章节题目 第四节多元复合函数的求导法则 多元复合函数链式求导法则 全微分的形式不变性 内容提要 多元复合函数求导 重点分析 多元复合函数求导 难点分析 趣|P61、3、5、7、8(3)、1、12(双) 布 备注
1 章 节 题 目 第四节 多元复合函数的求导法则 内 容 提 要 多元复合函数链式求导法则 全微分的形式不变性 重 点 分 析 多元复合函数求导 难 点 分 析 多元复合函数求导 习 题 布 置 P36 1、3、5、7、8（3）、11、12（双） 备 注
教学内容 链式法则 定理如果函数u=d()及v=v(1)都在点t可导,函数z=f(u,v)在对应点 (,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[p(1),v(t)在对应点t可导,且其导数 可用下列公式计算 dz a du a dv dt au dt ay dt 证设t获得增量Δ, 则△=(t+△)-(t),Av=v(t+△)-v(), 由于函数z=f(u,v)在点(u,v)有连续偏导数 A=A=△v+E1△+E2△v 当M→0,A→>0时,5→0,52→0 △zOz△tOz 当△→0时,A→0,A→>0 △dl△dh Mtdt'△tdt dz_lim du dt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 如一m u 以上公式中的导 d 称为全导数 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况: φ(x,y).v(x,y) 如果u=p(x,y)及v=v(x,y)都在点(x,y)具有对x和y的偏导数,且函数 =f(,v)在对应点(,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[(x,y),v(x,y) 在对应点(x,y)的两个偏导数存在,且可用下列公式计算 2
2 教 学 内 容 一、链式法则 定理 如果函数 u = (t) 及 v = (t) 都在点 t 可导，函数 z = f (u,v) 在对应点 (u,v) 具有连续偏导数，则复合函数 z = f [(t),(t)] 在对应点 t 可导，且其导数 可用下列公式计算： dt dv v z dt du u z dt dz + = ． 证 设t 获得增量t， 则u =(t +t) −(t), v =(t + t) −(t); 由于函数 z = f (u,v) 在点 (u,v) 有连续偏导数 , 1 2 v u v v z u u z z + + + = 当 u →0， v →0 时， 1 →0， 2 →0 t v t u t v v z t u u z t z + + + = 1 2 当 t →0 时， u →0， v →0 , dt du t u → , dt dv t v → lim . 0 dt dv v z dt du u z t z dt dz t + = = → 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz + + = u z v t w 以上公式中的导数 dt dz 称为全导数. 上 定 理 还 可 推 广 到 中 间 变 量 不 是 一 元 函 数 而 是 多 元 函 数 的 情 况 ： z = f [(x, y),(x, y)]. 如果 u = (x, y) 及 v = (x, y) 都在点 (x, y) 具有对 x 和 y 的偏导数，且函数 z = f (u,v) 在对应点 (u,v) 具有连续偏导数，则复合函数 z = f [(x, y),(x, y)] 在对应点 (x, y) 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算 z
caco,如2co ax au ax av a ay au ay av ay 链式法则如图示 ay 2 类似地再推广,设u=p(x,y)、v=v(x,y)、W=v(x,y)都在点(x,y)具有对 x和y的偏导数,复合函数z=「[p(x,y,y(x,y)w(x,y在对应点(x,y)的两个 偏导数存在,且可用下列公式计算 ax au ax ay ax a ax Ou ay av ay aw ay 特殊地z=f(u,x,y)其中u=p(x,y) 即=[(x,y),x,y,令v=x,w 1,一=0,一=0, ax ax az af au af az af au af 把复合函数z=f[(x,y),x,y中的y看作不变而对x的偏导数 把二=f(u,x,y)中的u及y看作不变而对x的偏导数 例1设:=2sm,而n=xy,y=x+y,求和 ax
3 x v v z x u u z x z + = ， y v v z y u u z y z + = . 链式法则如图示 u x z v y = x z u z x u + v z , x v = y z u z y u + v z . y v 类似地再推广，设 u = (x, y)、v = (x, y) 、w = w(x, y) 都在点 (x, y) 具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数 z = f [(x, y),(x, y),w(x, y)] 在对应点 (x, y) 的两个 偏导数存在，且可用下列公式计算 x w w z x v v z x u u z x z + + = , y w w z y v v z y u u z y z + + = . u x z v w y 特殊地 z = f (u, x, y) 其中 u = (x, y) 即 z = f [(x, y), x, y], 令 v = x, w = y, =1, x v = 0, x w = 0, y v =1. y w , x f x u u f x z + = . y f y u u f y z + = 把复合函数 z = f [(x, y), x, y] 中的 y 看作不变而对 x 的偏导数 把 z = f (u, x, y) 中的 u 及 y 看作不变而对 x 的偏导数 例 1 设 z e v u = sin ，而 u = xy ，v = x + y ，求 x z 和 y z . z
解 e sin vy+e cost 1 =e"(sin v+cos v), az a- au az av e sin vx+e cosv.1 =e (sin v+CoSv) 例2设z=n+snt,而u=e,v=cost,求全导数 解=2.血+2命 ve-usint +cost e cost-e sin t+ cos t e(cost-sin 1)+cost 例3设w=f(x+y+,xyz),∫具有二阶连续偏导数,求 解令l=x+y+2,v=xy=, 记f (l2 fr2 af(u, v) 4 auoy 同理有f2,f,f2 =可.a49. au ax ay ax =f1+y=/2 "=0(+1)=0++2g .a+9 v +ba=借+x 2=+ oy a=12+xy2, f l+xyfur +y(21+xy2) =f1+y(x+z)2+xy2/2+yf2 全微分形式不变性
4 解 = x z u z x u + v z x v = e sin v y + e cosv 1 u u e (y sin v cos v), u = + = y z u z y u + v z y v = e sin v x + e cos v 1 u u e (xsin v cosv). u = + 例 2 设 z = uv +sin t ，而 t u = e ，v = cost ，求全导数 dt dz . 解 t z dt dv v z dt du u z dt dz + + = ve u t t t = − sin + cos e t e t t t t = cos − sin + cos e (cost sin t) cost. t = − + 例 3 设 w = f (x + y + z, xyz)， f 具有二阶连续偏导数，求 x w 和 x z w 2 . 解 令 u = x + y + z, v = xyz; 记 , ( , ) 1 u f u v f = , ( , ) 2 12 u v f u v f = 同理有 , 2 f , 11 f . 22 f = x w x v v f x u u f + ; 1 2 = f + yzf = x z w 2 ( ) 1 2 f yzf z + ; 2 2 1 z f yf yz z f + + = = z f 1 z v v f z u u f + 1 1 ; 11 12 = f + xyf = z f 2 z v v f z u u f + 2 2 ; 21 22 = f + xyf 于是 = x z w 2 11 12 f + xyf 2 + yf ( ) 21 22 + yz f + xyf ( ) . 22 2 2 11 12 = f + y x + z f + xy zf + yf 二、全微分形式不变性
设函数z=f(u,v)具有连续偏导数,则有全微分 =叭(x,y)、V=v(x,y)时,有正=女+, 全微分形式不变形的实质:无论z是自变量、v的函数或中间变量、v的函 数,它的全微分形式是一样的 dx+dy dx+dy au ax du 例4已知c-2+c=0,求和 解∵d(e e-)= 0 e-d(xy)-2dc +ed=0, (e-2)dz=e(xdy+ydx) dy 记e xe 小结 1、链式法则(分三种情况) (特别要注意课中所讲的特殊情况) 2、全微分形式不变性 (理解其实质)
5 设函数 z = f (u,v) 具有连续偏导数，则有全微分 dv v z du u z dz + = ;当 u = (x, y)、 v = (x, y) 时，有 dy y z dx x z dz + = . 全微分形式不变形的实质：无论 z 是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v 的函 数，它的全微分形式是一样的. dy y z dx x z dz + = dx x v v z x u u z + = dy y v v z y u u z + + + = dy y u dx x u u z + + dy y v dx x v v z du u z = dv. v z + 例 4 已知 − 2 + = 0 −xz z e z e ，求 x z 和 y z . 解 ( − 2 + ) = 0, −xy z d e z e (− ) − 2 + = 0, − e d xy dz e dz xy z (e 2)dz e (xdy ydx) z xy − = + − dy e xe dx e ye dz z xy z xy ( 2) ( − 2) + − = − − x z , − 2 = − z xy e ye y z . − 2 = − z xy e xe 三、小结 1、链式法则（分三种情况） （特别要注意课中所讲的特殊情况） 2、全微分形式不变性 （理解其实质）
思考题 设z=f(u,v,x),而u=p(x),v=v(x) 则女=9如+y如+y dx au dx av dx ax 试问生与9是否相同?为什么? 思考题解答 不相同 等式左端的z是作为一个自变量x的函数 而等式右端最后一项∫是作为u,v,x的三元函数 写出来为
6 思考题 设 z = f (u,v, x) ，而 u = (x) ，v = (x) ， 则 x f dx dv v f dx du u f dx dz + + = ， 试问 dx dz 与 x f 是否相同？为什么？ 思考题解答 不相同. 等式左端的 z 是作为一个自变量 x 的函数， 而等式右端最后一项 f 是作为 u,v, x 的三元函数， 写出来为 + x = u v x x dx du u f dx dz ( , , ) . (u,v,x) x (u,v,x) x f dx dv v f +