章节题目 第一节多元函数的基本概念 多元函数的概念 多元函数极限的概念 内/多元函数连续的概念 容/区间上连续函数的性质 提 要 多元函数的概念、极限、连续及连续的性质 重点分析 二重极限的计算 重极限不存在的判定方法 难点分析 习题布置 题|P23、4单),5(单)、6.8 备注
1 章 节 题 目 第一节 多元函数的基本概念 内 容 提 要 多元函数的概念 多元函数极限的概念 多元函数连续的概念 闭区间上连续函数的性质 重 点 分 析 多元函数的概念、极限、连续及连续的性质 难 点 分 析 二重极限的计算 二重极限不存在的判定方法 习 题 布 置 12 p 3、4(单)、5（单）、6、8 备 注
教学内容 多元函数的概念 (1)邻域 设f(x0,y0)是xoy平面上的一个点,d是某一正数,与点f(x0,y)距离小于δ的 点P(x,y)的全体,称为点B的d邻域,记为U(B0,6), U.8)={1Pk}={xy)x-x)+(y-yy<} (2)区域 设E是平面上的一个点集,P是平面上的一个点.如果存在 点P的某一邻域U(P)cE,则称P为E的内点E的内点属于E 如果点集E的点都是内点,则称E为开集 例如,E1={(x,y)<x2+y2<4}即为开集 如果点P的任一个邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点 (点P本身可以属于E,也可以不属于E),则称P为E的边界点 E的边界点的全体称为E的边界 设D是开集.如果对于D内任何两点,都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于D,则称开集D是连通的 连通的开集称为区域或开区域 例如,{(xy)1<x2+y2<4} 2
2 教 学 内 容 一、多元函数的概念 （1）邻域 设 ( , ) 0 0 0 P x y 是 xoy 平面上的一个点， 是某一正数，与点 ( , ) 0 0 0 P x y 距离小于 的 点 P(x, y) 的全体，称为点 P0 的 邻域，记为 ( , ) U P0 ， ( , ) U P0 = P | PP0 | ( , )| ( ) ( ) . 2 0 2 = x y x − x0 + y − y （2）区域 P U(P) E P E .E E . E P 点 的某一邻域 ，则称 为 的内点 的内点属于 设 是平面上的一个点集， 是平面上的一个点．如果存在 如果点集 E的点都是内点，则称 E 为开集. 例如， {( , )1 4} 2 2 E1 = x y x + y 即为开集． （点 本身可以属于 ，也可以不属于 ），则称 为 的边界点． 如果点 的任一个邻域内既有属于 的点，也有不属于 的点 P E E P E P E E E的边界点的全体称为E的边界． 且该折线上的点都属于 ，则称开集 是连通的． 设 是开集．如果对于 内任何两点，都可用折线连结起来， D D D D 连通的开集称为区域或开区域． 例如， {( , )|1 4}. 2 2 x y x + y P0 • E • P
开区域连同它的边界一起称为闭区域 例如,(x,y)1≤x+y2≤4} 对于点集E如果存在正数K,使一切点 P∈E与某一定点A间的距离P不超过K AP≤K 对一切P∈E成立,则称E为有界点集,否 则称为无界点集 例如,{(xy)1≤x2+y2≤4有界闭区域: (x,y)|x+y>0}无界开区域 (3)聚点:设E是平面上的一个点集,P是平面上的一个点,如果点P的任何 个邻域内总有无限多个点属于点集E,则称P为E的聚点 说明: a.内点一定是聚点; b.边界点可能是聚点; (x,y)|0<x2+y2≤1} (0,0)既是边界点也是聚点 c.点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E 例如,{(xy)10<x+y2≤1 (0,0)是聚点但不属于集合 例如,{(x,y)lx2+y2=l} 边界上的点都是聚点也都属于集合 (4)n维空间:n为取定的一个自然数,我们称n元数组(x,x2,“,x)的全体为n
3 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 例如， {( , )|1 4}. 2 2 x y x + y 则称为无界点集． 对一切 成立，则称 为有界点集，否 即 与某一定点 间的距离 不超过 ， 对于点集 如果存在正数 ，使一切点 P E E AP K P E A AP K E K 例如， {( , ) |1 4} 2 2 x y x + y 有界闭区域； {( x, y)| x + y 0} 无界开区域． （3）聚点：设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点，如果点 P 的任何一 个邻域内总有无限多个点属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点. 说明： a. 内点一定是聚点； b. 边界点可能是聚点； 例 {( , )| 0 1} 2 2 x y x + y (0,0)既是边界点也是聚点． c. 点集 E 的聚点可以属于 E，也可以不属于 E． 例如, {( , )| 0 1} 2 2 x y x + y (0,0) 是聚点但不属于集合． 例如, {( , )| 1} 2 2 x y x + y = 边界上的点都是聚点也都属于集合． （4）n 维空间：n 为取定的一个自然数，我们称 n 元数组 ( , , , ) 1 2 n x x x 的全体为 n y o x o y x
维空间,而每个n元数组(x1,x2“,x)称为n维空间中的一个点,数x称为该点 的第1个坐标 说明: a.n维空间的记号为R b.n维空间中两点间距离公式 设两点为P(x,x,…x)(,y2…,y PQF√(1-x)2+(y2-x2)2+…+(n-xn)2 特殊地当n=1,2,3时,便为数轴、平面、空间两点间的距离. c.n维空间中邻域、区域等概念 邻域:O(B。5)=PPkP∈r} 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义 (5)二元函数的定义:设D是平面上的一个点集,如果对于每个点P(x,y)∈D 变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应,则称z是变量xy的二元函数,记 为=f(x,y)(或记为=f(P)) 类似地可定义三元及三元以上函数 当n≥2时,n元函数统称为多元函数 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念 f(r, y)= arcsin(3 例1求 的定义域 解 2≤x2+y2≤4 x-y> 0 所求定义域为 D={(x,y)|2≤x2+y2≤4,x>y2} (6)二元函数=f(xy)的图形:设函数=f(x,y)的定义域为D,对于
4 维空间，而每个 n 元数组 ( , , , ) 1 2 n x x x 称为 n 维空间中的一个点，数 i x 称为该点 的第 i 个坐标. 说明： a. n 维空间的记号为 ; n R b. n 维空间中两点间距离公式 设两点为 ( , , , ), 1 2 n P x x x ( , , , ), 1 2 n Q y y y | | ( ) ( ) ( ) . 2 2 2 2 2 1 1 n n PQ = y − x + y − x ++ y − x 特殊地当 n=1,2,3 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离． c. n 维空间中邻域、区域等概念 邻域： n U(P0 , ) = P | PP0 | ,PR 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义． （5）二元函数的定义： 设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P(x, y) D ， 变量 z 按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数，记 为 z = f (x, y) （或记为 z = f (P) ）. 类似地可定义三元及三元以上函数． 当 n 2 时， n 元函数统称为多元函数. 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念. 例 1 求 2 2 2 arcsin( 3 ) ( , ) x y x y f x y − − − = 的定义域． 解 − − − 0 3 1 2 2 2 x y x y + 2 2 2 2 4 x y x y 所求定义域为 {( , )| 2 4, }. 2 2 2 D = x y x + y x y （6） 二元函数 z = f (x, y) 的图形 ： 设函数 z = f (x, y) 的定义域为 D ，对于
任意取定的P(xy)∈D,对应的函数值为=f(xy),这样,以x为横坐标、y 为纵坐标、二为竖坐标在空间就确定一点M(xy),当x取遍D上一切点时, 得一个空间点集{(xy)2=f(xy(xy)∈D),这个点集称为二元函数的图 形 f(r, D) 二元函数的图形通常是一张曲面 例如,==Smxy 例如,x+y+2=a ={(x,y)x 2} 单值分支 =a--x
5 任意取定的 P(x, y) D ，对应的函数值为 z = f (x, y) ，这样，以 x 为横坐标、 y 为纵坐标、 z 为竖坐标在空间就确定一点 M (x, y,z) ，当 x 取遍 D 上一切点时， 得一个空间点集 {( x, y,z)| z = f (x, y), (x, y) D} ，这个点集称为二元函数的图 形. 二元函数的图形通常是一张曲面. 例如, z = sin xy 例如, 2 2 2 2 x + y + z = a {( , ) }. 2 2 2 D = x y x + y a 单值分支: 2 2 2 z = a − x − y . 2 2 2 z = − a − x − y x y z o
多元函数的极限 定义1设函数=f(x,y)的定义域为D,(Cx,)是其聚点,如果对于任意给 定的正数E,总存在正数δ,使得对于适合不等式 04PRF(x-x)2+(y-)20,彐δ < (x2+y2)sin <E 原结论成立
6 二、多元函数的极限 定义 1 设函数 z = f (x, y) 的定义域为 , ( , ) 0 0 0 D P x y 是其聚点，如果对于任意给 定的正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 = − + − 2 0 2 0 0 0 | PP | (x x ) (y y ) 的一切点，都有 | f (x, y) − A| 成立，则 称 A 为函数 z = f (x, y) 当 0 x → x ， 0 y → y 时的极限， 记为 f x y A y y x x = → → lim ( , ) 0 0 （或 f (x, y) → A ( → 0) 这里 | | = PP0 ）. 说明： （1） 定义中 P → P0 的方式是任意的； （2） 二元函数的极限也叫二重极限 lim ( , ); 0 0 f x y y y x x → → （3） 二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 例 2 求证 0 1 lim ( )sin 2 2 2 2 0 0 = + + → → x y x y y x 证 0 1 ( )sin 2 2 2 2 − + + x y x y 2 2 2 2 1 sin x y x y + = + 2 2 x + y 0, = , 当 − + − 2 2 0 (x 0) ( y 0) 时， − + + 0 1 ( )sin 2 2 2 2 x y x y 原结论成立
sin(x y) 例3求极限yx2+y x 解 sin 1 其中30xyx= x y lim sin x 例4证明0x+y不存在 证 x y x lim 6+2 =l-mo k 取 其值随k的不同而变化,故极限不存在 确定极限不存在的方法: (1)令P(x,y)沿y=x趋向于(xy),若极限值与k有关,则可断言极限不 存在 lim f(, y) (2)找两种不同趋近方式,使y 存在,但两者不相等,此时也可断言 f(xy)在点(x,)处极限不存在 利用点函数的形式有n元函数的极限 定义2设n元函数f(P)的定义域为点集D,P是其聚点,如果对于任意给定的 正数6,总存在正数δ,使得对于适合不等式04Pk。的一切点 P∈D 都
7 例 3 求极限 . sin( ) lim 2 2 2 0 0 x y x y y x + → → 解 2 2 2 0 0 sin( ) lim x y x y y x + → → , sin( ) lim 2 2 2 2 2 0 0 x y x y x y x y y x + = → → 其中 x y x y y x 2 2 0 0 sin( ) lim → → u x y 2 = u u u sin lim →0 = 1, 2 2 2 x y x y + x 2 1 0, ⎯x→⎯0→ 0. sin( ) lim 2 2 2 0 0 = + → → x y x y y x 例 4 证明 6 2 3 0 0 lim x y x y y x + → → 不存在． 证 取 , 3 y = kx 6 2 3 0 0 lim x y x y y x + → → 6 2 6 3 3 0 3 lim x k x x kx y kx x + = = → , 1 2 k k + = 其值随 k 的不同而变化，故极限不存在． 确定极限不存在的方法： (1) 令 P(x, y) 沿 y = kx 趋向于 ( , ) 0 0 0 P x y ，若极限值与 k 有关，则可断言极限不 存在； (2) 找两种不同趋近方式，使 lim ( , ) 0 0 f x y y y x x → → 存在，但两者不相等，此时也可断言 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 处极限不存在． 利用点函数的形式有 n 元函数的极限 定义 2 设 n 元函数 f (P) 的定义域为点集 0 D, P 是其聚点，如果对于任意给定的 正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 0 | PP0 | 的一切点 P D ，都
有|f(P)-4k0, <√x2+y2<δ (x,y)-f0)<2p<E imf(x,y)=f(0,0), 故函数在(0,0)处连续 例6讨论函数 1(xy)={x2+y2,x+y2≠0 +y2=0 在(0,0)的连续性 解取
8 有 | f (P) − A| 成立，则称 A 为 n 元函数 f (P) 当 P → P0 时的极限，记为 f P A P P = → lim ( ) 0 . 三、多元函数的连续性 设 n 元函数 f (P) 的定 义域为 点集 0 D, P 是其 聚点 且 P0 D ，如果 lim ( ) ( ) 0 0 f P f P P P = → 则称 n 元函数 f (P) 在点 P0 处连续. 设 P0 是函数 f (P) 的定 义域的聚点，如果 f (P) 在点 P0 处不连续，则称 P0 是函数 f (P) 的间断点. 例 5 讨论函数 = + + = 0, ( , ) (0,0) , ( , ) (0,0) ( , ) 2 2 3 3 x y x y x y x y f x y 在(0,0)处的连续性． 解 取 x = cos , y = sin f (x, y) − f (0,0) (sin cos ) 3 3 = + 2 0, , 2 = 当 + 2 2 0 x y 时 f (x, y) − f (0,0) 2 lim ( , ) (0,0), ( , ) (0,0) f x y f x y = → 故函数在(0,0)处连续. 例 6 讨论函数 + = + = + 0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 在(0,0)的连续性 解 取 y = kx
lim =lim =lim x→0x2+k 其值随k的不同而变化,极限不存在 故函数在(0,0)处不连续 闭区域上连续函数的性质 (1)最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上至少取得它的最大值和最小值各 次 (2)介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则 它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次 (3)一致连续性定理 在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续 多元初等函数:由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤 所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 般地,求lmf(P)时,如果f(P)是初等函 数,且P是f(P)的定义域的内点,则f(P)在 点P处连续,于是皿f(P)=f() lin vay+1-1 原式=lmx+1-1 =lim x1+ 解
9 2 2 0 0 lim x y xy y x + → → 2 2 2 2 0 lim x k x kx y kx x + = = → 2 2 2 2 0 lim x k x kx y kx x + = = → 其值随 k 的不同而变化，极限不存在 故函数在(0,0)处不连续． 闭区域上连续函数的性质 （1）最大值和最小值定理 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上至少取得它的最大值和最小值各 一次． （2）介值定理 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取得两个不同的函数值，则 它在 D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次． （3）一致连续性定理 在有界闭区域 D 上的多元连续函数必定在 D 上一致连续． 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤 所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． lim ( ) ( ). ( ) ( ) lim ( ) ( ) 0 0 0 0 0 P f P f P P f P f P f P f P P P P P = → → 点 处连续，于是 数，且 是 的定义域的内点，则 在 一般地，求 时，如果 是初等函 例７ . 1 1 lim 0 0 xy xy y x + − → → 求 解 ( 1 1) 1 1 lim 0 0 + + + − = → → xy xy xy y x 原式 1 1 1 lim 0 0 + + = → → xy y x . 2 1 =
四、小结 多元函数的定义 多元函数极限的概念 (注意趋近方式的任意性) 多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质 思考题 若点(x,y)沿着无数多条平面曲线趋向于点(xn,)时,函数f(x,y)都趋向 lm f(x,y)=A 于A,能否断定(x,)x 思考题解答 f(x, y) y)2°(x,y)→(0 f(x, kx) (x2+k4x+)2 0 lim f(,) 但是 不存在 原因为若取x=y2,(yy=-1
10 四、小结 多元函数的定义 多元函数极限的概念 （注意趋近方式的任意性） 多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质 思考题 若点 (x, y) 沿着无数多条平面曲线趋向于点 ( , ) 0 0 x y 时，函数 f (x, y) 都趋向 于 A，能否断定 f x y A x y x y = → lim ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 ？ 思考题解答 不能. 例 , ( ) ( , ) 2 4 2 3 2 x y x y f x y + = (x, y) → (0,0) 取 y = kx, 2 4 4 2 3 2 2 ( ) ( , ) x k x x k x f x kx + = 0 ⎯x→⎯0→ 但是 lim ( , ) ( , ) (0,0) f x y x y → 不存在. 原因为若取 , 2 x = y 4 4 2 6 2 2 ( ) ( , ) y y y y f y y + = . 4 1 →
