经济数学基础 第7章定积分的应用 第7章积分的应用典型例题与综合练习 一、典型例题 1、积分的几何应用 例1已知曲线y=F(x)在任一点x处的切线斜率为√x,且曲线过(.1)点,试 求该曲线的方程 2 +c=4√x+c F'(x) F(x)=∫ x 解:由 再由曲线过(,1)点得C=-3.所求曲线方程为y=4x-3 例2求由曲线y=x和直线y=x+2所围成的平面图形的面积 解:y=x与y=x+2的交点为(一,)和(2,4), 在区间(-1,2)上有 >x 故所求平面图形的面积为 S=[2(x+2-xx=(x2+2x-x2)9 例3求由曲线y=√x-1与x轴及直线x=0,x=4所围成的平面图形的 面积 解:y=√x-1与x轴的交点为(1,0),在区间(0,)上有√x-1<0 210—
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——210—— 第7章积分的应用典型例题与综合练习 一、典型例题 1、积分的几何应用 例 1 已知曲线 y = F(x) 在任一点 x 处的切线斜率为 x 2 ，且曲线过 (1, 1) 点，试 求该曲线的方程． 解：由 x F x 2 ( ) = ，得 x x x x F x d 2 d 2 ( ) 2 1 − = = x + c = x + c − + = − + 4 1 2 1 2 1 2 1 再由曲线过 (1, 1) 点得 c = −3 ．所求曲线方程为 y = 4 x − 3 例 2 求由曲线 2 y = x 和直线 y = x + 2 所围成的平面图形的面积． 解： 2 y = x 与 y = x + 2 的交点为 (−1, 1) 和 (2, 4) ， 在区间 (−1, 2) 上有 2 x + 2 x 故所求平面图形的面积为 2 9 ) 3 1 2 2 1 ( 2 )d ( 2 1 2 3 2 1 2 = + − = + − = − − S x x x x x x 例 3 求由曲线 y = x −1 与 x 轴及直线 x = 0, x = 4 所围成的平面图形的 面积． 解： y = x −1 与 x 轴的交点为 (1, 0) ，在区间 (0, 1) 上有 x −1 0
经济数学基础 第7章定积分的应用 在区间(,4)上有√x-1>0 故所求平面图形的面积为 2 S=(1-√x)dx+( )+(x2-x)=2 2.积分在经济分析中的应用 例1某产品边际成本为C(q)=3+q(万元/百台),边际收入为R(q)=12-g (万元/百台),固定成本为5(万元),求利润函数L(q) 解: C(a)=c()dq=(3+)dq=3q+g+c [方法1 将C(O)=5代入上式得C=5,即有 C(q)=3q++5 R()=R(q)dq=(12-q)dq=1 q 将(O)=0代入上式得c=0,即有 R(q)=12 由此得 q)=R(q)-Cq)=12q-9-(3+2+=9-q2-5 方法2 C(a)=c(q)dq+Co=(+qdq+5 R(q)=R(q=J02-ky=1、g3 211
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——211—— 在区间 (1, 4) 上有 x −1 0 故所求平面图形的面积为 ) 2 3 2 ) ( 3 2 (1 )d ( 1)d ( 4 1 2 3 1 0 2 3 4 1 1 0 = − + − = − + − = S x x x x x x x x 2.积分在经济分析中的应用 例 1 某产品边际成本为 C(q) = 3 + q （万元／百台），边际收入为 R(q) = 12 − q （万元／百台），固定成本为 5（万元），求利润函数 L(q) ． 解： [方法 1] c q C q = C q q = + q q = q + + 2 ( ) ( )d (3 )d 3 2 将 C(0) = 5 代入上式得 c = 5 ，即有 5 2 ( ) 3 2 = + + q C q q c q R q = R q q = − q q = q − + 2 ( ) ( )d (12 )d 12 2 将 R(0) = 0 代入上式得 c = 0 ，即有 2 ( ) 12 2 q R q = q − 由此得 5) 2 (3 2 ( ) ( ) ( ) 12 2 2 = − = − − + + q q q L q R q C q q 9 5 2 = q − q − [方法 2] 5 2 ( ) ( )d (3 )d 5 3 2 0 0 0 = + = + + = + + q C q C q q c q q q q q 2 ( ) ( )d (12 )d 12 2 0 0 q R q R q q q q q q q = = − = −
经济数学基础 第7章定积分的应用 L(q)=R(q)-C(q)=12q (3q 由此得 20=9q-q2-5 C"(q)= 例2已知某商品的边际成本为 2(万元/台),固定成本为10 万元,又已知该商品的销售收入函数为R(q)=100(万元),求(1)使利润 最大的销售量和最大利润;(2)在获得最大利润的销售量的基础上,再销售 20台,利润将减少多少 q dq+10 q 解:(1) C(a)=oc(a)dq+co=J 2 L(q)=R(q)-C(q)=100q 10L(q)=100-7 令1(q)=0解得q=200.由于极值点唯一,可知9=200为最大值点,即销售 L(200=100q-2-10 9990 量为200台时,总利润最大.最大利润为 (2) M=L(220)-L(200=9890-9990=-100 即在获得最大利润的销售量基础上,再销售20台,利润将减少100万元 例3假设某国某年国民收入在国民之间分配的劳伦茨曲线近似地由 y=x(x+1),(x∈[0,1) 表示,试求该国的基尼系数 x2(x+1) (x+x 解:因为 212
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——212—— 由此得 5) 2 (3 2 ( ) ( ) ( ) 12 2 2 = − = − − + + q q q L q R q C q q 9 5 2 = q − q − 例 2 已知某商品的边际成本为 2 ( ) q C q = （万元／台），固定成本为 10 万元，又已知该商品的销售收入函数为 R(q) = 100q （万元），求(1)使利润 最大的销售量和最大利润；(2)在获得最大利润的销售量的基础上，再销售 20 台，利润将减少多少？ 解：(1) 10 4 d 10 2 ( ) ( )d 2 0 0 = + 0 = + = + q q q C q C q q c q q 10 4 ( ) ( ) ( ) 100 2 = − = − − q L q R q C q q ， 2 ( ) 100 q L q = − 令 L(q) = 0 解得 q = 200 ．由于极值点唯一，可知 q = 200 为最大值点，即销售 量为 200 台时，总利润最大．最大利润为 10 9990 4 (200) 100 200 2 = − − = q= q L q (2) L = L(220) − L(200) = 9890 − 9990 = −100 即在获得最大利润的销售量基础上，再销售 20 台，利润将减少 100 万元． 例 3 假设某国某年国民收入在国民之间分配的劳伦茨曲线近似地由 ( 1), ( [0, 1] ) 2 1 2 y = x x + x 表示，试求该国的基尼系数． 解：因为 + = + 1 0 3 2 1 0 2 ( )d 2 1 ( 1)d 2 1 x x x x x x
经济数学基础 第7章定积分的应用 ==(x+=x)=-(+=)= 所以基尼系数为724 3微分方程 y 例1求微分方程 e的通解 解:整理原方程得(3y2+e)y= cos xdx 两端积分j3y2+y-Jesx 得原方程的通解为y+e=smx+c 例2求初值问题 y+ysnx20y(x)=1的解 解:方程为一阶线性微分方程 y+ P(x)y=o(x) sIn x P(x)=-,Q(x)= 其中 x,两端乘以积分因子ex,即x 得 上式两端积分得 sin xdx=-cosx+c -coS x+c y 由此得原方程的通解为 丌-cosx-1 将y(x)=1代入上式得C=x-1,由此得初值问题的解为 213
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——213—— 24 7 ) 3 1 4 1 ( 2 1 ) 3 1 4 1 ( 2 1 1 0 4 3 = x + x = + = 所以基尼系数为 7/24. 3.微分方程 例 1 求微分方程 y y x y 3 e cos 2 + = 的通解． 解：整理原方程得 y y x x y (3 e )d cos d 2 + = 两端积分 y + y = x x y (3 e )d cos d 2 得原方程的通解为 y x c y + e = sin + 3 例 2 求初值问题 0 sin + − = x x x y y ， y( ) = 1 的解． 解：方程为一阶线性微分方程 y + P(x) y = Q(x) 其中 x x Q x x P x sin , ( ) 1 ( ) = = ，两端乘以积分因子 P( x)d x e ，即 x ， 得 (xy) = sin x 上式两端积分得 xy = x x = − x + c sin d cos 由此得原方程的通解为 x x c y − + = cos 将 y( ) = 1 代入上式得 c = −1 ，由此得初值问题的解为 x x y − cos −1 =
经济数学基础 第7章定积分的应用 4+002g+300 q.16g-002q2-300 x dx 二、典型例题 1.填空题 2.已知曲线y=f(x)在点x处切线的斜率为2x,且曲线过(1.0)点,则该曲 线方程为 3.已知某产品产量为9件时的边际成本C(q)=4+004g,固定成本为300元,那 么平均成本函数C(q)=,若销售单价为20元,则利润函数(q)= 4.由直线y=x-2,x=1,y=0围成的平面图形面积,用定积分表示为 5.微分方程y+(y)5mx=e”的阶数是 4+0.02q+ 16g-002q2-300 (2-x)dx 1.0:2.x2-1;3 2.单选题 1.下列不等式成立的是() 2 sin xdx>2 cos xdx 2 sin xdx>2 sin xdx (A)J0 214
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——214—— 1．0； 2．x 2－1； 3． q q 300 4 + 0.02 + ，16 0.02 300 2 q − q − 4． − − 2 1 (2 x)dx ； 5．3 二、典型例题 1.填空题 1． = + − 1 1 2 d 1 x x x ． 2．已知曲线 y = f (x) 在点 x 处切线的斜率为 2x ，且曲线过 (1, 0) 点，则该曲 线方程为 ． 3．已知某产品产量为 q 件时的边际成本 C(q) = 4 + 0.04q ，固定成本为 300 元，那 么平均成本函数 C(q) = ，若销售单价为 20 元，则利润函数 L(q) = ． 4．由直线 y = x − 2, x = −1, y = 0 围成的平面图形面积，用定积分表示为 ． 5．微分方程 x y y y x + + ( ) sin = e (3) 4 的阶数是 ． 1．0；2．x2－1；3． q q 300 4 + 0.02 + ，16 0.02 300 2 q − q − ；4． − − 2 1 (2 x)dx ；5．3 2.单选题 1．下列不等式成立的是（ ）． (A) 2 0 2 0 sin d cos d x x x x ；(B) 2 0 2 0 2 sin d sin d x x x x
经济数学基础 第7章定积分的应用 sin xdx>2 sin xdx sin xdx> sin xdx 2.下列定积分中积分值为0的是() (A)-l2dx d (x'+x')dx (B) (D) 3.在切线斜率为2x的积分曲线中,通过点(,4)的曲线是() (A)y=x2+4;(B)y=x2+3;:(0)y=2x+2;(D)y=4x 4.设C0,9,C(q)分别表示固定成本、产量、边际成本,又a>0,则总成本函 数表示为() C=Cde C Cdg+c (A) C=「cdq+co:(D) C='Cdg-c .设R′=100-4q,若销售量由10单位减少到5单位,则收入R的改变量是 (A)-550;(B)-350;(C)350;(D)550 6.下列微分方程中,()是线性微分方程. (A)y'snx-ye=ynx: (B)Jy+xy=e x 1.C;2.B;3.B;4.C:5.B:6.A 3.多选题 根据定积分的几何意义,判定下列定积分的值为正的有() sin xdx x cOS xd d d ed 2.下列等式中成立的有() 215
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——215—— (C) 2 0 0 sin d sin d x x x x ；(D) 0 2 0 sin xdx sin xdx 2．下列定积分中积分值为 0 的是（ ）． (A) − − 1 + 1 d 2 e e x x x ；(B) − − 1 − 1 d 2 e e x x x ；(C) − 2 2 sin cos e d 2 x x x ；(D) − + (x x )dx 2 3 3．在切线斜率为 2x 的积分曲线中，通过点 (1, 4) 的曲线是（ ）． (A)y＝x 2＋4；(B)y＝x 2＋3；(C)y＝2x＋2；(D) y＝4x 4．设 , , ( ) c0 q C q 分别表示固定成本、产量、边际成本，又 a 0 ，则总成本函 数表示为（ ）． (A) = q C C q 0 d ；(B) d 0 C C q c q a = + ；(C) 0 0 C C dq c q = + ；(D) 0 0 C C dq c q = − 5．设 R = 100 − 4q ，若销售量由 10 单位减少到 5 单位，则收入 R 的改变量是 （ ）. (A)–550；(B)–350；(C)350；(D)550 6．下列微分方程中，（ ）是线性微分方程． (A) y x y y x x sin − e = ln ；(B) x y y xy e 2 + = (C) y y + xy = e ；(D) yx − ln y = y 2 1．C；2．B；3．B；4．C；5．B；6．A 3.多选题 1．根据定积分的几何意义，判定下列定积分的值为正的有（ ）． (A) 2 0 sin d x x ；(B) − 0 2 cos xdx ；(C) − − 2 3 3 x dx ；(D) − − 2 3 2 x dx ；(E) − 3 2 3 x dx 2．下列等式中成立的有（ ）．
经济数学基础 第7章定积分的应用 (A)J(e sin x+x?)dx=2 xdx 2h(1+x2)dx=0 x'sin(x +o) dx=0 :(D)Je'cosxdx e cos xdx xsinxdx=2 xsinxdx 1. ABDE: 2. ACE 4.是非题 因为定积分(x)d 表示平面图形的面积,所以 ∫(x)dx>0 2.由定积分的几何意义知-a 3.若曲边梯形由y=f(x),y=8(x)和x=a,x=b(b>a)围成,则该曲边梯形 s=[ U(x-g(x)Jd 的面积为 4.y=e是微分方程y”+y-6y=0的解 1×;2.√;3.×;4.√ 5.计算题 曲线y=f(x)在任一点x处的切线斜率为2√x,且过(,2)点,试求该曲线 方程 2.求过(0,1点,且在x处的切线斜率为2e的曲线方程 3.求下列各题中平面图形的面积 (1)由y=√x,y=x所围成的图形 216
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——216—— (A) + = − 0 2 2 (e sin )d 2 d 2 x x x x x x ；(B) ln(1 )d 0 4 4 2 2 + = − x x x ； (C) d 0 1 ) 2 sin( 4 4 4 2 3 = + + + − x x x x x ；(D) = − 4 0 4 4 e cos xdx 2 e cos xdx x x ； (E) = − 1 0 1 1 xsinxdx 2 xsinxdx 1．ABDE；2．ACE 4.是非题 1．因为定积分 b a f (x)dx 表示平面图形的面积，所以 ( )d 0 b a f x x ． 2．由定积分的几何意义知 2 2 2 2 a x dx a a a − = − ． 3．若曲边梯形由 y = f (x), y = g(x) 和 x = a, x = b (b a) 围成，则该曲边梯形 的面积为 = − b a S [ f (x) g(x)]dx 4． x y 2 = e 是微分方程 y + y − 6y = 0 的解． 1.×；2.√；3.×；4.√； 5.计算题 1．曲线 y = f (x) 在任一点 x 处的切线斜率为 2 x 1 ，且过 (1, 2) 点，试求该曲线 方程． 2．求过 (0, 1) 点，且在 x 处的切线斜率为 x 2e 的曲线方程． 3．求下列各题中平面图形的面积： （1）由 y = x , y = x 所围成的图形；
经济数学基础 第7章定积分的应用 (2)由y=x,y=1和x=0所围成的图形; (3)由y=csx在区间0,x上与x轴所围成的图形 (4)由y=x2,x+y=2所围成的图形 4.求微分方程 满足0)=0的特解 5.求微分方程y+5y=3x的通解 1.所求曲线方程为y=x+ 2.所求曲线方程为y=2e2 S 9 S 3.(1) (2)4;;(3)S=2;(4) 5 ,其中C为任意常数 6.应用题 q 已知生产某种产品q件时总收入的变化率是 R(q)=10020(元/件), 试求生产此种产品1000件时的总收入和平均收入,以及从1000件到2000件所增 加的收入 217
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——217—— （2）由 , 1 3 y = x y = 和 x = 0 所围成的图形； （3）由 y = cos x 在区间 [0, ] 上与 x 轴所围成的图形； （4）由 , 2 2 y = x x + y = 所围成的图形． 4．求微分方程 2 3 e y x y x = 满足 y(0) = 0 的特解． 5．求微分方程 y + 5y = 3x 的通解． 1．所求曲线方程为 y = x +1 ； 2．所求曲线方程为 = 2e −1 x y ； 3.（1） 6 1 S = ；；（2） 4 3 S = ；；（3） S = 2 ；；（4） 2 9 S = . 4． e e 1 3 = − + x x y x ； 5． x y x c 5 e 25 3 5 3 − = − + ，其中 c 为任意常数． 6.应用题 1．已知生产某种产品 q 件时总收入的变化率是 20 ( ) 100 q R q = − （元／件）， 试求生产此种产品 1000 件时的总收入和平均收入，以及从 1000 件到 2000 件所增 加的收入．
经济数学基础 第7章定积分的应用 2.设某产品的总成本C(单位:万元)的变化率是产量q(单位:百台)的函 dc(q) 数 ,且总收入R(单位:万元)的变化率也是产量q的函数 dR(q)=12-q 求 (1)产量从1百台增加到3百台时,总成本与总收入各增加多少? (2)产量为多少时,总利润L(q)最大? (3)已知固定成本C(O)=5(万元)时,总成本、总利润与产量q的函数关系 (4)若在最大利润产量的基础上再增加生产2万台,总利润将会发生什么样 的变化? 3.某种产品在日产量q件时的边际成本为04q+1(元/件),且固定成本为 375元,每件售价21元.假若产品可以全部售出,试问此种产品的日产量为多少 时,可获得最大利润?最大利润值是多少? 1.R(007300060,△R=2300(元),R(q)=75(元/件) 2.(1)14,20;:(2)4百台;(3))=6+92 3 +5L(q)=6q-q2-5 (4)若在最大利润产量的基础上再增加生产2万台,总利润将减少3万元 3.此种产品的日产量为50时,可获得最大利润;最大利润值是125. 218
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——218—— 2．设某产品的总成本 C（单位：万元）的变化率是产量 q （单位：百台）的函 数 2 6 d d ( ) q q C q = + ，且总收入 R（单位：万元）的变化率也是产量 q 的函数 q q R q = 12 − d d ( ) ，求： （1）产量从 1 百台增加到 3 百台时，总成本与总收入各增加多少？ （2）产量为多少时，总利润 L(q) 最大？ （3）已知固定成本 C(0) = 5 （万元）时，总成本、总利润与产量 q 的函数关系． （4）若在最大利润产量的基础上再增加生产 2 万台，总利润将会发生什么样 的变化？ 3．某种产品在日产量 q 件时的边际成本为 0.4q +1 （元／件），且固定成本为 375 元，每件售价 21 元．假若产品可以全部售出，试问此种产品的日产量为多少 时，可获得最大利润？最大利润值是多少？ 1． R(1000) = 75000 （元）， R = 25000 （元）， R(q) = 75 （元／件）． 2.（1）14，20；（2）4 百台；（3） 5 4 ( ) 6 2 = + + q C q q ， 5 4 3 ( ) 6 2 L q = q − q − ； （4）若在最大利润产量的基础上再增加生产 2 万台，总利润将减少 3 万元． 3.此种产品的日产量为 50 时，可获得最大利润；最大利润值是 125