经济数学基础 第一章函数 第一章典型例题与缐合练习 第一节典型囪题 、函数的概念 x)= 例1求函数 In(x-1) 的定义域 解:要使函数有意义,必须 hn(x-1)≠0 ≠2 x-1>0 x>1 0,即(-2sx≤2 故定义域D=(x11x<2} 0 f(x)= 例2求函数 2x2+50<x≤2 的定义域 解:分段函数的定义域是自变量x取值的各个区间的并集,即 x<0U0<x≤2 ,亦即D={x≤2且x 例3已知函数f(x+1)=x2+4x-3,求f(x),f(-),f0),f1) 解方法 fx)=(x-1)+1)=(x-1)2+4x-1)-3=x2-2x+1+4x-4-3=x2+2x-6 1+2x-6x f0=02+2×0-6=-6;:fx)=12+2×1-6=-3 27
经济数学基础 第一章 函数 ——27—— 第一章 典型例题与综合练习 第一节 典型例题 一、函数的概念 例 1 求函数 2 4 ln( 1) 1 ( ) x x f x + − − = 的定义域． 解：要使函数有意义，必须 − − − 4 0 1 0 ln( 1) 0 2 x x x ，即 − 2 2 1 2 x x x 故定义域 D = x |1 x 2 例 2 求函数 + − = 2 5 0 2 2 3 0 ( ) 2 x x x x f x 的定义域． 解：分段函数的定义域是自变量 x 取值的各个区间的并集，即 {x x 0}x 0 x 2，亦即 D = x x 2且x 0． 例 3 已知函数 f (x＋1)＝x 2＋4x－3，求 f (x)， ) 1 ( x f ，f(0)，f(1)． 解方法一： f(x)＝f((x－1)＋1)＝(x－1)2＋4(x－1)－3＝x 2－2x＋1＋4x－4－3＝x 2＋2x－6； ) 1 ( x f ＝ 2 ) 1 ( x ＋2 ) 1 ( x －6= 6 1 2 2 + − x x = 2 2 1 2 6 x + x − x ； f(0)=0 2＋20－6=－6；f(x)=1 2＋21－6=－3
经济数学基础 第一章函数 方法二:将x+1看作一个变量,得(x)=x2+2x-6,后面的作法同方法一,分 别得出()1+2 6 f(0)=-6,f(1)=-3 例4判断函数fx)= logo.5(x2+1)的单调性 解:易知函数fx)=1ogsx2+1)为偶函数,偶函数的图形关于y轴对称,故只 需讨论x>0时函数的单调性 对任意x1>x2>0,有x2+1>x2+1 因为对数之底0.50时,fx)=1og(x2+1)是单调减函数.再由偶函数的 性质可知当x<0时,f(x)=1oga(x2+1)是单调增函数 因此函数f(x)= logo.5(x2+1)在(-∞,O)上单调增加,在(0,+∞)上单调减少 例5设函数f(x)和g(x)都是奇函数,试证f(x)·g(x)是偶函数 证明:已知(x)和g(x)都是奇函数,由定义可知,对任意x,有 f(-x)=-f(x):g(-x)=-g(x),上两个等式的左右端分别相乘得 f-x)·g(-x)=(-f(x)·(-8(x)=fx)·g(x) 即对任意x有f-x)·g(-x)=x)·gx) 由定义可知f(x)·g(x)是偶函数 、函数的运算 例1将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算: (1)y=In(tan x2+1 (2)y=e cos'x 28
经济数学基础 第一章 函数 ——28—— 方法二：将 x＋1 看作一个变量，得 f(x)=x 2＋2x－6，后面的作法同方法一，分 别得出 2 2 1 2 6 ) 1 ( x x x x f + − = ， f (0) = −6, f (1) = −3 例 4 判断函数 f(x)＝log0.5(x 2＋1)的单调性． 解:易知函数 f(x)＝log0.5(x 2＋1)为偶函数，偶函数的图形关于 y 轴对称，故只 需讨论 x＞0 时函数的单调性． 对任意 x1＞x2＞0，有 x1 2＋1＞x2 2＋1 因为对数之底 0.5＜1，此时对数函数单调减少，故 log0.5(x1 2＋1)＜log0.5(x2 2＋1),即 f(x1)＜f(x2) 由单调性定义可知当 x＞0 时，f(x)＝log0.5(x 2＋1)是单调减函数．再由偶函数的 性质可知当 x＜0 时，f (x)＝log0.5(x 2＋1)是单调增函数． 因此函数 f (x)＝log0.5(x 2＋1)在(－∞,0)上单调增加，在(0,＋∞)上单调减少． 例 5 设函数 f (x)和 g(x)都是奇函数，试证 f (x)·g(x)是偶函数． 证明：已知 f(x)和 g(x)都是奇函数，由定义可知，对任意 x，有 f (－x)＝－f (x)；g(－x)＝－g(x)，上两个等式的左右端分别相乘得 f(－x)·g(－x)＝(－f(x))·(－g(x))＝f(x)·g(x) 即对任意 x 有 f(－x)·g(－x)＝f(x)·g(x) 由定义可知 f (x)·g(x)是偶函数． 二、函数的运算 例 1 将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算： (1)y＝ln(tan x 2 + 1 )；(2)y＝e x 2 cos2x
经济数学基础 第一章函数 M:(1)y=Inu, u=tan, v=ww, w=x+l 其中y,l,v作为中间变量u,v,w的函数都是基本初等函数,而w是幂函数 x2与常数函数1的和. (2)y=elv, u=x, v=cosx y是指数函数e和幂函数p2的乘积,u,v为中间变量 三、经济分析中的常见函数 例1某种产品的需求函数为q=100-2p,供给函数为q=10p-8,求该产品的 市场均衡价格和市场均衡数量 解:由100—2p=10p-8;移项整理得12p=108,故p=9 因q=100-2p,故qb=82 即该产品的市场均衡价格为9,市场均衡数量为82 例2已知生产某种产品的成本函数为C(q)=80+2q,试求生产该产品的固定成 本,并求当产量q为50时的平均成本 解:固定成本就是当产量为零时的总成本,设为c,有C=C(0)=80 C(q 因为平均成本为C=q C(50)80+2×50 所以C(50)=50 =3.6 即生产该产品的固定成本为80,产量q为50时的平均成本为3.6
经济数学基础 第一章 函数 ——29—— 解：(1)y＝lnu，u＝tanv，v＝ w ，w＝x 2＋1 其中 y，u，v 作为中间变量 u，v，w 的函数都是基本初等函数，而 w 是幂函数 x 2与常数函数 1 的和． (2) y＝e u v 2，u＝x 2，v＝cosx y 是指数函数 e u 和幂函数 v 2 的乘积，u，v 为中间变量． 三、经济分析中的常见函数 例 1 某种产品的需求函数为 qd＝100－2 p,供给函数为 qs＝10p－8,求该产品的 市场均衡价格和市场均衡数量． 解：由 100－2p＝10p－8；移项整理得 12p＝108，故 p0＝9 因 q0＝100－2p0，故 q0＝82 即该产品的市场均衡价格为 9，市场均衡数量为 82． 例 2 已知生产某种产品的成本函数为 C(q)＝80＋2q，试求生产该产品的固定成 本，并求当产量 q 为 50 时的平均成本． 解：固定成本就是当产量为零时的总成本，设为 c0，有 c0＝C(0)＝80 因为平均成本为 C ＝ C q q ( ) 所以 C (50)＝ C(50) 50 ＝ 80 2 50 50 + ＝3.6 即生产该产品的固定成本为 80，产量 q 为 50 时的平均成本为 3.6．
经济数学基础 第一章函数 例3已知某厂生产某种产品的成本函数为C(q)=500+2q(元),其中q为该产 品的产量,如果该产品的售价定为每件6元,试求:(1)生产200件该产品时的利润 和平均利润;(2)求生产该产品的盈亏平衡点 解(1)已知C(q)=500+2q(元) 又由题意知收入函数为R(q)=6q 因此,利润函数为L(q)=Rq)-C(q)=6q-(500+2q)=4q-500(元) L(q)500 又因该产品的平均利润函数为L=q=4-q(元/件) 生产200件该产品时的利润为L(200)=4×200-500=300(元) 500 而此时平均利润为L=4-200=1.5(元/件) 即生产200件该产品时的利润为300元,平均利润为每件1.5元 (2)利用L(q)=0得4q-500=0 解得q=125,(件),即盈亏平衡点为125件 第一节典型囪题 填空题 1.函数y=1gx-1)的定义域是 2.函数∫(x+1)=x2+2x-5,则f(x)= 3.函数y=x2-6x+10的单调区间是 4.设n2+1,8(x厂1+x(g(2) 30—
经济数学基础 第一章 函数 ——30—— 例 3 已知某厂生产某种产品的成本函数为 C(q)＝500＋2q (元)，其中 q 为该产 品的产量，如果该产品的售价定为每件 6 元，试求：(1)生产 200 件该产品时的利润 和平均利润；(2)求生产该产品的盈亏平衡点． 解(1)已知 C(q)＝500＋2q(元) 又由题意知收入函数为 R(q)＝6q 因此，利润函数为 L(q)＝R(q)－C(q)＝6q－(500＋2q)＝4q－500 (元) 又因该产品的平均利润函数为 L ＝ L q q ( ) ＝4－ 500 q (元件) 生产 200 件该产品时的利润为 L(200)＝4×200－500＝300(元) 而此时平均利润为 L ＝4－ 500 200 ＝1.5(元件) 即生产 200 件该产品时的利润为 300 元，平均利润为每件 1.5 元． (2)利用 L(q)＝0 得 4q－500＝0 解得 q0＝125 ，(件)，即盈亏平衡点为 125 件. 第一节 典型例题 一、填空题 1. 函数 y＝ 4 1 − − x lg(x ) 的定义域是 ． 2. 函数 f (x＋1) = x 2＋2x－5，则 f (x) = ． 3. 函数 y＝ x 2－6x＋10 的单调区间是 ． 4. 设 f(u)=u 2＋1，g(x)= 1+ x 1 ，则 f (g (2)) = ．
经济数学基础 第一章函数 5.如果某商品的需求函数是q=25-2p,供给函数是q=3p-12,那么该商 品的市场均衡价格是 6.已知某产品的成本函数为C(q)=02q2+4q+294,该产品的需求函数为 q=180-4p,该产品的利润函数为 7.厂家生产某种产品的固定成本是18000元,而可变成本是总收入的40% 若厂家以每件30元的价格出售该产品,则生产该产品的盈亏平衡点是 1.(1,2)U(2,4;2.x2-6;3.(-∞,3)和3,+∞);4.-;5.74;6.L(q)=41q 0.45q2-294;7.1000件 、单选题 1.设f(x)=1ogax,则()成立 (A)fx).v)=fx+y);( B)fx)+f)=fx+y) ()f(x·y)=fx)·fy);()fx·y)=fx)+fy) 2.下列各函数对中,()中的两个函数相等 (A)x)=sinx+cos'x, g(xl: B)fxlgx, 8(x)=21gx (O)x)=(√x),g(y=x:①)x)=x-1,gx)=x+1 3.下列函数中,()是奇函数 (A)y=x2+1:(B八q2+a,()y=√x2+1-x:(D)y=sm(x+ 4.下列函数中,()不是基本初等函数 (B)y=lg(1-x):(C)y=(1o)2;(D)y=10 5.设f(x)=-,则八x)=()
经济数学基础 第一章 函数 ——31—— 5. 如果某商品的需求函数是 qd＝25－2 p，供给函数是 qs＝3p－12，那么该商 品的市场均衡价格是 ． 6. 已知某产品的成本函数为 C(q)＝0.2q 2＋4q＋294，该产品的需求函数为 q＝180－4 p，该产品的利润函数为 ． 7. 厂家生产某种产品的固定成本是 18000 元，而可变成本是总收入的 40， 若厂家以每件 30 元的价格出售该产品，则生产该产品的盈亏平衡点是 ． 1．(1，2)∪(2，4]； 2．x 2－6； 3．(－，3)和(3，＋)；4． 9 10 ；5．7.4；6．L(q)＝41q －0.45q 2－294；7．1000 件 二、单选题 1.设 f(x)=loga x，则（ ）成立． (A)f(x)·f(y)＝f(x＋y)；(B)f(x)＋f(y)＝f(x＋y) (C)f(x·y)＝f(x)·f(y)；(D)f(x·y)＝f(x)＋f(y) 2.下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等． (A)f(x)＝sin2 x＋cos 2 x，g(x)=1；(B)f(x)=lgx 2，g(x)=2lgx； (C)f(x)＝( x ) 2，g(x)=x；(D)f(x)＝ 1 1 2 − − x x ，g(x)=x＋1 3.下列函数中，（ ）是奇函数． (A)y＝x 3＋1；(B)y＝ 2 x x a a − + ；(C)y＝ln( x +1 − x 2 ；(D) y＝ ) 2 sin( x + 4.下列函数中，（ ）不是基本初等函数． (A)y＝3 1 x ；(B)y＝lg(1－x)；(C)y＝ x ) 10 1 ( ；(D)y＝10 8 5.设 f(x)＝ x 1 ，则 f(f(x))＝（ ）．
经济数学基础 第一章函数 (A)-;(B)2:(Cx:(D)x2 三、多选题 2 0,a≠1),则等式()成立 (A)(x)+0y)=fx+y);(B)x)·f(y)=fx+y) f(x) ()y 3.下列函数中()是偶函数 (A)y=x'sinx; (B)y a"+a 2:C)y=e: D)y=5+cosx 4.下列结论中()是正确的 (A)基本初等函数都是单调函数:(B)偶函数的图形关于y轴对称 (C)奇函数的图形关于坐标原点对称;(D)周期函数都是有界函数 5.指数函数y=a(0,a≠1)满足() (A)图形过点(0,1);(B)是单调函数;(C)是有界函数;(D)函数值都大于零 6.设C(q是成本函数,R(q)是收入函数,L(q)是利润函数,则盈亏平衡点是方 程()的解 (A)C(q)+R(q)=0;(B)L(q)=0;()R(q)-C(q)=0;(D)L(q)-Cq) AC: BD: 3. ABCD: 4. BC ABD: 6. BC 32
经济数学基础 第一章 函数 ——32—— (A) x 1 ；(B) 2 1 x ；(C)x；(D) x 2 1.D；2．A；3．C；4．B；5．C 三、多选题 1.设 f (x)＝ x x x x x x + − − + 2 0 2 0 2 2 2 3 ＜ ＜ ≤ ＜ ( ) ≤ ＜ 则（ ）成立． (A)f(－1)＝f(0)；(B)f(0)＝f(1)；(C)f(－1)＝f(3)；(D)f(－3)＝f(3) 2.设 f(x)＝a x(a0，a1），则等式（ ）成立． (A)f(x)＋f(y)＝f(x＋y)；(B)f(x)·f(y)＝f(x＋y)； (C) ( ) ( ) ( ) y x f f y f x = ；(D) ( ) ( ) ( ) f x y F y f x = − 3.下列函数中（ ）是偶函数． (A)y＝x 3 sinx；(B)y＝ 2 x x a a − + ；(C)y＝e x 2 ；(D)y＝5＋cosx 4.下列结论中（ ）是正确的． (A)基本初等函数都是单调函数；(B)偶函数的图形关于 y 轴对称 (C)奇函数的图形关于坐标原点对称；(D) 周期函数都是有界函数 5.指数函数 y＝a x(a0，a1)满足（ ）． (A)图形过点(0，1)；(B)是单调函数；(C)是有界函数；(D)函数值都大于零 6.设 C(q)是成本函数，R(q)是收入函数，L(q)是利润函数，则盈亏平衡点是方 程（ ）的解． (A)C(q)＋R(q)＝0；(B)L(q)＝0；(C) R(q)－C(q)＝0；(D)L(q)－C(q)＝0 1.AC；2．BD；3．ABCD；4．BC；5．ABD；6．BC
经济数学基础 第一章函数 四、配伍题 (A)函数fx)=esmx;①在区间(-∞,1)内是单调减少的 (B)函数fx)=x2-2x+5:②是偶函数 (C)函数fx)= x sinx+6;③是有界函数 2.(A)函数fx)=2mx;①是奇函数 coSt ∞<x<0 )数=(+10x+;②是以为周期的函数 (C)函数fx)=d-ax;③满足f(0)=2 1.A③;B①;C②:2.A②;B③;C①; 五、是非题 1.函数y=lnx3与函数y=3nx是相同的.() 2设a<b<c,若函数(x)在(a,b和(b,c)上都是单调增加的,则fx)在(a,c)上 也是单调增加的.() 3.若函数f(x)是定义在(-l,D(10)上的函数,则有 (1)(x)+f-x)是偶函数();(2)(x)-f-x)是奇函数() 4.初等函数是由基本初等函数经复合而得到的 5.分段函数不一定是初等函数.() 6.利润函数L(q)是销售量q的单调增加函数.() 1.√;2.×;3.(1)√;(2)√:4.×;5.√;6. 六、计算题1求函数y=√x2-x-6的定义域 0<x<0 0≤x<1 2.设函数f(x) ≤x<+0 33
经济数学基础 第一章 函数 ——33—— 四、配伍题 1.(A)函数 f(x)＝e sinx；①在区间(－，1)内是单调减少的 (B)函数 f(x)＝x 2－2x＋5；②是偶函数 (C)函数 f(x)＝x 3 sinx＋6；③是有界函数 2.(A)函数 f(x)＝2 tanx；①是奇函数 (B)函数 f(x)＝ cos2 0 1 0 x x x x − + + ＜ ＜ e ≤ ＜ ；②是以为周期的函数 (C)函数 f(x)＝a x－a －x；③满足 f(0)＝2 1．A③；B①；C②；2．A②；B③；C①； 五、是非题 1.函数 y＝lnx 3 与函数 y＝3lnx 是相同的．（ ） 2.设 abc，若函数 f(x)在(a，b]和(b，c)上都是单调增加的，则 f(x)在(a，c)上 也是单调增加的．（ ） 3.若函数 f (x)是定义在(－l，l)(l0)上的函数，则有 (1)f(x)＋f(－x)是偶函数（ ）；(2)f(x)－f(－x)是奇函数（ ）. 4.初等函数是由基本初等函数经复合而得到的．（ ） 5. 分段函数不一定是初等函数．（ ） 6. 利润函数 L(q)是销售量 q 的单调增加函数．（ ） 1．√ ； 2．× ； 3．(1) √；(2) √ ； 4．× ； 5．√ ； 6．× 六、计算题 1.求函数 y＝ x x 2 − − 6 的定义域． 2.设函数 f(x)＝ 1 0 0 1 4 1 2 − − + ＜ ＜ ≤ ＜ ≤ ＜ x x x x x e
经济数学基础 第一章函数 求f-1),f),f1)和f(2) 3.求函数y=ln(4+3x-x2)的定义域 4.设函数f)的定义域为0,1],求fnx)的定义域 5.将下列函数写成较简单函数的复合形式 (Ov=eF+.(2)y=cossin2x3 6.已知某产品的需求函数是q=50-10P,供给函数是q=10p-10,求该产品 的市场均衡价格和市场均衡数量. 7.已知厂家生产某种产品的成本函数为C(q)=50+3q,收入函数为R(q)=5q, (1)求该产品的平均利润;(2)求该产品的盈亏平衡点 8.某商品的成本函数为C(q)=2q2-4q+27,供给函数为q=p-8,(1)求该商 品的利润函数;(2)说明该商品的盈亏情况 1.函数的定义域为(-∞,-2]U[3,+∞) 2.f(-1)=1;f2)ve;f1)=3;f(2)=0; 3.(-1,4) 4.[1,e] 5.()y=c:u=v;;=x2+1:(其中y,u作为中间变量u,r的函数都是基 本初等函数,而v是幂函数x2与常数函数1的和.); (2)y=cos;u=v:;p=sin;w=x:(其中y,u,v,w分别作为中间变量和 自变量u,v,w,x的函数都是基本初等函数.); 6.市场均衡价格为p=3,市场均衡数量为q=20 7.(1)L=2 (2)qo=2
经济数学基础 第一章 函数 ——34—— 求 f(－1)，f( 2 1 )，f(1)和 f(2)． 3.求函数 y＝ln(4＋3x－x 2 )的定义域． 4.设函数 f(u)的定义域为[0，1]，求 f(lnx)的定义域． 5.将下列函数写成较简单函数的复合形式 (1)y＝e x 2 +1 ；(2)y＝cossin2x 3 6.已知某产品的需求函数是 qd＝50－10 p，供给函数是 qs＝10p－10，求该产品 的市场均衡价格和市场均衡数量． 7.已知厂家生产某种产品的成本函数为 C(q)＝50＋3q，收入函数为 R(q)＝5q， (1)求该产品的平均利润；(2)求该产品的盈亏平衡点． 8.某商品的成本函数为 C(q)＝2q 2－4q＋27，供给函数为 q＝p－8，(1)求该商 品的利润函数；(2)说明该商品的盈亏情况． 1．函数的定义域为 (− , − 2][3, + ) ； 2．f(-1)=1；f( 2 1 )= e ；f(1)=3；f(2)=0； 3．(－，4)； 4．[1，e]； 5．(1)y＝e u；u＝ v ；v＝x 2＋1；(其中 y，u 作为中间变量 u，v 的函数都是基 本初等函数，而 v 是幂函数 x 2 与常数函数 1 的和．)； (2)y＝cosu；u＝v 2；v＝sinw；w＝x 3；(其中 y，u，v，w 分别作为中间变量和 自变量 u，v，w，x 的函数都是基本初等函数．)； 6．市场均衡价格为 p0＝3，市场均衡数量为 q0＝20； 7．(1) L ＝ q 50 2 − ；(2)q0＝25
经济数学基础 第一章函数 8.(1)L(q)=12q-q2-27;(2)由L(q)=(q-3)9-q)可以分析出,当39时亏损,当q=3或q=9时盈亏平衡 七、证明题 1.试证:两个单调增函数之和仍是单调增函数 2.试证:奇函数与偶函数的乘积是奇函数 3.试证:若奇函数f(x)在原点有定义,则f(0)=0 1.证明:设f(x),f(x)都是单调增函数.令Hx)=f(x)+(x), 对任意x<x有f(x1)<f(x2),f(x)(x) 故h(x)=f(x1)+(x)<(x2)+(x2)=hx2) 即hx)h(x2),由此可知hx)是单调增函数 2.证明:设fx)是奇函数,6(x)是偶函数.令h(x)=1(x)·(x), 对任意x有f(-x)=-f(x),f(-x)=(x) 故h(-x)=f(-x)·f(-x)=-f(x)·f(x)=-h(x) 即h(-x)=-h(x),由此可知h(x)是奇函数 3.证明:已知f(x)是奇函数,对任意x有(-x)=-fx) 令x=0代入上式得f-0)一0) 即f(0)=-f(0),由此得出(0)=0 35
经济数学基础 第一章 函数 ——35—— 8．(1)L(q)＝12q－q 2－27；(2)由 L(q)＝(q－3)(9－q)可以分析出，当 39 时亏损，当 q＝3 或 q＝9 时盈亏平衡． 七、证明题 1.试证：两个单调增函数之和仍是单调增函数． 2.试证：奇函数与偶函数的乘积是奇函数． 3.试证：若奇函数 f (x)在原点有定义，则 f (0)＝0． 1．证明：设 f1(x), f2(x)都是单调增函数．令 h(x)＝f1(x)+f2(x)， 对任意 x1<x2有 f1(x1)< f1(x2)，f2(x1)<f2(x2) 故 h(x1)＝f1(x1)+f2(x1)<f1(x2)+f2(x2)＝h(x2) 即 h(x1)<h(x2)，由此可知 h(x)是单调增函数． 2．证明：设 f1(x)是奇函数，f2(x)是偶函数．令 h(x)＝f1(x)·f2(x)， 对任意 x 有 f1(－x)=－f1(x)，f2(－x)=f2(x) 故 h(－x)＝f1(－x)·f2(－x)＝－f1(x)·f2(x)＝－h(x) 即 h(－x)＝－h(x)，由此可知 h(x) 是奇函数． 3．证明：已知 f (x)是奇函数，对任意 x 有 f(－x)=－f(x) 令 x=0 代入上式得 f(－0)=－f(0) 即 f(0)=－f(0)，由此得出 f(0)=0．