章节题目 第一节二重积分的概念与性质 重积分的定义 重积分的几何意义、性质 内容提要 重积分的概念与性质 重点分析 对二重积分概念的理解 利用二重积分的性质解决有关问题 难点分析 34(单)5(单) 题布置 备注
1 章 节 题 目 第一节 二重积分的概念与性质 内 容 提 要 二重积分的定义 二重积分的几何意义、性质 重 点 分 析 二重积分的概念与性质 难 点 分 析 对二重积分概念的理解 利用二重积分的性质解决有关问题 习 题 布 置 P93 4(单)、5(单) 备 注
教学内容 问题的提出 1.曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积高 特点:平顶 柱体体积=? 特点:曲顶 曲顶柱体 =(x,y) 求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法 步骤如下: 先分割曲顶柱体的底,并取典型小区域, 用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲 顶柱体的体积 曲顶柱体的体积V=mn∑f(,)△ 2
2 教 学 内 容 一、问题的提出 1.曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 特点:平顶. 柱体体积=? 特点:曲顶. 曲顶柱体 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法. 步骤如下: 先分割曲顶柱体的底,并取典型小区域, 用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲 顶柱体的体积, 曲顶柱体的体积 lim ( , ) . 1 0 i i n i i V f = = → z = f (x, y) D
2.求平面薄片的质量 设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为 p(x,y),假定p(x,y)在D上连续,平面薄片的质量为多少? 将薄片分割成若干小块,取典型小块,将其近似看作均匀薄片,所有小块质量之 和 近似等于薄片总质量 M=lim∑p(2,n)△ →0 Aσ 二、二重积分的概念 定义设∫(x,y)是有界闭区域D上的有界函数,将闭区域D任意分成n个小闭 区域Δσ1,Δσ,,…,Δσn,其中Δσ,表示第i个小闭区域,也表示它的面积, 在每个△G上任取一点(5,),作乘积f(,n)△G1(i=1,2,…,m),并作和 f(5,)△ 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零时,这和式的极限存在,则称此
3 2.求平面薄片的质量 设有一平面薄片,占有 xoy 面上的闭区域 D ,在点 (x, y) 处的面密度为 (x, y) ,假定 (x, y) 在 D 上连续,平面薄片的质量为多少? 将薄片分割成若干小块,取典型小块,将其近似看作均匀薄片,所有小块质量之 和 近似等于薄片总质量 lim ( , ) . 1 0 i i n i M i = = → 二、二重积分的概念 定义 设 f (x, y) 是有界闭区域 D 上的有界函数,将闭区域 D 任意分成 n 个小闭 区域 1, 2 , , n ,其中 i 表示第 i 个小闭区域,也表示它的面积, 在每个 i 上任取一点 ( , ) i i ,作乘积 ( , ) i i f i (i =1,2, ,n) , 并作和 i i n i i f = ( , ) 1 , 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时,这和式的极限存在,则称此 i • x y o x z y o D z = f (x, y) i • ( , ) i i
极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分 记为』/(x,y,即/(x,y)=m2/(,) 对二重积分定义的说明: (1)在二重积分的定义中,对闭区域的划分是任意的 (2)当∫(x,y)在闭区域上连续时,定义中和式的极限必存在,即二重积分必存在 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的负值 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D y ■■■■■■ 则面积元素为d=ddy 故二重积分可写为f(xy)可xy)d 、二重积分的性质 (二重积分与定积分有类似的性质) 性质1当k为常数时, 0(xy)da-小fxya 性质2‖[(x,y)±g(x,y)da f(x,y)d±小g(x,y)do 性质3对区域具有可加性(D=D+D2) f(x, yodo=lf(x,y)do+lf(x,y)do 性质4若σ为D的面积,σ=1·d=do 性质5若在D上f(x,y)≤g(x,y)
4 极限为函数 f (x, y) 在闭区域 D 上的二重积分, 记为 D f (x, y)d ,即 D f (x, y)d i i n i i f = = → lim ( , ) 1 0 . 对二重积分定义的说明: (1)在二重积分的定义中,对闭区域的划分是任意的. (2)当 f (x, y) 在闭区域上连续时,定义中和式的极限必存在,即二重积分必存在. 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积. 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的负值. 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域 D, 则面积元素为 d = dxdy 故二重积分可写为 = D D f (x, y)d f (x, y)dxdy 三、二重积分的性质 (二重积分与定积分有类似的性质) 性质1 当 k 为常数时, ( , ) ( , ) . = D D kf x y d k f x y d 性质2 D [ f (x, y) g(x, y)]d ( , ) ( , ) . = D D f x y d g x y d 性质3 对区域具有可加性 ( ) D = D1 + D2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 = + D D D f x y d f x y d f x y d 性质4 若 为 D 的面积, 1 . = = D D d d 性质5 若在 D 上 f (x, y) g(x, y), x y o D
则有』/(xy)dgxy)do 特殊地j/(xydj(xy) 性质6设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,为D的面 积,则 mGS( x, y )do s Mo(二重积分估值不等式) 性质7设函数∫(x,y)在闭区域D上连续,a为D 的面积,则在D上至少存在一点(,n)使得 f(x,y)dσ=∫(m)·σ(二重积分中值定理) 例1不作计算,估计=』edo的值,其中D是椭圆闭区域: (0<b<a) 解区域D的面积=ab丌 在D上 0≤x2+y2≤a2 1=e<exy≤e 由性质6知σser)do≤a:e", b丌≤ d e 例2估计I= 的值,其中D:0≤x≤1,0≤y≤2 Vx2+y2+2xy+16 解∵f(x,y)= 区域面积σ=2 (x+y)2+16 在D上f(x,y)的最大值M f(x,y)的最小值m= (x=1,y=2) 故=≤I≤→04≤1≤05
5 则有 ( , ) ( , ) . D D f x y d g x y d 特殊地 ( , ) ( , ) . D D f x y d f x y d 性质6 设 M 、 m 分别是 f (x, y) 在闭区域 D 上的最大值和最小值, 为 D 的面 积,则 D m f (x, y)d M (二重积分估值不等式) 性质7 设函数 f (x, y) 在闭区域 D 上连续, 为 D 的面积,则在 D 上至少存在一点 ( ,) 使得 = f (x, y)d f ( , ) D (二重积分中值定理) 例 1 不作计算,估计 I e d D x y + = ( ) 2 2 的值,其中 D 是椭圆闭区域: 1 2 2 2 2 + = b y a x (0 b a). 解 区域 D 的面积 = ab 在 D 上 2 2 2 0 x + y a , 1 , 2 2 2 0 x y a = e e e + 由性质 6 知 , 2 2 2 ( ) a D x y e d e + ab + e d D ( x y ) 2 2 . 2 a abe 例 2 估计 + + + = D x y xy d I 2 16 2 2 的值,其中 D: 0 x 1, 0 y 2 . 解 , ( ) 16 1 ( , ) 2 + + = x y f x y 区域面积 = 2, 在 D 上 f (x, y) 的最大值 ( 0) 4 1 M = x = y = f (x, y) 的最小值 5 1 3 4 1 2 2 = + m = (x =1, y = 2) 故 4 2 5 2 I 0.4 I 0.5
例3判断「1(x2+y2)drd的符号 解当rs(x+y≤1时,0[x(x+y) 因此』mx+y)d>j(x+y)d 四、小结 二重积分的定义(和式的极限) 二重积分的几何意义(曲顶柱体的体积) 重积分的性质
6 例 3 判断 + + 1 2 2 ln( ) r x y x y dxdy 的符号. 解 当 r x + y 1 时, 0 ( ) 1, 2 2 2 x + y x + y 故 ln( ) 0 2 2 x + y ; 又当 x + y 1 时, ln( ) 0, 2 2 x + y 于是 ln( ) 0 1 2 2 + r x + y x y dxdy . 例 4 比较积分 + D ln( x y)d 与 + D x y d 2 [ln( )] 的大小, 其中 D 是三角形 闭区域, 三顶点各为(1,0),(1,1), (2,0). 解 三角形斜边方程 x + y = 2 在 D 内有 1 x + y 2 e , 故 ln( x + y) 1, 于是 2 ln( x + y) ln( x + y) , 因此 + D ln( x y)d + D x y d 2 [ln( )] . 四、小结 二重积分的定义(和式的极限) 二重积分的几何意义(曲顶柱体的体积) 二重积分的性质 o x y 1 1 2 D
思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较,找出它们的相同之处与不同之处 思考题解答 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值,且此值只与被积函数及积分区 域有关.不同的是定积分的积分区域为区间,被积函数为定义在区间上的一元函 数,而二重积分的积分区域为平面区域,被积函数为定义在平面区域上的二元函 数
7 思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较,找出它们的相同之处与不同之处. 思考题解答 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值,且此值只与被积函数及积分区 域有关.不同的是定积分的积分区域为区间,被积函数为定义在区间上的一元函 数,而二重积分的积分区域为平面区域,被积函数为定义在平面区域上的二元函 数.