章节题目 第六节、定积分的近似计算 定积分近似值的求法:矩形法、梯形法、抛物线法 内容提要 定积分近似值求法的实质 重点分析 难点分析 314 题布置 备注
1 章 节 题 目 第六节、定积分的近似计算 内 容 提 要 定积分近似值的求法：矩形法、梯形法、抛物线法 重 点 分 析 定积分近似值求法的实质 难 点 分 析 习 题 布 置 P314 ：3 备 注
教学内容 问题的提出 (1)求原函数:(2)利用牛顿一莱布尼茨公式得结果 问题 (1)被积函数的原函数不能用初等函数表示 (2)被积函数难于用公式表示,而是用图形或表格给出的 (3)被积函数虽然能用公式表示,但计算其原函数很困难 解决办法:建立定积分的近似计算方法. 思路: rf(x)dr(f(x)20)在数值上表示曲边梯形的面积,只要近似地算出相应的 曲边梯形的面积,就得到所给定积分的近似值. 常用方法:矩形法、梯形法、抛物线法 二、矩形法 用分点a=x0,x,…,xn=b将区间[a,b]n等分取小区间左端点的 函数值y;(i=0,1…,n)作为窄矩形的高,如图 则有「f(x)x≈∑y△x= y=f(x) 取右端点的函数值y(=12…,n)作为窄矩形的高,如图 y=f(x)
2 教 学 内 容 一、问题的提出 (1) 求原函数；(2) 利用牛顿－莱布尼茨公式得结果． 问题： (1) 被积函数的原函数不能用初等函数表示； (2) 被积函数难于用公式表示，而是用图形或表格给出的； (3) 被积函数虽然能用公式表示，但计算其原函数很困难． 解决办法：建立定积分的近似计算方法． 思路： 曲边梯形的面积，就得到所给定积分的近似值． f (x)dx ( f (x) 0) 在数值上表示曲边梯形的面积，只要近似地算出相应的 b a 常用方法：矩形法、梯形法、抛物线法． 二、矩形法 函数值 作为窄矩形的高，如图 用分点 将区间 等分取小区间左端点的 ( 0,1, , ) , , , [ , ] 0 1 y i n a x x x b a b n i n = = = 则有 ( ) (1) 1 1 1 1 = − = − − = n i i n i i b a y n b a f x dx y x 取右端点的函数值 yi (i =1,2, ,n)作为窄矩形的高，如图 o x y y = f (x) 0 a = x 1 x n−1 x x b n = 0 y 1 y n−1 y n y o x y y = f (x) 0 a = x 1 x n−1 x x b n = 0 y 1 y n−1 y n y
则有(x)=Ax=∑y,(2) (1)(2)称为矩形法公式 三、梯形法 梯形法就是在每个小区间上,以窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形的面积,如图 y=f(x) f(x)a、1 (y0+y1)Ax+(y1+y2)x+…+(yn-1+yn)Ax b-aY(b+yn)+y1+y2+…+y1(3) 例1用矩形法和梯形法计算积分「ed的近似值 解:把区间十等分设分点为x,(i=0,1…,10) 相应的函数值为y=e(=0,…,10) 0 2 3 4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 y10000.990050.960790913930.852140.77890 6 8 9 0.6 0.7 0.8 0.9 y10697680612630.52729044860.36788
3 则有 ( ) (2) 1 1 = = − = n i i n i i b a y n b a f x dx y x (1)、(2) 称为矩形法公式． 三、梯形法 梯形法就是在每个小区间上，以窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形的面积，如图 ( ) ] (3) 2 1 [ ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 0 1 2 1 0 1 1 2 1 − − + + + + + − = + + + + + + n n n n b a y y y y y n b a f x dx y y x y y x y y x 例１ 用矩形法和梯形法计算积分 − 的近似值． 1 0 2 e dx x 解： , , i 把区间十等分 设分点为x (i = 0,1, ,10) 相应的函数值为 ( 0,1, ,10) 2 yi = e −xi i = 列表: o x y y = f (x) 0 a = x 1 x n−1 x x b n = 1 y n−1 y n y 0 y i i x i y 0 1 2 3 4 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.00000 0.99005 0.96079 0.91393 0.85214 0.77880 i i x i y 6 7 8 9 10 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.69768 0.61263 0.52729 0.44486 0.36788
利用矩形法公式(1),得[edx≈(y+y1+…+p1-007782 利用矩形法公式(2),得[ea≈(+y2+…+M/1-02071461. 利用梯形法公式(3),得e-x-(+y)+x1+y…+y)实际上 10-2 是前面两值的平均值,e≈(0772+0.71461)=074621 四、抛物线法 抛物线法是将曲线分为许多小段,用对称轴平行于y轴的二次抛物 线上的一段弧来近似代替原来的曲线弧,从而得到定积分的近似值. 用分点a=x0,x1…,xn=b把区间分成n(偶数)等分,这些分点对应 曲线上的点为M(x1,y)(y1=f(x,)(=012,…n) O 因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线, 故可将这些曲线上的点M互相衔接的分成"组 M0,M1,M2},{M2,M3,M4},…,{Mn=2,Mn=1,Mn} 在每组{M22,M2,M2k}(k=1,2,…,)所对应的子区间[x2x2,x2 上用经过点M2k=2,M2k1,M2的二次抛物线y=px2+qx+r近似 代替曲线弧 计算在[-hh上过三点M(-h,y),M(O,yM2(h,y2),的抛物线 y=px2+qx+r为曲边的曲边梯形的面积 抛物线方程中的Pqr可由下列方程组确定:{y1=r y2=ph+gh+r 由此得2ph2=y-2y1+y2于是所求面积为
4 利用矩形法公式（１），得 10 1 0 ( ) 0 1 9 1 0 2 − + + + − e dx y y y x = 0.77782. 利用矩形法公式（２），得 10 1 0 ( ) 1 2 10 1 0 2 − + + + − e dx y y y x = 0.71461. 利用梯形法公式（３），得 ( ) ) 2 1 [ 10 1 0 0 10 1 2 9 1 0 2 e dx y y y y y x + + + + − − 实际上 是前面两值的平均值， (0.77782 0.71461) 2 1 1 0 2 + − e dx x = 0.74621. 四、抛物线法 线上的一段弧来近似代替原来的曲线弧，从而得到定积分的近似值． 抛物线法是将曲线分为许多小段，用对称轴平行于 y 轴的二次抛物 ( , ) ( ( )).( 0,1,2, ) , , , 0 1 M x y y f x i n a x x x b n i i i i i n = = = = 曲线上的点为 用分点 把区间分成 （偶数）等分，这些分点对应 因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线, { , , },{ , , }, ,{ , , }. 2 0 1 2 2 3 4 n 2 n 1 n i M M M M M M M M M n M − − 故可将这些曲线上的点 互相衔接的分成 组 . , , , ) [ , ] 2 { , , } ( 1,2, , 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 代替曲线弧 上 用经过点 的二次抛物线 近似 在每组 所对应的子区间 M M M y px qx r x x n M M M k k k k k k k k k = + + = − − − − − 为曲边的曲边梯形的面积． 计算在［ 上过三点 的抛物线 y px qx r h h M h y M y M h y = + + − − 2 0 0 1 1 2 2 , ] ( , ), (0, ), ( , ), 抛物线方程中的 p,q,r 可由下列方程组确定： = + + = = − + . , , 2 2 1 2 0 y ph qh r y r y ph qh r 2 2 . 0 1 2 2 由此得 ph = y − y + y 于是所求面积为 o x y y = f (x) 0 a = x 1 x n−1 x x b n = 1 y n−1 y n y 0 y 2 y
A=(+q、2n3+2mh=-h2p+6r)=h(y+4y1+n2 显然,曲边梯形的面积只与M,M1,M的纵坐标y0,y1,y2及底边所在 的区间长度2h有关 由此可知二组曲边梯形的面积为 4=300+4+y3)24=30y2+4号+yb 其中h h(n-2+4yn-+y,), (x)a、b (yo+yn)+2(y2+y4 +4(y1+y3+…+yn1)小(4) 例2对如图所示的图形测量所得的数据如下表所示,用抛物线法计算该图形的面积 站号 2 5 高y02.30548656974856895590010.183 8 高y10201020102001020010.201020010200 14 15 16 17s20 高y104094680156083390918140 里,0站到20站之间的距离为147.18米,相邻两站之间的距离(站距) 为147.18÷20=7.359.而-1站到0站之间的距离为5米 解,从-1站到0站这一段的面积用A表示它可以用曲线同坐标轴的 交点的连线与坐标轴构成的三角形的面积来近似表示,即
5 − = + + h h A ( px qx r)dx 2 ph 2rh 3 2 3 = + (2 6 ) 3 1 2 = h ph + r ( 4 ), 3 1 0 1 2 = h y + y + y 的区间长度 有关． 显然，曲边梯形的面积只与 的纵坐标 及底边所在 h M M M y y y 2 , , , , 0 1 2 0 1 2 由此可知 组曲边梯形的面积为 2 n ( 4 ), 3 1 ( 4 ), 3 1 ( 4 ), 3 1 2 1 2 1 0 1 2 2 2 3 4 n n n n A h y y y A h y y y A h y y y = + + = + + = + + − − . n b a h − 其中 = 4( )].(4) [( ) 2( ) 3 ( ) 1 3 1 0 2 4 2 − − + + + + + + + + + − n n n b a y y y y y y y y n b a f x dx 例２对如图所示的图形测量所得的数据如下表所示,用抛物线法计算该图形的面积 A. 为 ．而 站到 站之间的距离为 米． 里， 站到 站之间的距离为 米，相邻两站之间的距离（站距） 147.18 20 7.359 1 0 5 0 20 147.18 = − 解： 交点的连线与坐标轴构成的三角形的面积来近似表示，即 从 −1站到 0 站这一段的面积用 A1 表示它可以用曲线同坐标轴的 站号 −1 0 1 2 3 4 5 6 高 y 0 2.305 4.865 6.974 8.568 9.559 10.011 10.183 站号 7 8 9 10 11 12 13 高 y 10.200 10.200 10.200 10.200 10.200 10.200 10.200 站号 14 15 16 17 18 19 20 高 y 10.400 9.416 8.015 6.083 3.909 1.814 0 y o x A1 A2
A1≈×5×2.305=5.763(平方米) 根据抛物线公式(4),得 A2≈(y+y)+4(n+y3+y+…+19)+2(y2+y+…+13 1200602(平方米) 五、小结 求定积分近似值的方法:矩形法、梯形法、抛物线法 注意:对于以上三种方法当n取得越大时近似程度就越好 6
6 5 2.305 2 1 A1 = 5.763(平方米). 根据抛物线公式(4)，得 3 [( ) 4( ) 2( )] 2 0 2 0 1 3 5 1 9 2 4 1 8 x A y y y y y y y y y + + + + ++ + + ++ =1200.602 (平方米). 五、小结 求定积分近似值的方法：矩形法、梯形法、抛物线法 注意：对于以上三种方法当 n 取得越大时近似程度就越好．