章节题目 第二节偏导数 偏导数的定义、计算、几何意义 高阶偏导数 内容提要 偏导数的计算 重点分析 多元函数偏导数与一元函数导数之间的联系与区别 难点分析 题P201(单、4、5、6(单)、8、9(2) 布 备注
1 章 节 题 目 第二节 偏导数 内 容 提 要 偏导数的定义、计算、几何意义 高阶偏导数 重 点 分 析 偏导数的计算 难 点 分 析 多元函数偏导数与一元函数导数之间的联系与区别 习 题 布 置 P20 1（单）、4、5、6（单）、8、9（2） 备 注
教学内容 偏导数的定义及其计算法 定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某一邻域内有定义,当y固定在y而x 在x处有增量△x时,相应地函数有增量 f(x0+△x,y)-f(x0,y), 如果mf(x+Ax,y)-f(xn3) 20存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点 (x,y)处对x的偏导数,记为 x=x或f(x,y) 同理可定义函数=f(x,y)在点(x0,y)处对y的偏导数,为 lim /(o, yo+Ay)-/(xo, yo) 记为 别 ,=x或∫(x,y) 如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个 偏导数就是x、y的函数,它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导数, 记作 x或f(x,y) 同理可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导数,记作 f(,y) 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如u=f(x,y,=)在(x,y,z)处 f(x, y, =)=lim f(x+Ax,y, 3)-f(x,y,=) Ax→0 ∫,(x,y,z)=Im f(x,y+△y,=)-f(x,y,=) f(x,y,=)=lim ∫(x,y,z+△-)-f(x,y,2) 2
2 教 学 内 容 一、偏导数的定义及其计算法 定义 设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 的某一邻域内有定义，当 y 固定在 0 y 而 x 在 0 x 处有增量 x 时，相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y − f x y ， 如果 x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称此极限为函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处对 x 的偏导数，记为 0 0 y y x x x z = = ， 0 0 y y x x x f = = ， 0 0 y y x x x z = = 或 ( , ) 0 0 f x y x . 同理可定义函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处对 y 的偏导数， 为 y f x y y f x y y + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记为 0 0 y y y x x z = = ， 0 0 y y y x x f = = ， 0 0 y y x x y z = = 或 ( , ) 0 0 f x y y . 如果函数 z = f (x, y) 在区域 D 内任一点 (x, y) 处对 x 的偏导数都存在，那么这个 偏导数就是 x 、 y 的函数，它就称为函数 z = f (x, y) 对自变量 x 的偏导数， 记作 x z ， x f ， x z 或 f (x, y) x . 同理可以定义函数 z = f (x, y) 对自变量 y 的偏导数，记作 y z ， y f ， y z 或 f (x, y) y . 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 u = f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处 , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x + − = → , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y + − = → . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z + − = →
例1求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数 解 2x+3 ar/a!=2×1+3×2=8, 3×1+2×2=7 ay 例2设z=xy(x>0,x≠1),求证 y ax In x ay az - r In x az1 az =xy+xy=2=.原结论成立 例3设 求 az az x t 1 √y2=yD y y 不存在 例4已知理想气体的状态方程p=RT(R为常数),求证:
3 例 1 求 2 2 z = x + 3xy+ y 在点 (1,2) 处的偏导数． 解 = x z 2x + 3y ; = y z 3x + 2y . = = = 2 1 y x x z 21+ 3 2 = 8 , = = = 2 1 y x y z 31+ 22 = 7 . 例 2 设 y z = x (x 0, x 1) ，求证 z y z x x z y x 2 ln 1 = + . 证 = x z , y−1 yx = y z x ln x, y y z x x z y x + ln 1 x x x yx y x y y ln ln 1 1 = + − y y = x + x = 2z. 原结论成立． 例 3 设 2 2 arcsin x y x z + = ，求 x z ， y z . 解 = x z + + − x x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 ( ) | | x y y y x y + + = ( | |) 2 y = y . | | 2 2 x y y + = = y z + + − y x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 ( ) ( ) | | x y xy y x y + − + = x y y x 1 sgn 2 2 + = − ( y 0) 0 0 = y y x z 不存在． 例 4 已 知 理 想 气 体 的 状 态 方 程 pV = RT （ R 为 常 数 ）， 求 证 ：
rt aV R y at v R ap R pp:.=Rr=-1 R 有关偏导数的几点说明: 1、偏导数∽是一个整体记号,不能拆分; 2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求 例如设=f(x,y)=√x求:0,0)f(0,0) 解f(0,0)=mVx:0|-0 =0=f,(0,0) 3、偏导数存在与连续的关系 元函数中在某点可导→连续,多元函数中在某点偏导数存在是否可得连续, 例如,函数f(x,y)={x2+y2 少≠0 依定义知在(0,0)处 0, x2+y2=0 f(00)=f,(00)=0但函数在该点处并不连续.偏导数存在不能得到连续 4、偏导数的几何意义 设M0(x0,y,f(x02y)为曲面z=f(x,y)上一点 如图 f(o, y)
4 = −1 p T T V V p . 证 = V RT p ; 2 V RT V p = − = p RT V ; p R T V = = R pV T ; R V p T = = p T T V V p 2 V RT − p R R V pV RT = − = −1. 有关偏导数的几点说明： １、偏导数 x u 是一个整体记号，不能拆分; ２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； , ( , ) , (0, 0), (0, 0). x y 例如 设z = f x y = xy 求f f 解 x x f x x | 0 | 0 (0,0) lim 0 − = → = 0 (0,0). y = f ３、偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 → 连续，多元函数中在某点偏导数存在是否可得连续， 例 如 , 函 数 + = + = + 0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y , 依 定 义 知 在 (0,0) 处 ， f x (0,0) = f y (0,0) = 0 .但函数在该点处并不连续. 偏导数存在不能得到连续. 4、偏导数的几何意义 ( , , ( , )) ( , ) , 设 M0 x0 y0 f x0 y0 为曲面 z = f x y 上一点 如图
几何意义: 偏导数∫(x0,y)就是曲面被平面y=y所截得的曲线在点M处的切线 MT1对x轴的斜率 偏导数∫(x,y)就是曲面被平面x=x0所截得的曲线在点M处的切线 M(T,对y轴的斜率 二、高阶偏导数 函数z=f(x,y)的二阶偏导数为 ax ax=a=f(x, wso1a82 a a=a= 0(a02=(纯偏导 0()2()0=()量合偏号 定义:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 例5设z=xy2-3xy3-xy+1,求 a2: 02- 00=0. o=3x2y2-3y3- 解 0==2xy-9xy2-x a2=2x3-18xy, =6x2y-9y2-1 6x2y-9y2-1 ayax 观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系 原函数图形 偏 导 函数图形 形 阶混合偏导
5 几何意义: 偏导数 ( , ) 0 0 f x y x 就是曲面被平面 0 y = y 所截得的曲线在点 M0 处的切线 M0Tx 对 x 轴的斜率. 偏导数 ( , ) 0 0 f x y y 就是曲面被平面 0 x = x 所截得的曲线在点 M0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的斜率. 二、高阶偏导数 函数 z = f (x, y) 的二阶偏导数为 ( , ), 2 2 f x y x z x z x = xx = ( , ) 2 2 f x y y z y z y = yy = 纯偏导 ( , ), 2 f x y x y z x z y = xy = ( , ) 2 f x y y x z y z x = yx = 混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 例 5 设 3 1 3 2 3 z = x y − xy − xy+ ，求 2 2 x z 、 y x z 2 、 x y z 2 、 2 2 y z 及 3 3 x z . 解： x z 3 3 , 2 2 3 = x y − y − y y z 2 9 ; 3 2 = x y − xy − x 2 2 x z 6 , 2 = xy 3 3 x z 6 , 2 = y 2 2 y z 2 18 ; 3 = x − xy x y z 2 6 9 1, 2 2 = x y − y − y x z 2 6 9 1. 2 2 = x y − y − 观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系： 原 函 数 图 形 偏 导 函 数 图 形 偏 导 函 数 图 形 二 阶 混 合 偏 导 函 数 图 形
例6设 cos by,求二阶偏导数 a-u b ae cos by be cos by, -abe sin by abasin by ava 问题:混合偏导数都相等吗?具备怎样的条件才相等? 定理如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数及。二在区域D内连 avax 续,那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等. 例7验证函数u(x,y)=h√x2+y2满足拉普拉斯方程 解:h√x2+ au (x2+y2)2(x2+y2)2 a- (x2+y2)2 y2) ax2ay2(x2+y2)2(x2+y2)2=0 三、小结 偏导数的定义(偏增量比的极限) 偏导数的计算、偏导数的几何意义 高阶偏导数:纯偏导、混合偏导(相等的条件) 思考题 若函数∫(x,y)在点f(x0y)连续,能否断定f(x,y)在点B(x0,y)的偏导数必 定存在 思考题解答 不能例如,f(xy)=√x2+y2,在(00)处连续,但f(00)=f(00)不存
6 例 6 设 u e by ax = cos ，求二阶偏导数. 解 ae cosby, x u ax = be sin by; y u ax = − cos , 2 2 2 a e by x u ax = cos , 2 2 2 b e by y u ax = − sin , 2 abe by x y u ax = − sin . 2 abe by y x u ax = − 问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？ 定理 如果函数 z = f (x, y) 的两个二阶混合偏导数 y x z 2 及 x y z 2 在区域 D 内连 续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等． 例 7 验证函数 2 2 u(x, y) = ln x + y 满足拉普拉斯方程 解 ln( ), 2 1 ln 2 2 2 2 x + y = x + y , 2 2 x y x x u + = , 2 2 x y y y u + = , ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y x x y x y x x x u + − = + + − = . ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y y y y u + − = + + − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (x y ) x y x y y x y u x u + − + + − = + = 0. 三、小结 偏导数的定义（偏增量比的极限） 偏导数的计算、偏导数的几何意义 高阶偏导数：纯偏导、混合偏导（相等的条件） 思考题 若函数 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 连续，能否断定 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的偏导数必 定存在？ 思考题解答 不能.例如, ( , ) , 2 2 f x y = x + y 在 (0,0) 处连续, 但 (0,0) (0,0) x y f = f 不存 在
