章节题目 第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 内容提要 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 重点分析 利用柱面坐标计算三重积分时积分限的确定 难点分析 习\p,1、2、3(单、6(3)、8(3) 题 布 备注
1 章 节 题 目 第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 内 容 提 要 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 重 点 分 析 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 难 点 分 析 利用柱面坐标计算三重积分时积分限的确定 习 题 布 置 P141 1、2、3（单）、6（3）、8（3） 备 注
教学内容 利用柱面坐标计算三重积分 设M(x,y,2z)为空间内一点,并设点M在xoy面上的 投影P的极坐标为r,O,则这样的三个数r,O,z就叫点M的 柱面坐标 规定:0≤r<+∞,0≤6≤2x,-0<2<+∞ P(r,0) 如图,三坐标面分别为 (x,y,2) r为常数→圆柱面 6为常数→半平面 z为常数→平面
2 教 学 内 容 一、利用柱面坐标计算三重积分 柱面坐标． 投影 的极坐标为 ，则这样的三个数 就叫点 的 设 为空间内一点，并设点 在 面上的 P r r z M M x y z M xoy , , , ( , , ) 规定： 0 r +, 0 2 , − z +. 如图，三坐标面分别为 r 为常数 圆柱面； 为常数 半平面； z 为常数 平面． x y z o M (x, y,z) P(r, ) r • • • M (x, y,z) P(r, ) • r z x y z o
柱面坐标与直角坐标的关系为{y=rsn, 二=二 如图,柱面坐标系中的体积元素为 mu 1 dv= rdrdedz f(x,y, =)dxdyd==lllf(rose, rsn 8, -)rdrdeds 例1、计算=顶=tdt,其中是球面x2+y2+=2=4与抛物面 x2+y2=3z所围的立体 x=rose 解由y=rsnb,知交线为 1,r= 把闭区域Ω投影到xoy面上, 0≤r≤√3 0≤6<2丌 F.z13
3 柱面坐标与直角坐标的关系为 = = = . sin , cos , z z y r x r 如图，柱面坐标系中的体积元素为 dv = rdrddz, f (x, y,z)dxdydz ( cos , sin , ) . = f r r z rdrddz 例 1 、 计 算 I = zdxdydz ，其中 是球面 4 2 2 2 x + y + z = 与抛物面 x y 3z 2 2 + = 所围的立体. 解 由 = = = z z y r x r sin cos ,知交线为 = + = r z r z 3 4 2 2 2 z =1, r = 3, 把闭区域投影到xoy面上， 0 2 . 0 3, 4 3 : 2 2 − r z r r ， − = 2 3 2 2 4 0 3 0 r r I d dr r zdz . 4 13 = d r x y z o dz dr rd
例2计算I=「(x2+y2)dxdd,其中Ω是曲线 2z,x=0绕O 轴旋转一周而成的曲面与两平面z=2,二=8所围的立体 解由 0 绕Oz轴旋转得,旋转面方程为x2+y2=2x, 所围成的立体如图, 所围成立体的投影区域如图, D1:x2+y2=16
4 例２ 计算 I = (x + y )dxdydz 2 2 ， 其中 是曲线 y 2z 2 = ， x = 0 绕 oz 轴旋转一周而成的曲面与两平面 z = 2, z = 8 所围的立体. 解 由 = = 0 2 2 x y z 绕 oz 轴旋转得，旋转面方程为 2 , 2 2 x + y = z 所围成的立体如图， 所围成立体的投影区域如图， : D1 16, 2 2 x + y = D2 D1
0≤6≤2丌 0<r≤4 Q 6<2丌 0≤r≤2 z≤2 1=1-12=Jx2+y2)hv-(x2+y2)tdv D 1,=rdrdef: fa==l der drfrr'd=2 原式l=-丌-=丌=336丌 、利用球面坐标计算三重积分 设M(x,y,2)为空间内一点,则点M可用三个有次序的 数r,φ,θ来确定,其中r为原点O与点M间的距离,q为 有向线段OM与z轴正向所夹的角,O为从正z轴来看自x轴 按逆时针方向转到有向线段OP的角,这里P为点M在xoy 面上的投影,这样的三个数r,p,就叫做点M的球面坐标 规定:0≤r<+∞,0≤≤x,0≤6≤2丌 如图,三坐标面分别为 r为常数→球面
5 , 8 2 0 4 0 2 : 1 2 z r r : D2 4, 2 2 x + y = . 2 2 0 2 0 2 : 2 2 z r r ( ) ( ) , 1 2 2 2 2 2 1 2 I = I − I = x + y dxdydz − x + y dxdydz = 1 2 8 2 1 D r I rdrd fdz = 8 2 4 0 2 0 2 2 r d dr r r dz , 3 4 5 = = 2 2 2 2 2 D r I rdrd fdz = 2 2 2 0 2 0 2 2 r d dr r r dz , 6 2 5 = 原式 I = 3 4 5 6 2 5 − = 336 . 二、利用球面坐标计算三重积分 面上的投影，这样的三个数 ， ， 就叫做点 的球面坐标． 按逆时针方向转到有向线段 的角，这里 为点 在 有向线段 与 轴正向所夹的角， 为从正 轴来看自 轴 数 ， ， 来确定，其中 为原点 与点 间的距离， 为 设 为空间内一点，则点 可用三个有次序的 r M OP P M xoy OM z z x r r O M M x y z M ( , , ) 规定： 0 r +, 0 , 0 2. 如图，三坐标面分别为 r 为常数 球 面；
q为常数→圆锥面 6为常数→半平面 如图 M(x,y,=) 设点M在xoy面上的投影为P,点P在x轴上的投影为A, 则OA=x,AP=y,PM= 球面坐标与直角坐标的关系为 x=rsin cosB y=rsn sin B -=rcos p. 如图 rsin d 球面坐标系中的体积元素为dh=r2 sin drdo, 盯(x,y.d=订 rsin o cos, sinsin, rcos )r sin drdo
6 为常数 圆锥面； 为常数 半平面． 如图， 设点M 在 xoy面上的投影为P，点P 在 x 轴上的投影为 A， 则OA = x, AP = y, PM = z. 球面坐标与直角坐标的关系为 = = = cos . sin sin , sin cos , z r y r x r 如图， 球面坐标系中的体积元素为 sin , 2 dv = r drdd f (x, y,z)dxdydz = ( sin cos , sin sin , cos ) sin . 2 f r r r r drdd P x y z o M (x, y,z) r • • z y x A d r x y z o dr rsin d rd d d rsin
例3计算|=(x2+y2)do小,其中Ω是锥面x2+y2=2,与平面 z=a(a>0)所围的立体 解1采用球面坐标 2=a→r= cOs 0≤q≤z,0≤0≤2z I=‖(x2+y2)ddz del4 dolce 2丌4snq 0s9 解2采用柱面坐标 D 92:r≤z≤a,0≤r≤a,0≤b≤2丌 =27ra-m)b=2dn4-51=1o 例4求曲面x2+y2+2≤2a2与x≥√x2+y2所围成的立体体积 解Ω由锥面和球面围成,采用球面坐标, 由x2+y2+x2=2a2→r
7 例 3 计算 I = (x + y )dxdydz 2 2 ，其中 是锥面 2 2 2 x + y = z ， 与平面 z = a (a 0) 所围的立体. 解 1 采用球面坐标 z = a , cos a r = 2 2 2 x + y = z , 4 = , 0 2 , 4 , 0 cos : 0 a r I = (x + y )dxdydz 2 2 d d r dr a = 4 0 cos 0 4 3 2 0 sin d a 0) cos ( 5 1 2 sin 5 5 4 0 3 = − . 10 5 a = 解 2 采用柱面坐标 2 2 2 x + y = z z = r, : , 2 2 2 D x + y a : r z a, 0 r a, 0 2 , I = (x + y )dxdydz 2 2 = a r a d rdr r dz 2 0 2 0 = − a r a r dr 0 3 2 ( ) ] 4 5 2 [ 4 5 a a = a − . 10 5 a = 例 4 求曲面 2 2 2 2 x + y + z 2a 与 2 2 z x + y 所围 成的立体体积. 解 由锥面和球面围成，采用球面坐标， 由 2 2 2 2 x + y + z = 2a r = 2a
2:0sr≤2a,0≤0≤z,0≤0≤2x, 由三重积分的性质知V=adz, V= de do rsin dr T SIn q (√2-1a 补充:利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意: 1、积分区域关于坐标面的对称性; 2、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性 一般地,当积分区域Ω关于xoy平面对称,且被积函数∫(x,y,z)是关于二的 奇函数,则三重积分为零,若被积函数f(x,y,)是关于的偶函数,则三重积分 为9在xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍 例5利用对称性简化计算h(x2+y2+2+1)txd其中积分区域 Ω2={(x,y,2)|x2+y2+z2≤l} 解积分域关于三个坐标面都对称,被积函数是Z的奇函数 cIn( x +z2+1) dxdvdz=0
8 2 2 z = x + y , 4 = , 0 2 , 4 : 0 2 , 0 r a 由三重积分的性质知 V = dxdydz, = a V d d r dr 2 0 2 0 2 0 sin 4 = 4 0 3 3 ( 2 ) 2 sin d a ( 2 1) . 3 4 3 = − a 补充：利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性． 一般地，当积分区域 关于 xoy 平面对称，且被积函数 f (x, y,z) 是关于 z 的 奇函数，则三重积分为零，若被积函数 f (x, y,z) 是关于 z 的偶函数，则三重积分 为 在 xoy 平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍. 例 ５ 利用对称性简 化计算 + + + + + + dxdydz x y z z x y z 1 ln( 1) 2 2 2 2 2 2 其中积 分区域 {( , , )| 1} 2 2 2 = x y z x + y + z . 解 积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是 Z 的奇函数, 0. 1 ln( 1) 2 2 2 2 2 2 = + + + + + + dxdydz x y z z x y z
例6计算(x+y+)dh其中豆是由抛物面二=x2+y2和球面 x2+y2+2=2所围成的空间闭区域 解∵(x+y+x)2=x2+y2+z2+2(xy+yz2+x) 其中xy+yz是关于y的奇函数,且关于zOx面对称 (xy+ y=)dv=0 同理X是关于x的奇函数且9关于yoz面对称, 由对称性知∫xb-∫yh, 则/=(x+y+)d=(2x2+2)ht 在柱面坐标下 0≤0≤2x,0≤r≤1,r2≤z≤√ 投影区域D 2-5cos2+=2)h (90√2-89)
9 例 6 计 算 x + y + z dxdydz 2 ( ) 其 中 是 由抛 物面 2 2 z = x + y 和球面 2 2 2 2 x + y + z = 所围成的空间闭区域. 解 2 (x + y + z) 2( ) 2 2 2 = x + y + z + xy+ yz + zx 其中 xy+ yz 是关于 y 的奇函数,且 关于 zox 面对称, (xy+ yz)dv = 0 , 同理 zx 是关于 x 的奇函数,且 关于 yoz 面对称, 0, xzdv = 由对称性知 x dv = y dv 2 2 , 则 I = x + y + z dxdydz 2 ( ) (2 ) , 2 2 = x + z dxdydz 在柱面坐标下： 0 2 , 0 r 1, 2 , 2 2 r z − r 投影区域 Dxy ： 1, 2 2 x + y − = + 2 2 2 2 2 2 2 0 1 0 (2 cos ) r r I d dr r r z dz (90 2 89). 60 = −
0.5 三、小结 三重积分换元法:柱面坐标;球面坐标 (1)柱面坐标的体积元素 dady= rdrdedz (2)球面坐标的体积元素 dxdvdz=r2 sin drda (3)对称性简化运算 思考题 若Ω为R中关于xy面对称的有界闭区域,f(x,y,=z)为g2上的连续 函数,则 当(x,y)关于为奇函数时f(xy,b=0 当(xy,2)关于为偶函数时(x,yM=—(x,y 其中91为9在x面上方的部分 思考题答案:Z乙,2
10 三、小结 三重积分换元法: 柱面坐标; 球面坐标 （1） 柱面坐标的体积元素 dxdydz = rdrddz （2） 球面坐标的体积元素 dxdydz r sin drdd 2 = （3） 对称性简化运算 思考题 函数 则 若 为 中关于 面对称的有界闭区域， 为 上的连续 , ( , , ) 3 R x y f x y z 当f (x, y,z)关于____为奇函数时, f (x, y,z)dv = 0; = 1 当f (x, y,z)关于____为偶函数时, f (x, y,z)dv ___ f (x, y,z)dv . 其中1为在xy面上方的部分 思考题答案:Z, Z, 2