《经济数学基础》课程教学资源：第一章（1-3）经济分析中常见函数

经济数学基础 第一章函数 第三单元经济分析中常见函数 第一节痹求与供给函数 、学习目标 通过本节课的学习,了解经济分析中的需求函数与供给函数 、内容讲解 这一节课的内容是要把学习数学和将来搞经济工作联系起来,我们把经济分析 中最最常见的5种函数介绍给大家(这节课只介绍前两个).同时我们希望通过这 节的学习能够使大家感受到数学工具在经济分析中的应用 定义1.9——需求函数和供给函数. 大家可以想象到一个商品在市场上的需求肯定是与它的价格有关系,价格贵, 需求量就少,价格便宜,买的人就多.需求和价格之间是有关系的,它们是不是函 数关系呢?我们可以把它简化为一种函数关系.我们先不考虑其它因素,简单地认 为价格定了需求量就随之确定,这样需求量就是价格的函数 供给,就是厂方能够为市场提供多少产品,当然它也是和价格有关系的,产品 价格高,厂方就增加生产,反之供给量就减少.我们也可以把它简化为一种函数关 系.需求量与价格之间的函数就称为需求函数,供给量与价格之间的函数就称为供 给函数 现在我们讨论一种最简单的情况,认为需求函数和供给函数都是线性函数( 次函数),在这种关系下通过讨论看可以得到什么性质 q=qp+b(a>0,b<0) qa表示需求量,P表示价格,a,b表示常数 19—

经济数学基础 第一章 函数 ——19—— 第三单元 经济分析中常见函数 第一节 需求与供给函数 一、学习目标 通过本节课的学习，了解经济分析中的需求函数与供给函数． 二、内容讲解 这一节课的内容是要把学习数学和将来搞经济工作联系起来，我们把经济分析 中最最常见的 5 种函数介绍给大家（这节课只介绍前两个）．同时我们希望通过这 一节的学习能够使大家感受到数学工具在经济分析中的应用． 定义 1.9——需求函数和供给函数． 大家可以想象到一个商品在市场上的需求肯定是与它的价格有关系，价格贵， 需求量就少，价格便宜，买的人就多．需求和价格之间是有关系的，它们是不是函 数关系呢？我们可以把它简化为一种函数关系．我们先不考虑其它因素，简单地认 为价格定了需求量就随之确定，这样需求量就是价格的函数． 供给，就是厂方能够为市场提供多少产品，当然它也是和价格有关系的，产品 价格高，厂方就增加生产，反之供给量就减少．我们也可以把它简化为一种函数关 系．需求量与价格之间的函数就称为需求函数，供给量与价格之间的函数就称为供 给函数． 现在我们讨论一种最简单的情况，认为需求函数和供给函数都是线性函数（一 次函数），在这种关系下通过讨论看可以得到什么性质． q  ap  b (a  0, b  0) d d q 表示需求量， p 表示价格，a , b 表示常数．

经济数学基础 第一章函数 q,=a1p+b1(a10) q,表示供给量,P表示价格,a1,b表示常数 我们容易理解需求量应随价格的增加而减少,所以a0.而供给 量应随着价格的增加而增加,所以4>0,b0? 20

经济数学基础 第一章 函数 ——20—— ( 0, 0) qs  a1 p  b1 a1  b1  s q 表示供给量， p 表示价格， 1 1 a , b 表示常数． 我们容易理解需求量应随价格的增加而减少，所以a  0，当然b  0．而供给 量应随着价格的增加而增加，所以a1  0 ，b1  0 ，因为当价格为零时，不会有供 给量． 从图形上看，需求函数是一条单调下降的直线，供给函数是一条单调上升的直 线． 我们把这两条曲线放在同一个坐标系中，就会发现有这样的关系，两条直线交 于一点，这一点的含义是，在价格为 0 p 时，产品的需求量与供给量是相同的，即 供需达到了平衡．这一点称为供需平衡点．价格超过 0 p 时，供过于求；价格低于 0 p 时，供不应求．在经济分析中，供需平衡点所对应的价格，称为市场均衡价格；它 所对应的需求量或供给量称为市场均衡数量． 思考问题：在需求函数的表达式中，为什么要有 b>0？ q O p q O p q O p

经济数学基础 第一章函数 答案因为表达式中的a取负值,而在合理的价格范围内,需求量应为正值,所以有b>0 三、例题讲解 某种商品的供给函数和需求函数分别为 5p-10,qa=200-5P,求该商 品的市场均衡价格和市场均衡数量. 解:由市场均衡条件q=9,得到25P-10=200-5p 解出Po=7,q0=165 四、课堂练习 1.已知某产品的供给函数为q=3p-5,需求函数为q=15-2p,求该产品的 市场均衡价格和市场均衡数量 由市场均衡条件q=q,可得15-2p=3p-5 整理得:5p-20=0.得0≈4 q0=7 五、课后作业 20 P 1.市场中某种商品的需求函数和供给函数分别为qa 试求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量. 5.20

经济数学基础 第一章 函数 ——21—— 答案因为表达式中的 a 取负值，而在合理的价格范围内，需求量应为正值，所以有 b>0． 三、例题讲解 某种商品的供给函数和需求函数分别为q  25 p 10 s ，q p d  200  5 ，求该商 品的市场均衡价格和市场均衡数量． 解：由市场均衡条件 d s q  q 得到25 p 10  200  5 p 解出 7 p0  ， 165 q0  四、课堂练习 1.已知某产品的供给函数为 qs＝3p－5，需求函数为 qd＝15－2p，求该产品的 市场均衡价格和市场均衡数量． 由市场均衡条件 qd＝qs可得 15－2p＝3p－5 整理得：5 p  20  0 ．得 4 0 p  ， 7 0 q  五、课后作业 1.市场中某种商品的需求函数和供给函数分别为q p d  25  ， 3 40 3 20 qs  p  试求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量. 5, 20

经济数学基础 第一章函数 第二节成夲、收入和利润函数 学习目标 通过本节课的学习,了解经济分析中的成本函数、收入函数和利润函数.知道 它们之间的关系. 二、内容讲解 我们再介绍经济分析中常见的三种函数:第一种叫做成本函数,第二种叫做收 入函数,第三种叫做利润函数. 定义1.10——成本函数 种产品的成本可以分为两部分: 固定成本Co,比如,生产过程中的设备投资,或使用的工具,不管生产产品 与否,这些费用都是要有的,它是不随产量而变化的,这种成本称为固定成本 变动成本C1,比如每一件产品的原材料,这些费用依赖于产品的数量,这种 成本称为变动成本 总成本就是固定成本加上变动成本:C=C+C1 成本应与产品的产量有关,这种函数表示为:C(q)=co+C1(q) 这就是成本函数.其中总成本C(q)是产量q的函数,co与产量无关,变动成本 C1(q也是产量q的函数 C(q 我们在引入平均成本的概念 总成本除以产量q,就是产量为q时的平均成本,用C来表 定义1.11—收入函数 种产品销售之后就会有销售收入,销售收入应该是价格乘以产量.但价格与 产量之间也有一定的关系,这样就得到R=qp(q) -22

经济数学基础 第一章 函数 ——22—— 第二节 成本、收入和利润函数 一、学习目标 通过本节课的学习，了解经济分析中的成本函数、收入函数和利润函数．知道 它们之间的关系． 二、内容讲解 我们再介绍经济分析中常见的三种函数：第一种叫做成本函数，第二种叫做收 入函数，第三种叫做利润函数． 定义 1.10——成本函数． 一种产品的成本可以分为两部分： 固定成本 C0，比如，生产过程中的设备投资，或使用的工具，不管生产产品 与否，这些费用都是要有的，它是不随产量而变化的，这种成本称为固定成本． 变动成本 C１，比如每一件产品的原材料，这些费用依赖于产品的数量，这种 成本称为变动成本． 总成本就是固定成本加上变动成本：C=C0+C１ 成本应与产品的产量有关，这种函数表示为：C(q)=c0+C１(q) 这就是成本函数．其中总成本 C(q)是产量 q 的函数，c0与产量无关，变动成本 C１(q)也是产量 q 的函数． 我们在引入平均成本的概念： q C q C ( )  总成本除以产量 q，就是产量为 q 时的平均成本，用C 来表示． 定义 1.11——收入函数 一种产品销售之后就会有销售收入，销售收入应该是价格乘以产量．但价格与 产量之间也有一定的关系，这样就得到 R= q p(q)

经济数学基础 第一章函数 其中p(q)是价格与产量之间的函数关系.相应地有平均收入函数 R=R(q q 现在我们来研究一种最简单的情况,把收入看作产量的线性函数(价格不随产 量而变化),也就是R=pq,它的图形就是下面这样 R 图形说明销售数量越多收入越多,这是一条单调增加的直线, 定义1.12——利润函数 利润函数大家也容易理解,因为在收入中减去成本得到的就是利润.既然成本 是产量q的函数,收入也是q的函数,那么利润也是q的函数.即L(q)=R(q)C(q) =(q) 相应地有平均利润函数的概念 q (1)L(q>0盈利,(2)L(q)<0亏损,(3)L(q)=0盈亏平衡 满足L(q)=0的q称为盈亏平衡点(又称保本点) 在假设成本函数和收入函数都是线性函数的情况下来做一些分析: R=pq它们的图形是 R -23

经济数学基础 第一章 函数 ——23—— 其中 p(q)是价格与产量之间的函数关系．相应地有平均收入函数 q R q R ( )  现在我们来研究一种最简单的情况，把收入看作产量的线性函数（价格不随产 量而变化），也就是 R=pq ，它的图形就是下面这样 图形说明销售数量越多收入越多，这是一条单调增加的直线． 定义 1.12——利润函数 利润函数大家也容易理解，因为在收入中减去成本得到的就是利润．既然成本 是产量 q 的函数，收入也是 q 的函数，那么利润也是 q 的函数．即 L(q)=R(q)−C(q) 相应地有平均利润函数的概念： q L q L ( )  （1）L(q)>0 盈利，（2）L(q)<0 亏损，（3）L(q)=0 盈亏平衡 满足 L(q)=0 的 q0称为盈亏平衡点（又称保本点）． 在假设成本函数和收入函数都是线性函数的情况下来做一些分析： C=c0+c１q R=pq 它们的图形是 O q O q

经济数学基础 第一章函数 两条直线的交点表示收入与成本相等,φ就是盈亏平衡点 如果两条直线出现了下面这种情况 co t 此时两条直线没有交点,也就是没有盈亏平衡点.为了找到盈亏平衡点,我们 可以采取两种手段,一种是提高价格;另一种是降低变动成本c,这两种手段都可 以重新找到盈亏平衡点 =c0+c1 C=c+C R q 从几何上看,增加直线R的斜率或减小直线C的斜率都可以使两条直线重新相 从以上分析可以看出数学工具在经济分析中的作用 三、例题讲解 例1生产某商品的总成本是C(q)=500+2,求生产50件商品时的总成本和 平均成本 C(q)=C(q)=5002=50+2 解:成本Cq)=500+2,平均成本 C(50)=500+2×50=600C(50)÷500 24

经济数学基础 第一章 函数 ——24—— 两条直线的交点表示收入与成本相等，q0就是盈亏平衡点． 如果两条直线出现了下面这种情况 此时两条直线没有交点，也就是没有盈亏平衡点．为了找到盈亏平衡点，我们 可以采取两种手段，一种是提高价格；另一种是降低变动成本 c1．这两种手段都可 以重新找到盈亏平衡点. 从几何上看，增加直线 R 的斜率或减小直线 C 的斜率都可以使两条直线重新相 交．从以上分析可以看出数学工具在经济分析中的作用． 三、例题讲解 例 1 生产某商品的总成本是C(q)  500  2q，求生产 50 件商品时的总成本和 平均成本． 解：成本C(q)  500  2q，平均成本 2 ( ) 500 2 500 ( )      q q q q C q C q C(50)  500  2 50  600， 2 12 50 500 C (50)    O q O q O q

经济数学基础 第一章函数 例2某商品的成本函数与收入函数分别为C=21+5q,R=8q,求该商品的 盈亏平衡点 解:Cq)=21+5q,R(q)=8,C(q)=R(q) 即q 四、课堂练习 练习1已知生产某种产品的总成本为C(q)=50+2q+0.q2,该产品的需求函 数为q=40-2p,试求产量q为10时的总利润和平均利润 由需求卷9=40-2p解出p=20-,再由公式R()=9(9) R(q)=2)-9)=20g-9 练习2某企业生产一种产品的固定成本c为20万元,变动成本为C1=2q (万元),其中q为该产品的产量(单位:百件),该产品每件的售价为300元,试 求该产品的盈亏平衡点,并说明盈亏情况. 由于产量q的单位是百件,每件的售价为300元,因此R(q)=3q,成本C(q) 为固定成本和变动成本之和,故C(q)=20+2q,由此得到 L(q)=R(q)-C(q)=3q-(20+2q)=q-20 五、课后作业 1.设某商品的成本函数是线性函数,并已知产量为零时,成本为100元, 量为100时成本为400元,试求:(1)成本函数和固定成本;(2)产量为200 时的总成本和平均成本 2.设某商品的需求函数为q=1000-5p,试求该商品的收入函数R(q),并求 销量为200件时的总收入 25

经济数学基础 第一章 函数 ——25—— 例 2 某商品的成本函数与收入函数分别为C  21 5q，R  8q ，求该商品的 盈亏平衡点． 解：C(q)  21 5q ， R(q)  8q ，C(q)  R(q) 21 5q  8q ，即q  7 四、课堂练习 练习 1 已知生产某种产品的总成本为 C(q)＝50＋2q＋0.1q 2，该产品的需求函 数为 q＝40－2p，试求产量 q 为 10 时的总利润和平均利润． 由需求函数 ( ) ( ) 2 40 2 20 R q qp q q q   p解出p   ，再由公式  得 2 ) 20 2 ( ) (20 2 q q q R q  q    练习 2 某企业生产一种产品的固定成本 c0为 20 万元，变动成本为 C1＝2q （万元），其中 q 为该产品的产量（单位：百件），该产品每件的售价为 300 元．试 求该产品的盈亏平衡点，并说明盈亏情况． 由于产量 q 的单位是百件，每件的售价为 300 元，因此 R(q)＝3q，成本 C(q) 为固定成本和变动成本之和，故 C(q)＝20＋2q，由此得到 L(q)＝R(q)－C(q)＝3q－(20＋2q)＝q－20 五、课后作业 1．设某商品的成本函数是线性函数，并已知产量为零时，成本为 100 元，产 量为 100 时成本为 400 元，试求：（1）成本函数和固定成本；（2）产量为 200 时的总成本和平均成本． 2．设某商品的需求函数为q  1000  5 p ，试求该商品的收入函数 R(q) ，并求 销量为 200 件时的总收入．

经济数学基础 第一章函数 设某商品的成本函数和收入函数分别为C=21+5q,R=8q,试求: (1)该商品的利润函数;(2)销量为4时的总利润及平均利润;(3)销量 为10时是盈利还是亏损? 7 1.(1)Cq)=3g+100.C(0)=100,(2) C(200)=700,C(200)=2 R(q)=200-9,R20)=3200 3.(1)L(q)=3g-21 9 (2)L(4)=-9 L(4)=-4 (3)1(10)=9,销量为10时盈利 26

经济数学基础 第一章 函数 ——26—— 3．设某商品的成本函数和收入函数分别为C  21 5q， R  8q ，试求： （1）该商品的利润函数；（2）销量为 4 时的总利润及平均利润；（3）销量 为 10 时是盈利还是亏损？ 1．（1）C(q)  3q 100, C(0)  100 ，（2） 2 7 C(200)  700, C (200)  2． , (200) 32000 5 ( ) 200 2   R  q R q q 3．（1） L(q)  3q  21， （2） L(4)  9 ， 4 9 L(4)   （3） L(10)  9 ，销量为 10 时盈利