = ( , ) =| gradf (x, y)| cos, 其中 ( ( , ) ) , gradf x y e = 当 cos(gradf (x, y), e) =1 时， l f 有最大值. 结论：函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向 一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为 2 2 | ( , )| + = y f x f gradf x y . 当 x f 不为零时， x 轴到梯度的转角的正切为 x f y f tan = ． gradf − gradf P
在几何上z=f(x,y)表示一个曲面 曲面被平面=c所截得{/(xy 2=C 所得曲线在xoy面上投影如图 f(x,y)=c2 gradf(x, y) 梯度为等高线上的法向量 fir, y)=c 等高线 f(r,y)=c 等高线的画法
6 在几何上 z = f (x, y) 表示一个曲面 曲面被平面 z = c 所截得 , ( , ) = = z c z f x y 所得曲线在 xoy 面上投影如图 等高线的画法 o y x 2 f (x, y) = c 1 f (x, y) = c f (x, y) = c 等高线 gradf (x, y) P 梯度为等高线上的法向量
例如,函数z=snxy图形及其等高线图形 梯度与等高线的关系: 函数Z=f(x,y)在点p(x,y)的梯度的方向与点p的等高线f(x,y)=c在这点法线的 一个方向相同,且从数值较低的等高线指向数值较高的等值线,而梯度的模等于 等于函数在这个法线方向上的方向导数 梯度的概念可以推广到三元函数 三元函数u=f(x,y,=)在空间区域G内具有一阶连续偏导数,则对于每 点P(x,y,z)∈G,都可定义一个向量(梯度
7 例如, 函数 z = sin xy图形及其等高线图形． 梯度与等高线的关系： 函数 Z=f (x, y)在点 p(x ,y)的梯度的方向与点 p 的等高线 f (x, y)=c 在这点法线的 一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等值线，而梯度的模等于 等于函数在这个法线方向上的方向导数。 梯度的概念可以推广到三元函数 三元函数 u = f (x, y,z) 在空间区域 G 内具有一阶连续偏导数，则对于每 一点 P(x, y,z)G ，都可定义一个向量(梯度)
gmxy)=27+7+9 类似于二元函数,此梯度也是一个向量,其方向与取得最大方向导数的方向一致, 其模为方向导数的最大值 类似地,设曲面f(x,y,2)=c为函数u=f(x,y,z)的等量面,此函数在点 P(x,yz)的梯度的方向与过点P的等量面f(x,y,z)=c在这点的法线的一个方 向相同,且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面,而梯度的模等于函数在 这个法线方向的方向导数 例4求函数u=x2+2y2+3x2+3x-2y在点(1,2)处的梯度,并问在哪 些点处梯度为零? 解由梯度计算公式得 gm(xy,)=2+01+mk=(2x+3)+(4y-2)7+6x, ua gradu(1, 1, 2)=5i+2j+12k 在f(-,0)处梯度为0 四、小结 1、方向导数的概念 (注意方向导数与一般所说偏导数的区别) 2、梯度的概念 (注意梯度是一个向量) 3、方向导数与梯度的关系 梯度的方向就是函数f(x,y)在这点增长 最快的方向
8 ( , , ) k. z f j y f i x f gradf x y z + + = 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致， 其模为方向导数的最大值. 类似地, 设曲 面 f (x, y,z) = c 为函数 u = f (x, y,z) 的等量 面， 此函 数在点 P(x, y,z) 的梯度的方向与过点 P 的等量面 f (x, y,z) = c 在这点的法线的一个方 向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在 这个法线方向的方向导数. 例 4 求函数 u x 2y 3z 3x 2y 2 2 2 = + + + − 在点 (1,1,2) 处的梯度，并问在 哪 些点处梯度为零？ 解 由梯度计算公式得 k z u j y u i x u gradu x y z + + ( , , ) = (2x 3)i (4y 2) j 6zk , = + + − + 故 gradu(1,1,2) 5i 2 j 12k. = + + 在 ,0) 2 1 , 2 3 ( P0 − 处梯度为 0. 四、小结 1、方向导数的概念 （注意方向导数与一般所说偏导数的区别） 2、梯度的概念 （注意梯度是一个向量） 3、方向导数与梯度的关系 . ( , ) 最快的方向 梯度的方向就是函数 f x y 在这点增长
思考题 讨论函数z=f(x,y)=√x2+y2在(00)点处的偏导数是否存在?方向导数是否 存在 思考题解答 0o0=m(Ax:0)-f(0 同理:一 00=mAy故两个偏导数均不存在 沿任意方向l={x,y,}的方向导数 dy1onf(Ax,△y)-f(00) (△x)2+(△y) =lim (△x)2+(△y) 故沿任意方向的方向导数均存在且相等
9 思考题 讨论函数 2 2 z = f (x, y) = x + y 在 (0,0) 点处的偏导数是否存在？方向导数是否 存在？ 思考题解答 x f x f x z x − = → ( ,0) (0,0) lim 0 (0,0) . | | lim 0 x x x = → 同理： (0,0) y z y y y = → | | lim 0 故两个偏导数均不存在. 沿任意方向 l = {x, y,z} 的方向导数, ( , ) (0,0) lim 0 (0,0) f x y f l z − = → 1 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 2 2 2 2 0 = + + = → x y x y 故沿任意方向的方向导数均存在且相等