《高等数学》课程电子教案：第三章（3.9）二重积分的应用

章节题目 第三节二重积分的应用 曲面的面积 平面薄片的重心、转动惯量、对质点的引力 内容提要 曲面面积及重心坐标 重点分析 利用元素法解决重积分在几何和物理上的应用问题 难点分析 题P2713、4(3)、8 布 备注

1 章 节 题 目 第三节 二重积分的应用 内 容 提 要 曲面的面积 平面薄片的重心、转动惯量、对质点的引力 重 点 分 析 曲面面积及重心坐标 难 点 分 析 利用元素法解决重积分在几何和物理上的应用问题 习 题 布 置 P127 1、3、4（3）、8 备 注

教学内容 问题的提出 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区 域时,所求量U相应地分成许多部分量,且U等于部分量之和),并且在闭区域D 内任取一个直径很小的闭区域d时,相应地部分量可近似地表示为f(xy)da的 形式,其中(xy) 在d内.这个fxy)d称为所求量U的元素,记为 dU,所求量的积分表达式为U=f(xy)da 曲面的面积 实例一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内,且可近似认 为是圆轨道.通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同,即人们看到它在 天空不动.若地球半径取为R,问卫星距地面的高度h应为多少? 通讯卫星的覆盖面积是多大? 卫星 h 1.设曲面的方程为:z=f(x,y) 在xoy面上的投影区域为D,如图 设小区域dσ∈D,点(x,y)∈d

2 教 学 内 容 一、问题的提出 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 若要计算的某个量 U 对于闭区域 D 具有可加性(即当闭区域 D 分成许多小闭区 域时，所求量 U 相应地分成许多部分量，且 U 等于部分量之和)，并且在闭区域 D 内任取一个直径很小的闭区域 d  时，相应地部分量可近似地表示为 f(x,y)d  的 形式，其中 (x,y) 在 d  内．这个 f(x,y)d  称为所求量 U 的元素，记为 dU，所求量的积分表达式为  = D U f (x, y)d 二、曲面的面积 实例 一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认 为是圆轨道．通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在 天空不动．若地球半径取为 R ，问卫星距地面的高度 h 应为多少？ 通讯卫星的覆盖面积是多大？ １．设曲面的方程为： z = f (x, y) 在xoy面上的投影区域为D, 如图 设小区域d D, 点(x, y)d, 卫星 h o x z d (x, y) M dA x y z s  o 

Σ为S上过M(x,y,f(x,y)的切平面 以do边界为准线,母线平行于z轴的小柱面,截曲面s为ds; 截切平面∑为dA,则有dA≈ds do为d4在xoy面上的投影, do =dA cosy cosy=T+f:+5 dA √+f2+fd曲面S的面积元素 A=』y4+f+fdo, 曲面面积公式为:A=「1+()2+(4)ah 同理可得 2.设曲面的方程为:x=g(y,) 曲面面积公式为:A ∫4+e)+(小在 3.设曲面的方程为:y=h(=,x) 曲面面积公式为:4=』√+(F +dEx 例1求球面x2+y2+2=a2,含在圆柱面x2+y2=ax内部的那部分面积 解由对称性知A=4A4,D:x2+y2≤ax(x,y≥0) 曲面方程z=√a2 于是√+()+( 面积A=411+x2+-,dxd=4 Dva'-r2-dxdy ao del dr

3 为S 上过M(x, y, f (x, y))的切平面. dA dA ds. d z s ds 截切平面  为 ，则有  以  边界为准线，母线平行于 轴的小柱面，截曲面 为 ； d 为dA在xoy面上的投影,  d = dAcos , , 1 1 cos 2 2 x y + f + f   = dA f x f y d 2 2  = 1+ + 曲面 S 的面积元素 1 , 2 2   = + + D A f x f y d 曲面面积公式为： dxdy y z x z A Dxy    +   = + 2 2 1 ( ) ( ) 同理可得 ２．设曲面的方程为： x = g( y,z) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) ; 2 2 A dydz Dyz z x y x      = + + ３．设曲面的方程为： y = h(z, x) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) . 2 2 A dzdx Dzx x y z y      = + + 例 1 求球面 2 2 2 2 x + y + z = a ，含在圆柱面 x + y = ax 2 2 内部的那部分面积. 解 由对称性知 A = 4A1 , D1： x + y  ax 2 2 (x, y  0) 曲面方程 2 2 2 z = a − x − y , 于是 ( ) ( ) 2 2 1 y z x z     + + , 2 2 2 a x y a − − = 面积 A z z dxdy D =  + x + y 1 2 2 4 1  − − = 1 2 2 2 4 D dxdy a x y a   − =    cos 0 0 2 2 1 4 2 a rdr a r a d

4 例2求由曲面x2+y2=a和z=2a-√x2+y2(a>0)所围立体的表面积 解解方程组 2 得两曲面的交线为圆周 x2+y2=a2 在x平面上的投影域为Dn:x2+y2≤a2, 由 得 由 x2+y2知 故S=、a2+4x2+db+5hd (6√2+55-1) 6 、平面薄片的重心x,y) 设xOy平面上有n个质点,它们分别位于(x1,y1),(x2y2),…(xn,yn)处,质 量分别为m1,m2,…,mn则该质点系的重心的坐标为

4 2 4 . 2 2 = a − a 例 2 求由曲面 x + y = az 2 2 和 2 2 z = 2a − x + y (a  0) 所围立体的表面积. 解 解方程组 , 2 2 2 2 2     = − + + = z a x y x y az 得两曲面的交线为圆周 , 2 2 2    = + = z a x y a 在 xy 平面上的投影域为 : , 2 2 2 Dxy x + y  a 由 ( )得 1 2 2 x y a z = + , 2 a x zx = , 2 a y z y = + + = 2 2 1 x y z z 2 2 2 2 1        +      + a y a x 4 4 , 1 2 2 2 a x y a = + + 由 z = 2a − x 2 + y 2知 + + = 2 2 1 x y z z 2, a x y dxdy a S Dxy  = + + 2 2 2 4 4 1 故 dxdy Dxy  + 2 a r rdr a d a = +   0 2 2 2 0 4  1  2 + 2a (6 2 5 5 1). 6 2 = + − a 三、平面薄片的重心(x,y) 设 xoy 平面上有 n 个质点，它们分别位于 ( , ) 1 1 x y ，( , ) 2 2 x y ， , ( , ) n n x y 处，质 量分别为 m m mn , , , 1 2  ．则该质点系的重心的坐标为

m m M ∑m M m 设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为p(x,y), 假定p(x,y)在D上连续,平面薄片的重心由元素法 xp(r, y)do yp(x, y)do 了x,yMo”jmx,yo 当薄片是均匀的,重心称为形心,x=xd,j 4形 其中A=d a(t-sn t) 例3设平面薄板由 y=a(1-c(0≤t≤2)与x轴围成,它的面密度 =1,求形心坐标 解先求区域D的面积A, 0≤t≤2丌, 0≤x≤2 A= y(x)dx= a(l-cost ) d[a(t-sin (1-cost)dt= 32 由于区域关于直线x=m对称,所以形心在x=m上,即x=m, dxd dx[ydy 6a Jo [y(a)dr=ar[-cosi] '=5a 所求形心坐标为(m,丌) y y(x) X

5   = = = = n i i n i i i y m m x M M x 1 1 ，   = = = = n i i n i i i x m m y M M y 1 1 ． 设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D ，在点 (x, y) 处的面密度为 (x, y) ， 假定 (x, y) 在 D 上连续，平面薄片的重心由元素法 , ( , ) ( , )   = D D x y d x x y d x     . ( , ) ( , )   = D D x y d y x y d y     当 薄 片 是 均 匀 的 ， 重 心 称 为 形 心 . , 1  = D xd A x  . 1  = D yd A y   = D 其中 A d 例 3 设平面薄板由    = − = − (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t ，(0  t  2 ) 与 x 轴围成，它的面密度  =1 ，求形心坐标． 解 先求区域 D 的面积 A， 0  t  2 ， 0  x  2a  = a A y x dx 2 0 ( )  = − − 2 0 a(1 cost)d[a(t sin t)]  = − 2 0 2 2 a (1 cost) dt 3 . 2 = a 由于区域关于直线 x =a 对称 ，所以形心在 x =a 上，即 x = a ,  = D ydxdy A y 1   = ( ) 0 2 0 1 a y x dx ydy A   = a y x dx a   2 0 2 2 [ ( )] 6 1  = −   2 0 3 [1 cos ] 6 t dt a . 6 5 = 所求形心坐标为 ( , ) 6 5 a  . D a 2a y(x)

四、平面薄片的转动惯量 设xoy平面上有n个质点,它们分别位于(x1,y),(x2,y2),…,(xn,y)处, 质量分别为m,m2…,mn·则该质点系对于x轴和y轴的转动惯量依次为 mix l,=∑mx2 设有一平面薄片,古有xoy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为 p(x,y),假定p(x,y)在D上连续,平面薄片对于x轴和y轴的转动惯量为 薄片对于x轴的转动惯量l2=y2p(x,y)do 薄片对于y轴的转动惯量,=x2(xy)da 例4设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别为a、b,求这三角形对 其中任一直角边的转动惯量 解设三角形的两直角边分别在x轴和y轴上,如图 b 对y轴的转动惯量为=川小xh=3x2=1bh 同理:对x轴的转动惯量为l2=py2athy 例5已知均匀矩形板(面密度为常数p)的长和宽分别为b和h,计算此矩形 板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量 解先求形心x=1 verdi 区域面积A=bh,建立坐标系如图

6 四、平面薄片的转动惯量 设 xoy 平面上有 n 个质点，它们分别位于 ( , ) 1 1 x y ，( , ) 2 2 x y ， , ( , ) n n x y 处， 质量分别为 m m mn , , , 1 2  ．则该质点系对于 x 轴和 y 轴的转动惯量依次为   = = = = n i i n i i i y m m x M M x 1 1 ， = = n i y i i I m x 1 2 . 设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D ，在点 (x, y) 处的面密度为 (x, y) ，假定 (x, y) 在 D 上连续，平面薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量为 薄片对于 x 轴的转动惯量 ( , ) , 2  = D I x y  x y d 薄片对于 y 轴的转动惯量 ( , ) . 2  = D I y x  x y d 例 4 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别 为 a 、b ，求这三角形对 其中任一直角边的转动惯量. 解 设三角形的两直角边分别在 x 轴和 y 轴上，如图 对 y 轴的转动惯量为 , 2 I x dxdy D y  =    − = b a b y dy x dx 0 (1 ) 0 2  . 12 1 3 = a b 同理：对 x 轴的转动惯量为 I y dxdy D x  = 2  . 12 1 3 = ab  例 5 已知均匀矩形板（面密度为常数  ）的长和宽分别为 b 和 h ，计算此矩形 板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量. 解 先求形心 , 1  = D xdxdy A x . 1  = D ydxdy A y 区域面积 A= bh, 建立坐标系如图 a b o y x

b 因为矩形板均匀由对称性知形心坐标x=b 将坐标系平移如图 h b 对u轴的转动惯量 对ν轴的转动惯量 b'hp 五、平面薄片对质点的引力 设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为 p(x,y),假定p(x,y)在D上连续,计算该平面薄片对位于二轴上的点 M0(00,a)处的单位质点的引力.(a>0) 薄片对z轴上单位质点的引力F={Fx,F,F2}, F=fl F=「 p(x, y) B(x2+y2+a2)3 D(x2+y2+a2) F=- P(r,] da.f为引力常数 (x2+y2+a2)3 例6、求面密度为常量、半径为R的均匀圆形薄片:x2+y2≤R2,二=0对位于

7 因为矩形板均匀, 由对称性知形心坐标 2 b x = ， 2 h y = . 将坐标系平移如图 对 u 轴的转动惯量  = D I u v dudv 2  − − = 2 2 2 2 2 h h b b  v dv du . 12 3 bh  = 对 v 轴的转动惯量  = D I v u dudv 2  . 12 3 b h = 五、平面薄片对质点的引力 设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D ，在点 (x, y) 处的面密度为 (x, y) ，假定 (x, y) 在 D 上连续，计算该平面薄片对位于 z 轴上的点 (0,0, ) M0 a 处的单位质点的引力． (a  0) 薄片对 z 轴上单位质点的引力 { , , }, F = Fx Fy Fz , ( ) ( , ) 2 3 2 2 2   d x y a x y x F f D x  + + = , ( ) ( , ) 2 3 2 2 2   d x y a x y y F f D y  + + = . ( ) ( , ) 2 3 2 2 2   d x y a x y F af D z  + + = − f 为引力常数 例 6、求面密度为常量、半径为 R 的均匀圆形薄片： 2 2 2 x + y  R ， z = 0 对位于 o y x h b o y x h b u v o 

二轴上的点M0(0,0,a)处的单位质点的引力.(a>0) 解由积分区域的对称性知F=F=0, F P(x,y) de cda (x2+y2+a x +y +a a2)3 rdr=2nfa R2+ 所求引力为{0,0,2ag 六、小结 几何应用:曲面的面积 物理应用:重心、转动惯量、对质点的引力 (注意审题,熟悉相关物理知识)

8 z 轴上的点 (0,0, ) M0 a 处的单位质点的引力． (a  0) 解 由积分区域的对称性知 = = 0, Fx Fy   d x y a x y F af D z  + + = − 2 3 ( ) ( , ) 2 2 2  d x y a af D  + + = − 2 3 ( ) 1 2 2 2 rdr r a af d R   + = − 0 2 2 2 0 2 3 ( )  1   . 1 1 2 2 2         − + = R a a fa 所求引力为 . 1 1 0, 0, 2 2 2                 − R + a a fa 六、小结 几何应用：曲面的面积 物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力 （注意审题，熟悉相关物理知识） o y z x F

思考题 求位于两圆r= a cose,r=bcos0(0<a<b) 之间的均匀薄片的重心 思考题解答 薄片关于x轴对称则j=0, roao 2p2 de rose.rdr 6-+ba 要(b2-a2)-2(b+a)

9 思考题 . cos , cos (0 ) 之间的均匀薄片的重心 求位于两圆r = a  r = b   a  b 思考题解答 薄片关于 x 轴对称 则 y = 0,   = D D d x d x     D d r rdr b a   =          2 0 cos cos 2 cos ( ) ( ) 2 2 4 3 3 8 b a b a − − =   . 2( ) 2 2 b a b ba a + + + = a b x y o