经济数学基础 第2章导数与微 分 第二单元两个重要极限与函数连续性 第一节两个量要极限 学习目标 通过本课程的学习,我们要学会两个重要极限公式,要会用重要极限公式计 些函数的极限 二、内容讲解 lim snr 第一个重要极限公式 x→0 sin x 几何说明:如图,设x为单位圆的圆心角,则x对应的小三角形的面积为2, tan x x对应的扇形的面积为2,x对应的大三角形的面积为2当x→0时,它们的面 积都是趋于0的,即之比的极限是趋于1的 第二个重要极限公式:xx e lim(1+x) 问题思考: x 0.这不是第一个重要极限公式,当x→∞时,此式为无穷小量乘以有界变量,其结果仍 为无穷小量 例题讲解 50—
经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——50—— 第二单元 两个重要极限与函数连续性 第一节 两个重要极限 一、学习目标 通过本课程的学习，我们要学会两个重要极限公式，要会用重要极限公式计 一些函数的极限. 二、内容讲解 第一个重要极限公式： 1 sin lim 0 = → x x x 几何说明：如图，设 x 为单位圆的圆心角，则 x 对应的小三角形的面积为 2 sin x ， x 对应的扇形的面积为 2 x ，x 对应的大三角形的面积为 2 tan x 当 x →0 时，它们的面 积都是趋于 0 的 ，即之比的极限是趋于 1 的. 第二个重要极限公式： ) e 1 lim (1+ = → x x x ； lim (1 ) e 1 0 + = → x x x 问题思考： ? sin lim = → x x x 0.这不是第一个重要极限公式，当 x → 时，此式为无穷小量乘以有界变量，其结果仍 为无穷小量. 三、例题讲解
经济数学基础 第2章导数与微 分 lim sin 3x 例1 n 3 3sin 3x =3 lim 解: im(1+) 例2求极限x3 (1+)2=lm(1+)3=[lm(1+)3]3 解 lim(1-2x) 例3求极限x0 im(1-2x)=lim(1+(-2x)2x=[lm(1+(-2x)2x]2=e-2 解 四、课后练习 2 练习1求极限x0sm3x 练习2求极限x 五、课后作业 lim sin 4x /1+2x-1 lim x sin x. 2 r+0 sin 5x
经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——51—— 例 1 x x x sin 3 lim →0 解： x x x sin 3 lim →0 = 3 3 3sin 3 lim 0 = → x x x 3 3 sin 3 lim 0 = → x x x 例 2 求极限 x x x ) 3 1 lim (1+ → 解: 3 1 3 1 3 3 1 3 ) ] e 3 1 ) [lim (1 3 1 ) lim (1 3 1 lim (1+ = + = + = → → → x x x x x x x x x 例 3 求极限 x x x 1 0 lim (1− 2 ) → 解 2 2 2 1 0 ( 2) 2 1 0 1 0 lim(1 2 ) lim(1 ( 2 )) [lim(1 ( 2 )) ] e − − − → − − → → − = + − = + − = x x x x x x x x x 四、课后练习 练习 1 求极限 x x x sin 3 sin 2 lim →0 练习 2 求极限 3 1 ) 2 lim ( + → − x x x x 五、课后作业 1. x x x tan 2 lim →0 ；2. x x x sin 5 sin 4 lim →0 ；3. sin( 3) 6 lim 2 3 − − − → x x x x ；4. x x x sin 1 2 1 lim 0 + − → ；5. x x x 1 lim sin → ；
经济数学基础 第2章导数与微 分 x lim(1+ im(1--) im(1+一) im()2 6. x *0 sn x :7 9 ;10.xx 1.2; 2.53.54.15.16.07.e8 2
经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——52—— 6. x x x x sin 1 sin lim 2 →0 ；7. x x x 2 ) 2 lim (1+ → ；8. 11 ) 1 lim (1 + → − x x x ；9. x x x 3 0 ) 2 lim (1 − → + ；10. x x x x ) 3 1 lim ( − + → 1.2; 2. 5 4 3.5 4.1 5.1 6.0 7. 4 e 8. 1 e − 9. 2 3 e − 10. 4 e
经济数学基础 第2章导数与微 分 郭二节函邀的连性 、学习目标 通过本课程的学习,我们要知道连续的数学表示,知道数学中间断的概念.将 会了解连续与有极限存在这两个概念的联系与不同,会进行连续函数的运算 二、内容讲解 生活中的实例:高山流水,植物生长,工业连续化生产连续函数的定义 定义2.4—函数的间断与连续 设函数f(x)在点的邻域内有定义,若满足x lm f(x)=f(xo) ,则称函数f(x) 在点x处连续.点x是(x)的连续点 函数间断、间断点的概念 安。例如函数y=x2,y=x3y=smxy= cos x y=hxy=e在定义域内都是 续的 问题思考:设(x在点0处连续,则4y=f(x+△x)-f(x0)-→? 答案:0.因为f(x)在点x0处连续 lim Ay=lim((xo+Ax)-f(xo))=lim /(xo+Ax)-lim f(xo)=f(xo)-f(xo)=0 所以,极限为0. 三、例题讲解 x+1x≤1 x) 例1 2x-3x>1 ,问f(x)在x=1处是否连续?
经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——53—— 第二节 函数的连续性 一、学习目标 通过本课程的学习，我们要知道连续的数学表示，知道数学中间断的概念. 将 会了解连续与有极限存在这两个概念的联系与不同，会进行连续函数的运算. 二、内容讲解 生活中的实例：高山流水，植物生长，工业连续化生产连续函数的定义 定义 2.4——函数的间断与连续 设函数 f (x) 在点 0 x 的邻域内有定义，若满足 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → ，则称函数 f (x) 在点 0 x 处连续.点 0 x 是 f (x) 的连续点. 函数间断、间断点的概念： 例如 函数 2 3 y = x , y = x y = sin x, y = cos x x y = ln x, y = e 在定义域内都是 连续的. 问题思考：设 f (x) 在点 0 x 处连续，则 ( ) ( ) ? 0 y = f x0 + x − f x0 ⎯⎯x→⎯→ 答案 ：0. 因为 f (x) 在点 0 x 处连续 lim lim ( ( ) ( )) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 y f x x f x f x x f x x→ x→ x→ x→ = + − = + − = f (x0 ) − f (x0 ) = 0 ， 所以，极限为 0. 三、例题讲解 例 1 − + = 2 3 1 1 1 ( ) x x x x f x ,问 f (x) 在 x =1 处是否连续？
经济数学基础 第2章导数与微 分 注意:此函数是分段函数,x=1是函数的分段点 解:Im.f(x)=lm,(2x-3)= lm f(x)=lm(x+1)=2 lim f(x) 不存在, f(x)在x=1处是间断的 0 y 例2 问f(x)在x=0处是否连续? . lim f(x)=lm xsin f(0) 解 (无穷小量×有界变量=无穷小量) f(x)在x=0处是连续的 结论:(1)基本初等函数在其定义域内是连续的 (2)连续函数的四则运算、复合运算在其有定义处连续; (3)初等函数在其定义区间内是连续的 +x lin 例3x0cosx 解 x→0cos2x 注意:Co2x是初等函数,在x=0处有定义,利用结论有极限值等于函 数值 四、课堂练习
经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——54—— 注意：此函数是分段函数， x =1 是函数的分段点. 解: lim ( ) lim (2 3) 1 1 1 = − = − → + → + f x x x x lim ( ) lim ( 1) 2 1 1 = + = → − → − f x x x x lim ( ) 1 f x x→ 不存在， f (x) 在 x =1 处是间断的. 例 2 = = 0 0 0 1 sin x x x x y ,问 f (x) 在 x = 0 处是否连续？ 解: 0 (0) 1 lim ( ) lim sin 0 0 f x f x x x x = = = → → （无穷小量×有界变量=无穷小量） f (x) 在 x = 0 处是连续的. 结论:（1）基本初等函数在其定义域内是连续的； （2）连续函数的四则运算、复合运算在其有定义处连续； （3）初等函数在其定义区间内是连续的. 例 3 x x x x 2 2 0 cos e 1 lim + + → 解: 2 1 1 1 cos 0 e 1 0 cos e 1 lim 2 0 2 2 2 0 = + = + + = + + → x x x x 注意： x x x 2 2 cos e + 1+ 是初等函数，在 x = 0 处有定义，利用结论有极限值等于函 数值. 四、课堂练习
经济数学基础 第2章导数与微 分 练习1求函数(+)=-x-2 x-x-2的连续区间 f(x) 解:因为 x2-x-2是初等函数,所以其连续区间是定义域 3x2+b,x≠1 f(x)= 练习2设函数 X=,求b为何值时,函数f(x)在x=1处连续 lim f(x)=lim(3x+6)=lm 3x+lm b=3+b x→l 五、课后练习 1.设函数 xsin -+6. x0 问(1)当ab为何值时,(x)在x=0处有极限存在 (2)当ab为何值时,f(x)在x=0处连续 2.讨论函数 x-1,x≤0 f(x) xx>0在x=0处的连续性 求下列函数的间断点和连续区间 sin x (1) (2) (3)
经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——55—— 练习 1 求函数 2 2 ( ) 2 − − − = x x x f x 的连续区间. 解:因为 2 2 ( ) 2 − − − = x x x f x 是初等函数，所以其连续区间是定义域 练习 2 设函数 = + = 4, 1 3 , 1 ( ) 2 x x b x f x ，求 b 为何值时，函数 f (x) 在 x =1 处连续. 解: f x x b x b b x x x x = + = + = + → → → → lim ( ) lim(3 ) lim 3 lim 3 1 2 1 2 1 1 五、课后练习 1.设函数 = + = 0 sin 0 , 0 1 sin ( ) x x x a x b x x x f x 问（1）当 a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处有极限存在； (2) 当 a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处连续. 2.讨论函数 − = 0 1, 0 ( ) 2 x x x x f x 在 x = 0 处的连续性. 3.求下列函数的间断点和连续区间： （1） 1 2 1 2 − − + = x x x y ；（2） x x y = ；（3） x x y sin = ；
经济数学基础 第2章导数与微 分 3 01.(4)定义区间 6
经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——56—— （4） ( 1) arcsin − = x x x y ；（5） = − − = 2 3 3 3 9 2 x x x x y ；（6） − = 3 1 2 2 0 1 x x x x y 4.说明下列函数在定义域内连续 （1） 2 1 2 y = x + ；（2） y = sin( x +1) （3） y = ln( x −1) ；（4） y = cos x 5.求下列函数极限 （1） lim 3 1 3 2 − + → x x x ；（2） x x x e 1 lim 2 + →− ；（3） sin(1 ) ln(1 ) lim 2 0 x x x + + → ； （4） x x x + − →+ 1 1 lim cos ；（5） ln(1 ) 1 lim 0 x x x + → ；（6） ) 2e sin( arcsin ln lim e x x x→ 答案 1.（1）当 b = 1,a 任意时， f (x) 在 x = 0 处有极限存在； （2）当 a = b =1 时， f (x) 在 x = 0 处连续. 2. 因为 lim ( ) lim ( 1) 1, lim ( ) lim 0 2 0 0 0 0 = − = − = = → − → − → + → + f x x f x x x x x x ，所以函数 f (x) 在 x = 0 处 不连续. 3.（1） x = 1;(−,1) (1,+) ；（2） x = 0;(−,0) (0,+) ； （3） x = 0;(−,0) (0,+) ；（4） x = 0, x = 1;(−,0) (0,1) (1,+) ； （5） x = 3,(−,3) (3,+) ；（6） (0,2] 4.（1）定义区间；（2）定义区间；（3） x 1 ；（4）定义区间；
经济数学基础 第2章导数与微 分 5.(1)v3;(2)-2:(3)0:(4)cos(-1),(5)1;(6)2
经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——57—— 5.（1） 3 ；（2） 2 e 1 2 − + − ；（3）0；（4） cos(−1) ；（5）1；（6） 2