章节题目 第四节函数展开成幂级数 泰勒级数、麦克劳林级数 函数展开成幂级数 内容提要 如何将函数展开成幂级数 熟悉几个常见的幂级数展开式 重点分析 用间接法展开幂级数 难点分析 P 题布置 2752(单)、4、6 备注
1 章 节 题 目 第四节 函数展开成幂级数 内 容 提 要 泰勒级数、麦克劳林级数 函数展开成幂级数 重 点 分 析 如何将函数展开成幂级数 熟悉几个常见的幂级数展开式 难 点 分 析 用间接法展开幂级数 习 题 布 置 P275 2（单）、4、6 备 注
教学内容 、泰勒级数 上节例题∑(-1)~3=h(1+x)(-1<x≤1 f(x)=∑an(x-x)存在幂级数在其收敛域内以为和函数 问题:1.如果能展开,an是什么? 2展开式是否唯一? 3在什么条件下才能展开成幂级数? 定理1如果函数f(x)在U2(x)内具有任意阶导数,且在U。(x0)内能展开成 (x-x)的幂级数,即f(x)=∑a1(x-x)则其系数an=f(x) (n=0,1,2,…)且展开式是唯一的 证明∵∑a(x-x)在n(x)内收敛于f(x),即 f(x)=a0+a1(x-x0)+…+an(x-x)"+ 逐项求导任意次得 f(x)=a1+2a2(x-x0)+…+nan1(x-x0)+ f("(x)=mlan+(n+1)m…3·2an1(x-x0)+ x=x0,即得 an=-f(m(x)(n=0,2,…)泰勒系数 泰勒系数是唯一的,∴f(x)的展开式是唯一的 定义如果f(x)在点x处任意阶可导则幂级数 (x-5)称为f()在点馬的泰勒级数 ! ∫x称为f(x)在点x的麦克劳林级数 2
2 教 学 内 容 一、泰勒级数 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1 − = + − = − x x n x n n n n n n f (x) a (x x ) 0 0 = − = 存在幂级数在其收敛域内以 f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, n a 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 定理 1 如果函数 f (x) 在 ( ) 0 U x 内具有任意阶导数, 且在 ( ) 0 U x 内能展开成 ( ) 0 x − x 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0 = − = 则其系数 ( ) ! 1 0 ( ) f x n a n n = (n = 0,1,2, ) 且展开式是唯一的. 证明 ( 0 ) 在 ( 0 )内收敛于 ( ),即 0 a x x u x f x n n n − = f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n + 逐项求导任意次,得 f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 + f (n) (x) = n!an + (n +1)n32an+1 (x − x0 ) + 令 x = x0 , 即得( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 泰勒系数 泰勒系数是唯一的, f (x)的展开式是唯一的. 定义 如果 f (x) 在点 0 x 处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( ) − = 称为 f (x) 在点 0 x 的泰勒级数. n n n x n f =0 ( ) ! (0) 称为 f (x) 在点 0 x 的麦克劳林级数
问题f(x) 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定 例如f(x) X≠ 0.x=0 在x=0点任意可导,且f(O)=0(n=0,1,2,…) f(x)的麦氏级数为∑0x 该级数在(-∞,+∞内和函数(x)=0.可见除s=0外,f(x)的麦氏 级数处处不收敛于f(x) 定理2f(x)在点x0的泰勒级数,在U(x)内收敛于f(x)分在U。(x0)内 Iim r,(x)=0 证明必要性:设f(x)能展开为泰勒级数, xo)+r,(x) R2(x)=f(x)-Sn+1(x), Im sm,41(x)=f(x) m R,(x)=lm[f(x)-Sn+I(x)J 充分性∵f(x)-Sn(x)=R(x lm[f(x)-S,(x)]=lm R,(x)=0 n→① 即 lim s1(x)=f(x) f(x)的泰勒级数收敛于f(x) 定理3设∫(x)在U(x0)上有定义,彐M>0,对yx∈(x0-R,x0+R),恒有 (x)sM(n=012,…),则f(x)在(x一Rx+R内可展开成点x的泰勒
3 问题 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ? = − = 泰勒级数在收敛区间是否收敛于 f(x)? 不一定. = = − 0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 在 x=0 点任意可导, (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) = n = = 0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(−,+)内和函数s(x) 0. 可见 除s = 0外, f (x)的麦氏 级数处处不收敛于 f (x). 定理 2 f (x) 在点 0 x 的泰勒级数, 在 ( ) 0 U x 内收敛于 f (x) 在 ( ) 0 U x 内 lim ( ) = 0 → R x n n . 证明 必要性: 设f (x)能展开为泰勒级数, ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i = − + = ( ) ( ) ( ), 1 R x f x s x n = − n+ lim ( ) ( ) 1 s x f x n n + = → = → lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] 1 f x s x n n + → − = 0; 充分性 ( ) ( ) ( ), 1 f x s x R x − n+ = n lim[ ( ) ( )] 1 f x s x n n + → − lim R (x) n n→ = = 0, lim ( ) ( ), 1 s x f x n n + = → 即 f (x)的泰勒级数收敛于 f (x). 定理 3 设 f (x) 在 ( ) 0 U x 上有定义, M 0 ,对 ( , ) x x0 − R x0 + R , 恒有 f x M n ( ) ( ) (n = 0,1,2, ) ,则 f (x) 在 ( , ) x0 − R x0 + R 内可展开成点 0 x 的泰勒
级数 证明∵|R(x ,x∈(x0-R,x+R) 在(-+收敛 n=d(n+1) =0,故lmR(x)=0,x∈(x0-R,x0+R) (n+1) 可展成点x的泰勒级数 、函数展开成幂级数 1直接法泰勒级数法) 步骤:(1)求an (x0) (2)讨论mR=0或/(x)≤M 则级数在收敛区间内收敛于f(x) 例1将f(x)=e展开成幂级数 解f((x)=e,f"(0)=1.(n=0,12…) M>0.,在-M,M上|(x)=e'se" =1+x+ 由于M的任意性,即得e=1+x+1x+…+1x+…x∈(-,+) 例2将f(x)=snx展开成x的幂级数 M n(x)=sin(x+m), fm(o)=sin 0,f(2n(O)=(-1),(n=0,12,…) 且f(( ≤1x∈(-∞,+∞)
4 级数. 证明 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x , ( 1)! 1 0 + − + n x x M n ( , ) x x0 − R x0 + R ( , ) , ( 1)! 0 1 0 在 − + 收敛 + − = + n n n x x 0, ( 1)! lim 1 0 = + − + → n x x n n lim ( ) = 0, → R x n n 故 ( , ) x x0 − R x0 + R . 可展成点x0的泰勒级数 二、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: ; ! ( ) (1) 0 ( ) n f x a n 求 n = (2) lim 0 ( ) , ( ) R f x M n n n = → 讨论 或 则级数在收敛区间内收敛于 f (x). 例 1 将 ( ) 展开成幂级数. x f x = e 解 ( ) , (n) x f x = e (0) 1. ( 0,1,2, ) f (n) = n = x + + ++ x n + n e x x ! 1 2! 1 1 2 M 0, 在[−M,M]上 n x f (x) = e ( ) M e x = + + ++ x n + n e x x ! 1 2! 1 1 2 (n = 0,1,2, ) 由于 M 的任意性, 即得 ( , ) ! 1 2! 1 1 2 = + + + + x + x − + n e x x x n 例 2 将f (x) = sin x展开成x的幂级数. 解 ), 2 ( ) sin( ( ) n f x x n = + , 2 (0) sin ( ) n f n = (0) 0, (2 ) = n f (0) ( 1) , (2n 1) n f = − + (n = 0,1,2, ) ( ) = ( ) f x 且 n ) 2 sin( n x + 1 x(−,+)
six=x-x3+x3-…+(-l) x∈(-∞,+∞) (2n+1) 例3将f(x)=(1+x)°(a∈R)展开成x的幂级数 解∵fm(x)=a(a-1)…( (a-1)…(a-n+1),(n=0,1,2,… 1+a+ (a-1)…(a-n+1) lim 1,∴R=1, 在(-1,1内若s(x)=1+a a(a-1)…( s(x)=a+a(a-1) (a-1)…( 1) (a-1)x (a-1)…(a n-1) 利用m=)(m-n+D+(m=1)(m=m)=mm-1)(m=m+1) (n-1)! nk a2(a-1)…(a-n+1) nk 且s(0) s(x)1+x 两边积分 x∈(-1,1) H In s(x)-In s(0)=aIn(1+x) 即hs(x)=ln(1+x) s(x)=(1+x),x∈(-11)
5 + + = − + − + − + (2 1)! ( 1) 5! 1 3! 1 sin 2 1 3 5 n x x x x x n n x(−,+) 例 3 将f (x) = (1+ x) ( R)展开成x的幂级数. 解 ( ) ( 1) ( 1)(1 ) , (n) n f x n x − = − − + + (0) ( 1) ( 1), ( ) f = − − n + n (n = 0,1,2, ) + − − + + + − + + n x n n x x ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) 1 2 n n n a a 1 lim + → +1 − = n n = 1, R =1, 在(−1,1)内,若 + − − + = + + + n x n n s x x ! ( 1) ( 1) ( ) 1 + − − − + = + − + + −1 ( 1)! ( 1) ( 1) ( ) ( 1) n x n n s x x + − − − + = + − + + n x n n xs x x x ( 1)! ( 1) ( 1) ( ) ( 1) 2 ! ( 1) ( 1) ! ( 1) ( ) ( 1)! ( 1) ( 1) n m m m n n m m n n m m n − − + = − − + − − − + 利用(1+ x)s (x) + − − + + + − = + + −1 2 2 2 ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) n x n n x x =s(x) , ( ) 1 ( ) s x x s x + = 且 s(0) =1. 两边积分 , ( ) 1 ( ) 0 0 dx x dx s x x s x x + = x(−1,1) 得 ln s(x) − ln s(0) = ln(1+ x), 即 ln ( ) ln(1 ) , s x = + x ( ) (1 ) , s x = + x x(−1,1)
x a(a-1 1+ax+ x(a-1)…(a-n+1 x∈(-11)牛顿二项式展开式 注意:在x=±1处收敛性与a的取值有关 a≤-1收敛区间为-1,1 a≤-1收敛区间为-1,1) a>1收敛区间为-1 当 时,有 =1-x+x2-x3+…+(-1)2x (-1,1) 1·3 (2n)! 1-·3·5 x (-1) 2.4.6 (2 2间接法 根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式 例如cosx=(six) 2n+1 .sin x=x-31"51 12+1x2-…+(-1) x∈(-∞,+∞) (2m) arctan x= x-x3+x3-…+(-1 1 2n+1 1,1 +x 1+x n
6 + − − + + + − = + + + n x n n x x x ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) 1 (1 ) 2 x(−1,1) 牛顿二项式展开式 注意: 在x = 1处收敛性与的取值有关. −1 收敛区间为(−1,1); −1 收敛区间为(−1,1); 1 收敛区间为[−1,1]. 当 时, 有 2 1 = −1, 1 ( 1) ( 1,1) 1 1 2 3 = − + − + + − + − + x x x n x n x [ 1,1] (2 )!! (2 3)!! ( 1) 2 4 6 1 3 2 4 1 2 1 1 1 2 3 − + − + + − + + = + − n x n n n x x x x [ 1,1] (2 )!! (2 1)!! ( 1) 2 4 6 1 3 5 2 4 1 3 2 1 1 1 1 2 3 − + − + + − − = − + + n x n n n x x x x 2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. 例如 cos x = (sin x) + + = − + − + − + (2 1)! ( 1) 5! 1 3! 1 sin 2 1 3 5 n x x x x x n n = − + −+ − + (2 )! ( 1) 4! 1 2! 1 cos 1 2 2 4 n x x x x n n x(−,+) + = x x dx x 0 2 1 arctan + + = − + − + − + 2 1 ( 1) 5 1 3 1 2 1 3 5 n x x x x n n x[−1,1] + + = x x dx x 0 1 ln(1 ) = − + −+ − − + n x x x x n 2 3 n 1 ( 1) 3 1 2 1 x(−1,1]
例4将f(x)=,一在x=1处展开成泰勒级数(展开成x-l的 幂级数并求f(1) 解 4-x3-(x-1) +…]|x-1|<3 =(x-1) (x-1)+ (x-1)2(x-1 (x-1) 于是()_1 故fm(1)= ni 、小结 1如何求函数的泰勒级数 2.泰勒级数收敛于函数的条件 3函数展开成泰勒级数的方法 思考题 什么叫幂级数的间接展开法? 思考题解答 从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求 出给定函数展开式的方法称之
7 例 4 将 在 1处展开成泰勒级数 4 1 ( ) = − − = x x x f x (展开成x −1的 ) (1). (n) 幂级数 并求f 解 3 ( 1) 1 4 1 − − = − x x , ) 3 1 3(1 1 − − = x ) ] 3 1 ) ( 3 1 ( 3 1 [1 3 1 2 + − + + − + − = + x x x n x −1 3 x x x x − = − − − 4 1 ( 1) 4 1 + − + + − + − = − + n n x x x x 3 ( 1) 3 ( 1) 3 ( 1) ( 1) 3 1 3 3 2 2 x −1 3 ! (1) ( ) n f n 于是 , 3 1 n = . 3 ! (1) ( ) n n n 故 f = 三、小结 1.如何求函数的泰勒级数; 2.泰勒级数收敛于函数的条件; 3.函数展开成泰勒级数的方法. 思考题 什么叫幂级数的间接展开法？ 思考题解答 从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求 出给定函数展开式的方法称之
