经济数学基础 第5章不定积分 第5章不定积分典型例题与综合练习 典型例题 (1-√x-=+x)d 例1求不定积分 J(-√x=+x)dx=j 1+x-x√x)dx 解 x一X 例2求不定积分 dx 解 「x√2-3x2dx=2 3x2dx2_I 2-3x2d(3x2) 6 2-3x2d(-3x2) 3x2d(2-3x2) 6 l=-u2+c还原-(2-3x2)2+ d(2-3x2) 亦可2-3x当作一个整体继续凑微分得 xy2=3x4x=-62=3x (2-3x2)2d(2-3x2) d(2-3x2) 2-3x) 例3求不定积分x+3hm 解:x(1+3hx) (1+3hx) 163
经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——163—— 第 5 章 不定积分典型例题与综合练习 一、典型例题 例 1 求不定积分 − + x x x x )d 1 (1 )( ． 解： − + = − + x − x x x x x x x x 1 )d 1 )d ( 1 (1 )( = − + − − (x 1 x x )dx 2 3 2 1 = x − x + x − x + c 2 5 2 2 1 5 3 2 1 2 例 2 求不定积分 x 2 − 3x dx 2 ． 解： − = − = 2 − 3 d(3 ) 6 1 2 3 d 2 1 2 3 d 2 2 2 2 2 x x x x x x x = − − − = − 2 − 3 d(2 − 3 ) 6 1 2 3 d( 3 ) 6 1 2 2 2 2 x x x x − x = u − udu 6 1 2 3 2 = − u + c 2 3 9 1 − − x + c 2 3 2 (2 3 ) 9 1 还原 亦可 2 2 − 3x 当作一个整体继续凑微分得 − = − 2 − 3 d(2 − 3 ) 6 1 2 3 d 2 2 2 x x x x x = − (2 − 3 ) d(2 − 3 ) 6 1 2 2 1 2 x x = − − 2 3 2 d(2 3 ) 9 1 x = − − x + c 2 3 2 (2 3 ) 9 1 例 3 求不定积分 + x x x d (1 3ln ) 1 ． 解： d(ln ) (1 3ln ) 1 d (1 3ln ) 1 + = + x x x x x
经济数学基础 第5章不定积分 d(1+3hx) (1+3ln (1+3hx) 1+3h 3h+c还原m+3hx+c 亦可1+3hx当作一个整体继续凑微分得 1+3hx)3(1+3hx) d(+3hnx)=din/1+3hnxl In 1+3h x+ 例4求不定积分/ ar In xd xIn xdx=hn xd n d x 解:利用分部积分法 d 例5求不定积分 Jea"sin xda 解:利用分部积分法 sin xdx=ed(-cos x)=-ecosx de ce2" x+2ea"cos dx=-e2cos x+2 d(Sinx) e"cosx+2(e2"sin x-] sin xde" ]==e"cos x +2(e"sin x-2 e?"sin xdx] 由此得到一个含有 的等式 oS x+2e 4 eosin xdx sin xdx=-e2x(2 sin x-cosx)+c 将其解出得
经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——164—— d(1 3ln ) (1 3ln ) 1 3 1 d(3ln ) (1 3ln ) 1 3 1 + + = + = x x x x + = u u x u d 1 3 1 1 3ln = ln u + c 3 1 ln 1+ 3ln x + c 3 1 还原 亦可 1+3ln x 当作一个整体继续凑微分得 d(1 3ln ) (1 3ln ) 1 3 1 d (1 3ln ) 1 + + = + x x x x x = dln 1+ 3ln x 3 1 = ln 1+ 3ln x + c 例 4 求不定积分 x ln xdx ． 解：利用分部积分法 x x x x x x x x x d ln 2 ln 2 2 ln d ln d 2 2 2 = = − x x x x x x x x x = − = − d 2 1 ln 2 d 1 2 ln 2 2 2 2 c x x x = − + 4 ln 2 2 2 例 5 求不定积分 x x x e sin d 2 ． 解：利用分部积分法 x x x x x x x x x 2 2 2 2 e sin d e d( cos ) e cos ( cos )de = − = − − − x x x x x = −e cos + 2 e cos d 2 2 e cos 2 e d(sin ) 2 2 x x x x = − + e cos 2[e sin sin de ] 2 2 2 = − + − x x x x x x e cos 2[e sin 2 e sin d ] 2 2 2 = − x + x − x x x x x = − x + x − x x x x x e cos 2e sin 4 e sin d 2 2 2 由此得到一个含有 x x x e sin d 2 的等式 x x = − x + x − x x x x x x e sin d e cos 2e sin 4 e sin d 2 2 2 2 将其解出得 x x x x c x x = − + e (2sin cos ) 5 1 e sin d 2 2
经济数学基础 第5章不定积分 二、综合练习 填空题 1.函数f(x)=3的一个原函数是 f(x) 2.设 则f(0) ∫/(xx +c 设 f(x)= 345 Inrar= 1.h3:2.1:3.(1+x);4.smx+c:5.edx 二单选题 1.下列函数中,()是xsmx的原函数 (A)2 (B) 2cosx:(C)-2cosx:(D)2 Cosr2 2.若F(x)是函数f(x)的一个原函数,则()成立,其中c是任意常数 (a)dF(x)+c=f(x);(B)F(+c)=f(x) (C)(F(x)+c)=f(x);①)F(x)=f(x)+c 3.若F(x)=f(x),则()成立 (A) JF(x)dx=f(x)+C:(B)J/(xdx=F(x)+c 165
经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——165—— 二、综合练习 一.填空题 1．函数 x f (x) = 3 的一个原函数是 ． 2．设 x x f x d 1 1 ( ) − = ，则 f (0) = ． 3．设 c x f x x + + = 2 1 1 ( )d ，则 f (x) = ． 4． = (sin x) dx ． 5． = − x x d e d 2 ． 1． x 3 ln 3 1 ；2．1；3． 2 2 (1 ) 2 x x + − ；4．sin x + c ；5． x x e d 2 − 二.单选题 1．下列函数中，（ ）是 2 x sin x 的原函数． (A) 2 cos 2 1 x ；(B) 2 2cos x ；(C) 2 − 2cos x ；(D) 2 cos 2 1 − x 2．若 F(x)是函数 f (x) 的一个原函数，则（ ）成立，其中 c 是任意常数． (A) dF(x) + c = f (x) ；(B) F(x + c) = f (x) (C) (F(x) + c) = f (x) ；(D) F(x) = f (x) + c 3．若 F(x) = f (x) ，则（ ）成立． (A) F x x = f x + c ( )d ( ) ；(B) f x x = F x + c ( )d ( )
经济数学基础 第5章不定积分 F(xdx=f(x) f(dx= F(x)+c 若F(x)=G(x),则一定有() F(xd (x F(x)=G(x) (c)F(x)-G(x) F(x)+G(x)=c 5.下列等式成立的是() In 若 f(xdx= F(x)+c 则 f(e x F( F(e-) F(e)+c 若 f(x)e 则f(x) 8.下列分部积分中,,d选择正确的是() (A) 令 dv= sin 2xdx 1. dv=n xdx u=e 2.C;3.B;4.C;5.D;6.A;7.B;8.A 三多选题 6
经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——166—— (C) F x x = f x + c ( )d ( ) ；(D) f x x = F x + c ( )d ( ) 4．若 F(x) = G(x) ，则一定有（ ）． (A) F(x) = G(x) ；(B) G x x x F x x x ( )d d d ( )d d d = (C) F(x) − G(x) = c ；(D) F(x) + G(x) = c 5．下列等式成立的是（ ）． (A) x x x d d 1 = ；(B) ) 1 d d( 1 2 x x x = − (C) sin xdx = d cos x ；(D) d ( 0, 1) ln 1 d = a a a a a x x x 6．若 f x x = F x + c ( )d ( ) ，则 = − − f x x x e (e )d （ ）． (A) F c x − + − (e ) ；(B) F c x + − (e ) ；(C) c x F x + − (e ) ；(D) F c x (e ) + 7．若 f x x c x x = − + 1 1 ( )e d e ，则 f (x) = （ ）． (A) x 1 ；(B) 2 1 x ；(C) x 1 − ；(D) 2 1 x − 8．下列分部积分中， u , dv 选择正确的是（ ）． (A) x sin 2xdx ，令 u = x, dv = sin 2xdx ；(B) ln xdx ，令 u = 1, dv = ln xdx (C) x x x e d 2 − ，令 u v x x x e , d d 2 = = − ；(D) x x x e d ，令 u v x x x = e , d = d 1．D；2．C；3．B；4．C；5．D；6．A；7．B；8．A 三.多选题
经济数学基础 第5章不定积分 1.以下积分正确的有() e+c 2 odx=-cotx+c dx=(1+2x)+c 2.以下等式成立的有() f'(x) (B)1+f( /1+f(x)+c x f(x) 1+f(x)2 3.下列积分中,可用公式)(xx=h(x)+c 计算出结果的有() C)1+sir 4.下列积分中,可用公式Je"n'(xdx=e)+c 计算出结果的有( -dx BCD: 2. BD: 3. BCD: 4. ACD 四配伍题 1.设F(x)是f(x)的一个原函数,c为任意常数 f(x ①f(x);(B (F(xd F(x)+ (f(xxXx)' (A)②\(B)③\(C)①
经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——167—— 1．以下积分正确的有（ ）． (A) x x = − x + c − − 2 1 d 2 ；(B) x c x x = + 2 2 e 2 1 e d (C) x x c x = − + d cot sin 1 2 ；(D) x x c x x = + + + ln(1 2 ) 2 1 d 1 2 2 2 2 2．以下等式成立的有（ ）． (A) c x x x x = + 3 1 d ln ；(B) x f x c f x f x = + + + d ln 1 ( ) 1 ( ) ( ) (C) x f x c f x f x = + + + ln 1 ( ) 2 1 d 1 ( ) ( ) 2 ；(D) x x c x = − − + − d ln 1 1 1 3．下列积分中，可用公式 u x x u x c u x = + ( )d ln ( ) ( ) 1 计算出结果的有（ ）. (A) x x x d 1 2 + ；(B) x x x d 1 3e e 4 4 + ；(C) x x x x d 1 sin sin cos 3 2 + ；(D) x x x d 1 e e − − + 4．下列积分中，可用公式 u x x c u x u x = + ( ) ( ) e ( )d e 计算出结果的有（ ）． (A) x x x e sin d cos ；(B) x x x d e 4 e 2 + (C) x x x e d 1 ；(D) x x x e d e + 1．BCD；2．BD；3．BCD；4．ACD 四.配伍题 1.设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，c 为任意常数． (A) = f (x)dx ；① f (x) ；(B) = ( F(x)dx) ；② F(x) + c (C) = ( f (x)dx) ；③ F(x) .（A）② \（B）③ \（C）①；
经济数学基础 第5章不定积分 五是非题 2dx=l(1+x2)+c 2因为(mnx)=cosx,所以小 sin xdx=cosx+c 2dx (2x) 3.因为 In 2 In 2 4若Jf(xdx=F(x)+C,a≠0,则 f(ax+b +b)+ 六计算题 1.求下列不定积分 ∫-2x)dx (5) x√x+ldx )x;(0)Jx8:(1)∫x+),(2) Jeux sin xdx 2 2 x2-6x2+c +c (1) (2)3 :(3)2(3-2x):(4)2(x2-2) 2 2 cos-x+c +c (5) (6)l(e2+1)+C(/(nx)3+c (8)SV(x+ 2xsin -+4 c0s-+c (9) (10) (x2+2x+2) 8
经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——168—— 五.是非题 1. x x c x x = + + + d ln(1 ) 1 2 2 ；2.因为 (sin x) = cos x ，所以 x x = x + c sin d cos ； 3.因为 x c x x = + ln 2 2 2 d ，所以 ln 2 2 (2 ) x x = ； 4.若 f x x = F x + c ( )d ( ) ， a 0 ，则 F ax b c a f ax + b x = + + ( ) 1 ( )d ． 1.×； 2.× ； 3.×； 4.√； 六.计算题 1.求下列不定积分： （1） (1− 2x )dx 2 ；（2） − x x x x d ( 3) ；（3） − x x d (2 3) 1 2 ；（4） − x x x d 2 3 3 2 ； （5） xdx 3 2 sin ；（6） + x x x d e 1 e ；（7） x x x d (ln ) 2 （8） x x +1dx ； （9） x x x d 2 cos ；（10） − x x x e d 2 ；（11） ln( x +1)dx ；（12） x x x e sin d 2 （1） x − x + c 3 3 2 ；（2） x − x + c 2 1 2 3 6 3 2 ；（3） c x + 2(3 − 2 ) 1 ；（4） c x + − 3 3 2 2 ( 2) 1 ； （5） − x + c 3 2 cos 2 3 ；（6） c x ln( e +1) + （7） x + c 3 (ln ) 3 1 ；（8） x + − x + + c 5 3 ( 1) 3 2 ( 1) 5 2 ； （9） c x x x + + 2 4cos 2 2 sin ；（10） x x c x − + + + − e ( 2 2) 2 ；
经济数学基础 第5章不定积分 (11)xh(x+1)-x+l(x+1)+c:(12) e(2sn x-cos x)+c 169
经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——169—— （11） x ln( x +1) − x + ln( x +1) + c ；（12） x x c x e (2sin − cos ) + 5 1 2 ；