章节题目 第七节极限存在准则两个重要极限 两个准则:夹逼准则;单调有界准则 内两个重要极限:10 m sir、=1、2limn(1+a)=e l 容提要 两个准则:夹逼准则、单调有界准则 重|两个重要极限:imna 12lim(1+a)2=e 占 分析 两个准则的使用方法 难利用两个重要极限求极限 点分析 习P1:1(单、2(单)、4 布 备注
1 章 节 题 目 第七节 极限存在准则 两个重要极限 内 容 提 要 两个准则：夹逼准则; 单调有界准则 . 两个重要极限： 0 sin 1 lim 1 = 、 1 0 2 lim(1 ) e + = 重 点 分 析 两个准则：夹逼准则、 单调有界准则 两个重要极限： 0 sin 1 lim 1 = 1 0 2 lim(1 ) e + = 难 点 分 析 两个准则的使用方法 利用两个重要极限求极限 习 题 布 置 P71：1（单）、2（单）、4 备 注
教学内容 极限存在准则 夹逼准则 准则I如果数列xnyn及二n满足下列条件: (1)yn≤xn≤=n(n=1,2,3…) (2)Im yn=a 那末数列x的极限存在,且lnxn=a 证:∵yn→>a,zn→>a VE>0,彐N1>0,N2>0,使得 当n>N时恒有pn-aN时恒有n-N时,恒有a-EM时有 (1)g(x)≤f(x)≤h(x) (2)lim g(x)=A, lim h(x)=A 那末lmf(x)存在,且等于A 准则I和准则I称为夹逼准则 注意 利用夹逼准则求极限关键是构造出y与zn,并且yn与zn的极限是容易求的 例1:求m( 解 n2+1 m2+n√m2+1
2 教 学 内 容 一、极限存在准则 1.夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = = = → → 那末数列 n x 的极限存在, 且 xn a n = → lim . 证： y a, z a, n → n → 0, N1 0, N2 0, 使得, 1 n N y −a 当 时恒有 n , 2 n N z −a 当 时恒有 n max{ , }, 取 N = N1 N2 上两式同时成立, a − y a +, 即 n a − z a +, n 当n N时, 恒有 a − y x z a +, n n n 即 x −a 成立, n lim x a. n n = → 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 准则Ⅰ′ 如果当 ( ) 0 0 x U x (或 x M )时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x = = → → → → 那末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x → → 存在, 且等于 A . 准则 和准则 '称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 与 ,并且 与 的极限是容易求的 . n n n n y z y z 例 1： ). 1 2 1 1 1 lim ( 2 2 2 n n n n n + + + + + + → 求 解： , 1 1 1 1 2 2 2 2 + + + + + + n n n n n n n n
又lm-B==lm 1, +n 由夹逼定理得 如(vm++m+2+++n)=1 2单调有界准则 如果数列x满足条件x≤x2…≤xn≤xn1≤…单调增加或者 x1≥x2…≥xn≥xn1≥…,单调减少 准则Ⅱ单调有界数列必有极限 几何解释 x, x2 xin xn+1 A M 例2证明数列xn=y3+V3+√-…+√3(m重根式的极限存在 证:显然xn1>xn,∴{xn}是单调递增的; 又:x=√3<3,假定x<3,x1=3+x<√3+3<3 xn}是有界的;∴lmxn存在 xm 1=3+*,, x24,=3+x, lim x2) =lim(3+x,), A2=3+A,解得A=1+13A=2 1-√13 (舍去) 1+√13 Iim x 二、两个重要极限 sin x (1)
3 n n n n n n 1 1 1 lim lim 2 + = + → → 又 = 1, 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n n n + = + → → = 1, 由夹逼定理得 ) 1. 1 2 1 1 1 lim ( 2 2 2 = + + + + + + → n n n n n 2.单调有界准则 如果数列xn满足条件 , x1 x2 xn xn+1 单调增加或者 , x1 x2 xn xn+1 单调减少 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释: 例 2： 证明数列 x 3 3 3 (n重根式)的极限存在. n = + + + 证： , n 1 n x x 显然 + 是单调递增的 ; n x 3 3, 又 x1 = 3, k 假定 x k k x = + x +1 3 3+3 3, 是有界的; n x lim 存在. n n x → 3 , n 1 n x = + x + 3 , 2 n 1 n x = + x + lim lim (3 ), 2 1 n n n n x = + x → + → 3 , 2 A = + A 2 1 13 , 2 1 13 − = + 解得 A = A (舍去) . 2 1 13 lim + = → n n x 二、两个重要极限 (1) 1 sin lim 0 = → x x x x 1 x 2 x 3 x xn xn+1 A M
设单位圆O,圆心角∠AOB=x,(0<x<), 作单位圆的切线,得AACO.扇形OAB的圆心角为x,△OAB的高为BD, 于是有snx=BD,x=弧AB,tanx=AC, sin x sin x<x< tan x COSx< 上式对于-万<x<0也成立当0<<万时, 0<lcosx-1=1-cosx =2 sin2x 0,∴lm(1-cosx)=0, Im cos x=1,又∵lml=1,∴lin sIn x x→0 x→0 例3求lm 1-coSx 2 解:原式=lmn -lim -lim x→0x 2 定义im(1+-)"=e 设x=(+)=1+"1+m(n-1).1+….+mn-D)(m-n+D.1 =1+1+-(1--) 类似地
4 ) 2 , , (0 设单位圆 O 圆心角AOB = x x ， 作单位圆的切线，得ACO. 扇形OAB的圆心角为x, OAB的高为BD, 于是有sin x = BD, x = 弧AB, tan x = AC, sin x x tan x, 1, sin cos x x 即 x 0 . 2 上式对于 − x 也成立 , 2 当 0 时 x 0 cos x − 1 = 1 −cos x 2 2sin 2 x = 2 ) 2 2 ( x , 22 x = 0 , 2 lim 2 0 = → x x lim ( 1 cos ) 0 , 0 − = → x x lim cos 1 , 0 = → x x lim 1 1 , 0 = x → 又 1 . sin lim0 = → x x x 例 3 . 1 cos lim 2 0 x x x − → 求 解 ： 22 0 2 2sin lim x x x → 原式 = 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 21 x x x → = 2 0 ) 2 2 sin lim ( 21 x x x → = 2 1 21 = . 21 = (2) e x x x + = → ) 1 lim ( 1 定义 e n n n + = → ) 1 lim ( 1 n n n x ) 1 设 = ( 1 + + − = + + 21 2! 1 ( 1 ) 1! 1 n n n n n n n n n n n n 1 ! ( 1) ( 1) − − + + ). 1 ) (1 2 )(1 1 (1 !1 ) 1 (1 2!1 1 1 nn n n n n − = + + − + + − − − 类似地 , AC x o BD
(1 n n 2 (1--)(1---)…(1 显然xn1>xn,∴{xn}是单调递增的, xn}是有界的;∴lmxn存在 记为lm(1+-)”=e(e=2.71828…) 当x≥1时,有[x]≤x≤[x]+1 x]+1 而m(+)=mn(+12),m(1+)=e lim(1 lim(1+ 1H+llim(1+ im(1+-)2 令t=-x,∴lm(1+-)2=lm(1--)=lm(1+ im(1+ im(1+-)2=e 令t=-,lm(1+x)x=lm(1+-)=e 1 (1+x)x= 例4求im(1--)
5 ). 1 ) (1 2 2 )(1 1 1 (1 ( 1)! 1 ) 11 ) (1 2 2 )(1 1 1 (1 !1 ) 1 1 (1 2!1 1 1 1 + − + − + − + + +− − + − + + − + + + = + + − nn n n n nn n n nn x n , n 1 n x x 显然 + 是单调递增的; n x!1 2!1 1 1 n xn + + ++ 1 21 21 1 1 − + + + + n 1 21 3 − = − n 3, 是有界的; n x lim 存在. n n x → e n n n + = → ) 1 记为 lim (1 (e = 2.71828) 当x 1时, 有[x] x [x]+1, ) , [ ] 1 ) (1 1 ) (1 [ ] 1 1 (1 [ ] [ ]+1 + + + + x x x x x x ) [ ] 1 ) lim (1 [ ] 1 ) lim (1 [ ] 1 lim (1 [ ] 1 [ ] x x x x x x x x + = + + →+ →+ + →+ 而 = e , e x x x x x x x x = + + + = + + + − →+ + →+ →+ [ ] 1 1 [ ] ) [ ] 1 1 ) lim (1 [ ] 1 1 lim (1 ) [ ] 1 1 lim (1 ) . 1 lim ( 1 e x x x + = →+ 令t = − x , t t x x x t − →− →+ + = − ) 1 ) lim ( 1 1 lim ( 1 t t t ) 1 1 lim ( 1 − = + →+ ) 1 1 ) ( 1 1 1 lim ( 1 1 − + − = + − →+ t t t t = e . e x x x + = → ) 1 lim ( 1 , 1x 令 t = t t x x t x ) 1 lim ( 1 ) lim ( 1 1 0 + = + → → = e . x e x x + = → 1 0 lim ( 1 ) 例 4 ) . 1 lim ( 1 x x x − → 求
解:原式=lm[(1+—)x]=lim (1+-) 例5求im() x→2+x 解原式=lm(1+-)2+2]2(1+ =e 、小结 两个准则 夹逼准则;单调有界准则 2两个重要极限 设a为某过程中的无穷小, sin a =1,2lm(1+a) 思考题 求极限m(32+92 思考题解答 m(32+9 9·lml+ =9·e=9 6
6 解： 1 ) ] 1 lim[(1 − − → − = + x x x 原式 x x x − → − + = ) 1 (1 1 lim . 1 e = 例 5 ) . 2 3 lim ( 2x x x x + + → 求 解 2 2 4 ) 2 1 ) ] (1 2 1 lim[(1 + − → + + + = + x x x x 原式 . 2 = e 三、小结 1.两个准则 夹逼准则; 单调有界准则 . 2.两个重要极限 设 为某过程中的无穷小 , 1; sin 1 lim 0 = 某过程 2 lim (1 ) . 1 0 + = e 某过程 思考题 求极限 ( )x x x x 1 lim 3 + 9 →+ 思考题解答 ( )x x x x 1 lim 3 + 9 →+ ( ) x x x x x 1 1 1 3 1 lim 9 = + →+ x x x x x →+ = + 3 1 3 3 1 9 lim 1 9 9 0 = e =