《高等数学》课程电子教案：第二章 导数与微分（2.7）函数的微分

章节题目 第七节函数的微分 微分的定义、可微的条件、几何意义 微分的求法 微分形式的不变性 内导数与微分的联系与区别 容提要 微分的几何意义 微分的形式不变性 |可导与可微的关系 点分析 利用微分形式的不变性求微分 难点分析 148:3(单)、4 题布置 备注

1 章 节 题 目 第七节 函数的微分 内 容 提 要 微分的定义、可微的条件、几何意义 微分的求法 微分形式的不变性 导数与微分的联系与区别 重 点 分 析 微分的几何意义 微分的形式不变性 可导与可微的关系 难 点 分 析 利用微分形式的不变性求微分 习 题 布 置 P148：3（单）、4 备 注

教学内容 问题的提出 实例正方形金属薄片受热后面积的改变量 (Ar) 设边长由x变到x+△ 正方形面积A △A=(x+△x)2-x2=2x0·Ax+(Ax) (1):Ax的线性函数,且为△的主要部分 (2):Ax的高阶无穷小当很小时可忽略 再例如设函数y=x3在点x处的改变量为Ax时,求函数的改变量△ △y=(x0+△x)3-x3=3x2△x+3x0·(△x)2+(△x)3 当4很小时,(2)是Ax的高阶无穷小o(△x △y≈3x·Ax 问题这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如 何求 微分的定义 定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义,x及x+Ax在这区间内, 如果Ay=f(x0+△x)-f(x0)=A△x+o(x)成立(其中A是与 △x无关的常数,则称函数y=f(x)在点x可微,并且称A 为函数y=f(x)在点x相应于自变量增量Δx的微分, 记作dm或(x)即小m=4,Ar

2 教 学 内 容 一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. , 0 0 设边长由x 变到x + x , 2 0 正方形面积 A = x 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 0 = x x + x (1) : x的线性函数,且为A的主要部分; (2): x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. 再例如, , . 0 3 设函数 y = x 在点x 处的改变量为x时 求函数的改变量y 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 0 = x x + x  x + x 当x很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x), 3 . 2 0 y  x x 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如 何求? 二、微分的定义 定义： ( ), . ( ) , ), ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ( ) , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dy df x dy A x y f x x x x y f x x A x y f x x f x A x o x A y f x x x x x x x x =   =   =    = +  − =   +  = +  记作 = 或 即 = 为函数 在点 相应于自变量增量 的微分 无关的常数 则称函数 在点 可微 并且称 如果 成立 其中 是与 设函数 在某区间内有定义 及 在这区间内 2 0 A = x 0 x 0 x x x 2 (x) x0x x0x (1) (2)

微分d叫做函数增量△y的线性主部(徽分的实质 由定义知 (1)d是自变量的改变量Ax的线性函数 (2)4y-dy=o(△x)是比Ax高阶无穷小 (3)当4≠0时,d与4y是等价无穷小 1(x→>0) (4)A是与△x无关的常数,但与f(x)和x有关 (5)当A很小时,匀y≈d(线性主部 、可微的条件 定理 函数f(x)在点x可微的充要条件是函数f(x)在点x处可导, 且A=f(x0) 证:(1)必要性 f(x)在点x可微,∴Ay=AAx+o(△x) Ay_ 44+0(△x) 则my =A+lim A Ar→0△x 即函数f(x)在点x可导,且A=f(x) (2)充分性 函数f(x)在点x可导, f(x0),即之=f(x0)+a, 从而△y=f(x)△x+a·(Ax)2(:a→0(△x→>0),) f(x)△x+O(△x) 函数f(x)在点x可微,且f(x)=A ∴可导可微A=f(x0)

3 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质) 由定义知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y −dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A 0时,dy与y是等价无穷小; dy y  A x o x   = + ( ) 1 →1 (x → 0). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y  dy (线性主部). 三、可微的条件 定理 ( ). ( ) ( ) , 0 0 0 A f x f x x f x x 且 =  函数 在点 可微的充要条件是函数 在点 处可导 证：(1) 必要性 ( ) ,  f x 在点x0可微 y = Ax + o(x), , ( ) x o x A x y   = +    x o x A x y x x   = +    →  → ( ) lim lim 0 0 则 = A. ( ) , ( ). 0 0 即函数 f x 在点x 可导 且A = f  x (2) 充分性 ( ) , 函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x x y x =      → ( ) , =  0 +   f x x y 即 ( ) ( ), 0 从而y = f  x x +  x （  → 0 (x → 0), ） ( ) ( ), 0 = f  x x + o x ( ) , ( ) . 函数 f x 在点x0可微 且 f  x0 = A . ( ). 0 可导 可微 A = f  x

函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的微分 记作d或可(x),即d=f(x)Ax 例1求函数y=x3当x=2,△x=002时的微分 解:∵d=(x3)△x=3 dy =0.24 △r=0.02 通常把自变量x的增量Ax称为自变量的微分, 记作d,即d=△x dy=f(x)dx.→=f(x) 即函数的微分d与自变量的微分之商等于该函数的 导数.导数也唧微商 四、微分的几何意义 几何意义:(如图) 当Δ是曲线的纵坐标增量时,d就是切线纵坐标对应的增量 当△很小时,在点M的附近切线段MP可近似代替曲线段MN 五、微分的求法 dy=f(x)dx 求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分 1基本初等函数的微分公式

4 ( ), ( ) . ( ) , , dy df x dy f x x y f x x =   = 记作 或 即 函数 在任意点 的微分 称为函数的微分 例 1 2, 0.02 . 求函数 y = x 3 当x = x = 时的微分 解： dy = (x )x 3  3 . 2 = x x 0.02 2 2 0.02 2 3  = =  =  = =  x x x x dy x x =0.24 , . , dx dx x x x =   记作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 dy = f (x)dx. f (x). dx dy  =  导数. 导数也叫"微商". 即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的 四、微分的几何意义 几何意义:(如图) 当y是曲线的纵坐标增量时, dy就是切线纵坐标对应的增量. 当x很小时, 在点M的附近,切线段MP可近似代替曲线段MN. 五、微分的求法 dy = f (x)dx 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式 y = f (x) 0 x M N T dy y o(x) ） x y o  x x + x 0 P

d(C)=0 d(sin x)=cos xdx d(cos x)=-sin xdx d(tan x)=sec xd dx d(sec x)=sec x tan xd d(csc x)=-csc x cot xdx d(a)=a In adx d(e)=edx d(bog。x) d(n x)=-dx x In d(arcsin x) dx d(arccos x) dx d(arctan r)=.I dx d(arc cot x 1+x 1+x 2.函数和、差、积、商的微分法则 d(utv=dut dv d(Cu)= Cdu d(uv)=vdu+ udv d(=vdu-udy 例2设y=h(x+e),求h 解: dy x+e =el-3x cosx,求d W: dy=cos d(e-x)+e-x.d(cos x) (e-r)=-3e-,(cosx)'=-sinx dy= cos x (3e)dx e.(sin x)dx =-e(3cos x+sin x)dx 六、微分形式的不变性 设函数y=f(x)有导数f(x) (1)若x是自变量时,d=f(x)ahx, (2)若x是中间变量时,即另一变量t的可微函数x=o(),则 q(t)dt=x,∴d=f(x)lx 结论:无论x是自变量还是中间变量,函数y=f(x)的微分形式总是 dy=f(x)dx(徽分形式的不变性)

5 d x x xdx d x x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d C d x x dx (sec ) sec tan (csc ) csc cot (tan ) sec (cot ) csc (sin ) cos (cos ) sin ( ) 0 ( ) 2 2 1 = = − = = − = = − = =  −  dx x dx d arc x x d x dx x dx d x x d x dx x dx d x x a d x d a a adx d e e dx a x x x x 2 2 2 2 1 1 ( cot ) 1 1 (arctan ) 1 1 (arccos ) 1 1 (arcsin ) 1 (ln ) ln 1 (log ) ( ) ln ( ) + = − + = − = − − = = = = = 2. 函数和、差、积、商的微分法则 2 ( ) ( ) ( ) ( ) v vdu udv v u d uv vdu udv d d u v du dv d Cu Cdu − = + =  =  = 例 2 ln( ), . 2 y x e dy 设 = + x 求 解： , 1 2 2 2 x x x e xe y + +   = . 1 2 2 2 dx x e xe dy x x + +  = 例 3 cos , . 1 3 y e x dy 设 = − x 求 解： cos ( ) (cos ) 1 3 1 3 dy x d e e d x x x =  +  − − ( ) 3 , (cos ) sin . 1 3 1 3 e e x x x x  = −  = − − −  dy x e dx e x dx x x cos ( 3 ) ( sin ) 1 3 1 3  =  − +  − − − (3cos sin ) . 1 3 e x x dx x = − + − 六、微分形式的不变性 设函数 y = f (x)有导数 f (x), (1) 若x是自变量时, dy = f (x)dx; (2) 若x是中间变量时, 即另一变量t的可微函数x =(t), 则 (t)dt = dx, dy = f (x)dx. 结论： 无论x是自变量还是中间变量, 函数y = f (x)的微分形式总是 dy = f (x)dx （微分形式的不变性）

例3设 1),求d 解 sin u. u dy= cos udu = cos(2x+l)d(2x+1)=cos(2x+1). 2dx=2 cos(2x+l)dx 例4设y=e"snbx,求d A: dy=e-a. cos bxd(bx)+sin bx. d(ax) bx·bdx+snb =e( cos bx-asn bx)dx 例5在下列等式左端的括号中填入适当的函数使等式成立 o )d( )=cos otdr; (2)d(sin x2)=( d(x) cos atdt=-d(sin or)=d(sin or) d(sn of +C)=cos @tdt (2) d(sin x) 2x cos xdx =4x√ x cosx2, d(√x) d(snx2)=(4 七、小结 ★微分学所要解决的两类问题 函数的变化率问题 )导数的概念 函数的增量问题 〉微分的概念 求导数与微分的方法,叫做微分法 研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学 ★导数与微分的联系:可导可微 1函数f(x)在点x处的导数是一个定数f(x)而微分 ★￠=∫(x)x-x0)是x的线性函数,它的定义域是R,实际 上它是无穷小 6

6 例 3 设 y = sin( 2x +1), 求dy. 解： y = sin u, u = 2x +1. dy = cosudu = cos(2x +1)d(2x +1) = cos(2x +1)2dx = 2cos(2x +1)dx. 例 4 y e sin bx, dy. 设 = −ax 求 解： dy e cosbxd(bx) sin bx e d( ax) ax ax =  +  − − − e bx bdx bx e a dx ax ax = cos  +sin  (− ) − − e (bcosbx asin bx)dx. ax = − − 例 5 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立. (1) ( ) cos ; (2) (sin ) ( ) ( ). 2 d = tdt d x = d x 解： (1)d(sin t) = costdt, (sin ) 1 cos tdt d t    = sin ); 1 d( t  = sin ) cos . 1 d( t C tdt   + = dx x x x dx d x d x 2 1 2 cos ( ) (sin ) (2) 2 2  = 4 cos , 2 = x x x (sin ) (4 cos ) ( ). 2 2 d x = x x x d x 七、小结 ★微分学所要解决的两类问题: 函数的变化率问题————〉导数的概念 函数的增量问题————〉微分的概念 求导数与微分的方法,叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学. ★ 导数与微分的联系: 可导可微. ★ , . ( )( ) , , 1. ( ) ( ), 0 0 0 0 上 它是无穷小 是 的线性函数 它的定义域是 实际 函数 在点 处的导数是一个定数 而微分 dy f x x x x R f x x f x =  − 

lm dy= lim f(oxx-x)=0 2.从几何意义上来看,f(x)是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0) 处切线的斜率而微d=f(x0x-x0)是曲线y=f(x)在点 (x0,f(x)处的切线方程在点x的纵坐标增量 思考题 因为一元函数y=f(x)在x0的可微性与可导性是等价的,所以有人说“微分就是 导数,导数就是微分”,这说法对吗? 思考题解答 说法不对 从概念上讲,微分是从求函数增量引出线性主部而得到的,导数是从函数变化率 问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限,它们是完全不同的概念

7 lim lim ( )( ) 0 0 0 0 dy f x x x x x x x =  − → →  =0 ( , ( )) . , ( )( ) ( ) 2. , ( ) ( ) ( , ( )) 0 0 0 0 0 0 0 0 处的切线方程在点 的纵坐标增量 处切线的斜率 而微 是曲线 在点 从几何意义上来看 是曲线 在点 x f x x dy f x x x y f x f x y f x x f x =  − =  = 思考题 因为一元函数 y = f (x) 在 0 x 的可微性与可导性是等价的，所以有人说“微分就是 导数，导数就是微分”，这说法对吗？ 思考题解答 说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率 问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念