章节题目 第五节、定积分的分部积分法 定积分的分部积分公式h=m- 内容提要 定积分的分部积分公式与不定积分的区别 利用分部积分公式求定积分 几个特殊定积分的递推公式 占 分 析 利用分部积分公式求定积分 难点分析 306:1、7、8、10、12 题布置 备注
1 章 节 题 目 第五节、定积分的分部积分法 内 容 提 要 定积分的分部积分公式 . = − b a b a b a udv uv vdu 重 点 分 析 定积分的分部积分公式与不定积分的区别 利用分部积分公式求定积分 几个特殊定积分的递推公式 难 点 分 析 利用分部积分公式求定积分 习 题 布 置 P306 ：1、7、8、10、12 备 注
教学内容 、分部积分公式 设函数(x)、x)在区间[]上具有连续导数,则有dh=l vdu.(定 积分的分部积分公式) 推导:)=+m,(m)2o=的+m vau 例1计算 arcsin xdx 解:令u= arcs x,dh=dx,则dn faresin xdx=[arcsin x]o-5xar 26"2 d(1 +-x=+2-1 例2计算 1+cos 2 解∵1+cos2x=2cos2x xdx 1+cos 2 cOS T-In sec x16=T-hn2 例3 计算/1 dx 解:h1+x) In(1+x)d (2+x) In(1+x) d In(1+x) 2+x1+x 2+x1+x1+x2+x In 2 3+(1+x)-k2+x In 2-In 3 例4设f(x)= sin t d求[xf(x)
2 教 学 内 容 一、分部积分公式 设函数 u(x) 、v(x) 在区间 a,b 上具有连续导数，则有 = − b a b a b a udv uv vdu .（定 积分的分部积分公式） 推导： (uv) = u v + uv , ( ) , b a b a uv dx uv = , = + b a b a b uv a u vdx uv dx . = − b a b a b a udv uv vdu 例 1 计算 arcsin . 2 1 0 xdx 解：令 u = arcsin x, dv = dx, 则 , 1 2 x dx du − = v = x, 2 1 0 arcsin xdx 2 1 0 = x arcsin x − − 2 1 0 2 1 x xdx 2 6 1 = (1 ) 1 1 2 1 2 0 2 2 1 d x x − − + 12 = 2 1 0 2 + 1− x 1. 2 3 12 = + − 例 2 计算 . 1 cos 2 4 0 + x xdx 解 1 cos2 2cos , 2 + x = x + 4 0 1 cos 2 x xdx = 4 0 2 2cos x xdx d( x) x tan 2 4 0 = 4 0 tan 2 1 = x x tan xdx 2 1 4 0 − 4 0 ln sec 2 1 8 = − x . 4 ln 2 8 = − 例 3 计算 . (2 ) 1 ln(1 ) 0 2 + + dx x x 解： + 1 + 0 2 (2 ) ln(1 ) dx x x + = − + 1 0 2 1 ln(1 ) x x d 1 2 0 ln(1 ) + + = − x x + + + 1 0 ln(1 ) 2 1 d x x 3 ln 2 = − dx x x + + + 1 0 1 1 2 1 （ = + + x 1 x 1 2 1 x + x − + 2 1 1 1 ） 1 0 ln(1 ) ln( 2 ) 3 ln 2 = − + + x − + x ln 2 ln 3. 3 5 = − 例 4 设 = 2 1 , sin ( ) x dt t t f x 求 ( ) . 1 0 xf x dx
因为一没有初等形式的原函数,无法直接求出f(x),所以采用分部积分法 ∫o(x)=/(x(x)=2F(-2Cxd(x) x f(x)d (x)=m,f(-「2=0,r(x)=5 xf(x dx =f(1) x f(xdx 1〔2 xsin x2a cos x (cos1-D) 例5证明定积分公式 n为正偶数 In,=l sin"xdx= cos"xdx nn-2422 n大于1正奇数 253 证明:设u=sin"x,dh= sin xdx,dh=(n-1) I,=F-sinlxcos x J6+(n-Dfsin-2rcos'xdr l,=(1-1)sm2o-(-1)(sm”wb=(n-1)=2-(n=1 ln=-ln2积分ln关于下标的递推公式 h2=-3 直到下标减到0或1为止 2m2m-2642 10,(m=1,2,…) 2m2m-2642 2m+12m-17 1,(m=1,2,…) Lo= dx=o, I =lsin xdx=1 2m-12m-3531 于是12m=2m2m-2 6422 2m2m-2642
3 解：因为 t sin t 没有初等形式的原函数，无法直接求出 f (x) ，所以采用分部积分法 1 0 xf(x)dx = 1 0 2 ( ) ( ) 2 1 f x d x 1 0 2 ( ) 2 1 = x f x − 1 0 2 ( ) 2 1 x df x (1) 2 1 = f − 1 0 2 ( ) 2 1 x f x dx = 2 1 , sin ( ) x dt t t f x 0, sin (1) 1 1 = dt = t t f , 2sin 2 sin ( ) 2 2 2 x x x x x f x = = 1 0 xf(x)dx (1) 2 1 = f − 1 0 2 ( ) 2 1 x f x dx = − 1 0 2 2 sin 2 1 x x dx = − 1 0 2 2 sin 2 1 x dx 1 0 2 cos 2 1 = x (cos1 1). 2 1 = − 例 5 证明定积分公式 = = 2 2 0 0 sin cos I xdx xdx n n n − − − − − − = 大于 的正奇数 为正偶数 , 1 3 2 5 4 2 1 3 , 2 2 1 4 3 2 1 3 n n n n n n n n n n 证明：设 sin , 1 u x n− = dv = sin xdx, ( 1)sin cos , 2 du n x xdx n− = − v = −cos x, I x x n x xdx n n n − − = − + − 2 2 0 2 2 0 1 sin cos ( 1) sin cos I n xdx n xdx n n n = − − − 2 − 2 0 0 2 ( 1) sin ( 1) sin n n (n 1)I (n 1)I = − −2 − − 2 1 − − n = n I n n I 积分 n I 关于下标的递推公式 2 4 2 3 − − − − n = n I n n I , 直到下标减到 0 或 1 为止 , 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2 0 I m m m m I m − − − = (m =1,2, ) , 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 I m m m m I m − − + + = (m =1,2, ) , 2 2 0 0 = = I dx sin 1, 2 0 1 = = I xdx 于是 , 2 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2 − − − = m m m m I m . 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1 − − + + = m m m m I m
、小结 定积分的分部积分公式h=m-vdhn(注意与不定积分分部积分法的区 思考题 设f(x)在上连续,且f(0)=1,f(2)=3,f(2)=5,求矿(2x 思考题解答 =f(2)-[(2x)=÷-[f(2)-f(0)]=2
4 二、小结 定积分的分部积分公式 . = − b a b a b a udv uv vdu （注意与不定积分分部积分法的区 别） 思考题 设 f (x) 在 0,1 上连续，且 f (0) =1， f (2) = 3， f (2) = 5 ，求 1 0 xf (2x)dx . 思考题解答 1 0 xf (2x)dx = 1 0 (2 ) 2 1 xdf x = − 1 0 1 0 (2 ) 2 1 (2 ) 2 1 xf x f x dx 1 0 (2 ) 4 1 (2) 2 1 = f − f x (2) (0) 4 1 2 5 = − f − f = 2
