章节题目 第四节一阶线性微分方程 阶线性微分方程的标准形式及其解法 伯努利( Bernoulli)方程的标准形式及其解法 内容提要 阶线性微分方程的解法及解的结构 重点分析 常数变易法 用变量代换法求解微分方程 难点分析 381(单)、3、6、7(单)、9(单) 题布置 备注
1 章 节 题 目 第四节 一阶线性微分方程 内 容 提 要 一阶线性微分方程的标准形式及其解法 伯努利(Bernoulli)方程的标准形式及其解法 重 点 分 析 一阶线性微分方程的解法及解的结构 难 点 分 析 常数变易法 用变量代换法求解微分方程 习 题 布 置 P348 1（单）、3、6、7（单）、9（单） 备 注
教学内容 线性方程 阶线性微分方程的标准形式: +P(x)y=o(x) 当Q(x)=0,上方程称为齐次的 当Q(x)=0,上方程称为非齐次的 a-+ xsnt+t2线性的 yy3-2xy=3,y-cosy=1,非线性的 阶线性微分方程的解法 1.线性齐次方程+P(x)y=0(使用分离变量法) P(x)dx P(x)do In P(x)dx+In C 齐次方程的通解为y=Ce」PxM 2.线性非齐次方程+P(x)y=Q(x) 讨论=|9x-P 两边积分M-900-JPxM 设∫h为x),:计=vx)-∫Px) 即y=ee-x)非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比:C→(x) 常数变易法:把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 实质:未知函数的变量代换 新未知函数u(x)→原未知函数y(x) 2
2 教 学 内 容 一、线性方程 一阶线性微分方程的标准形式: P(x) y Q(x) dx dy + = 当Q(x) 0, 上方程称为齐次的. 当Q(x) 0, 上方程称为非齐次的. 例如 , 2 y x dx dy = + sin , 2 x t t dt dx = + 线性的; yy − 2xy = 3, y − cos y =1, 非线性的. 一阶线性微分方程的解法 1. 线性齐次方程 + P(x) y = 0. dx dy (使用分离变量法) P(x)dx, y dy = − ( ) , = − P x dx y dy ln y = − P(x)dx + ln C, 齐次方程的通解为 . ( ) = − P x dx y Ce 2. 线性非齐次方程 P(x) y Q(x). dx dy + = 讨论 ( ) , ( ) P x dx y Q x y dy = − 两边积分 ( ) , ( ) ln = dx − P x dx y Q x y ( ), ( ) dx v x y Q x 设 为 ln ( ) ( ) , y = v x − P x dx . ( ) − ( ) = v x P x dx 即 y e e 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比: C u(x) 常数变易法：把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 新未知函数u(x)原未知函数 y(x)
作变换y=l(x)e 」Px)k u(x)e ∫P u(x[p(x)le P(x)dr 将和代入原方程得u(x)-w=a(x 积分得x)=」(x 一阶线性非齐次微分方程的通解为 P(x)dx y=lo(be dx+ cle ∫P(x)h C Ce parda 对应齐次方程通解 ∫ax P(x)dr d非齐次方程特解 例1求方程y+y=Smx的通解 sin x 解P(x)=-,Q(x) sinx∫ exdx+Cl=e、tn/rsnx (sin xdx+c)=fcos x+C) 例2如图所示,平行与y轴的动直线被曲线y=f(x)与y=x3(x≥0) 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线f(x 解「f(x)dx=yx2-y)2,「yd dx=x-y, 两边求导得y+y=3x2 解此微分方程 小(C+∫3xer 由yl=0,得C=-6 所求曲线为y=3(-2e-+x2-2x+2)
3 作变换 = − P x dx y u x e ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )] , ( ) ( ) + − = − P x dx P x dx y u x e u x P x e 将y和y 代入原方程得 ( ) ( ), ( ) u x e Q x P x dx = − 积分得 ( ) ( ) , ( ) u x Q x e dx C P x dx + = 一阶线性非齐次微分方程的通解为: + = − P x dx P x dx y Q x e dx C e ( ) ( ) [ ( ) ] Ce e Q x e dx P x dx P x dx P x dx + = − ( ) − ( ) ( ) ( ) − P x dx Ce ( ) 对应齐次方程通解 e Q x e d P x dx P x dx − ( ) ( ) ( ) 非齐次方程特解 例 1 . 1 sin 求方程 的通解 x x y x y + = 解 , 1 ( ) x P x = , sin ( ) x x Q x = + = − e dx C x x y e dx x dx x 1 1 sin = + − e dx C x x e ln x sin ln x ( ) = xdx+C x sin 1 ( cos ). 1 x C x = − + 例 2 如图所示 ， 平 行与 y 轴 的 动 直 线 被曲 线 y = f (x) 与 ( 0) 3 y = x x 截下的线段 PQ 之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f (x) . 解 ( ) ( ) , 3 2 0 f x dx x y x = − = − x ydx x y 0 3 , 两边求导得 3 , 2 y + y = x 解此微分方程 + = − y e C x e dx dx dx 2 3 3 6 6, 2 = + − + − Ce x x x | 0, 由 y x=0= 得 C = −6, 所求曲线为 3( 2 2 2). 2 = − + − + − y e x x x
伯努利方程 伯努利( Bernoul)方程的标准形式+P(x)y=Q(x)y”(n≠0,1) n=0.时,方程为线性微分方程 出n≠0.时,方程为非线性微分方程 解法:需经过变量代换化为线性微分方程 两端除以y,得y+P(x)y=Qx 则=(1-n)y dz 代入上式+(1-n)P(x)2=(1-n)Q(x) 求出通解后,将z=y代入即得 =)(x1-n (1-n)P(x)d dx+C) 例3求方程-4y=x√的通解 解两端除以y,得 dy 4 d 解得z=x2+C即y=x+C 2 例4用适当的变量代换解下列微分方程 2yy+2xy=xe 解y+xy=xey 令:=y+)=y2,则在=2y d x dx 所求通解为y2=e(+C dh n(xy)x
4 二、伯努利方程 伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 n P x y Q x y dx dy + ( ) = ( ) (n 0,1) 当n = 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. 两端除以y n，得 ( ) ( ), 1 P x y Q x dx dy y n n + = − − , 1 n z y − 令 = 则 ， dx dy n y dx dz −n = (1− ) 代入上式 (1 n)P(x)z (1 n)Q(x), dx dz + − = − 求出通解后，将 n z y − = 1 代入即得 ( ( )(1 ) ). (1 ) ( ) (1 ) ( ) 1 + − = = − − − − y z e Q x n e dx C n P x dx n P x dx n 例 3 . 求方程 4 y x 2 y 的通解 dx x dy − = 解 两端除以y n，得 , 1 4 2 y x dx x dy y − = 令 z = y , , 4 2 2 z x dx x dz − = , 2 2 = +C x 解得 z x . 2 2 4 = +C x 即 y x 例 4 用适当的变量代换解下列微分方程: 1. 2 2 ; 2 2 x yy xy xe − + = 解 , 2 1 1 2 − − y + xy = xe y x , 1 ( 1) 2 z = y = y 令 − − 2 , dx dy y dx dz 则 = 2 , 2 x xz xe dx dz − + = [ ] 2 2 2 z e xe e dx C xdx x xdx + = − − 所求通解为 ). 2 ( 2 2 2 C x y e x = + − ; sin ( ) 1 2. 2 x y dx x xy dy = −
解令二=xy,则 =y+x( 2(xy) 分离变量法得2z-sn2z=4x+C 将z=xy代回 所求通解为2xy-sm(2xy)=4x+C dx x+y 解令x+y=n则如=如-1 代入原式 分离变量法得u-h(u+1)=x+C, 将u=x+y代回所求通解为 y-In(x+y+1)=C, o x=Ce'-y-1 另解方程变形为=x+y 三、小结 齐次方程y=f(2)令y=x 2线性非齐次方程令y=x)); 3伯努利方程令yn=z
5 解 令 z = xy, , dx dy y x dx dz 则 = + , sin 1 ) sin ( ) 1 ( 2 2 x z y x x y y x dx dz = + − = 分离变量法得 2z −sin 2z = 4x +C, 将 z = xy代回, 所求通解为 2xy−sin( 2xy) = 4x +C. ; 1 3. dx x y dy + = 解 令 x + y = u, = −1, dx du dx dy 则 代入原式 , 1 1 dx u du − = 分离变量法得 u − ln( u +1) = x +C, 将u = x + y 代回, 所求通解为 y − ln( x + y +1) = C, x = C1 e − y −1 或 y 另解 x y. dy dx 方程变形为 = + 三、小结 1.齐次方程 ( ) x y y = f 令 y = xu; 2.线性非齐次方程 ( ) ; ( ) = − P x dx 令 y u x e 3.伯努利方程 ; 1 y z n = 令 −
思考题 求微分方程y=—03}的通解 COS VSI 思考题解答 dx cos yin 2y-xsn sin 2y-x tan y dx +(tan y x=sin 2y dy x=e-+mn2ye-+b+d」 2 sin y cos y -COS y cos J =cos yC-2cos
6 思考题 求微分方程 y y x y y y cos sin 2 sin cos − = 的通解. 思考题解答 y y y x y dy dx cos cos sin 2 − sin = = sin 2y − x tan y, (tan y) x sin 2y, dy dx + = = + − x e y e dy C ln cos y ln cos y sin 2 = + dy C y y y y cos 2sin cos cos = cos yC −2cos y