北京交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 向量空间 4.6 非齐次线性方程组

46非齐次线性方程组 反回

461非齐次线性方程组有解的条件 王1·非齐次线性方程组解的性质 (1)设x=m1及x=m2都是Ax=b的解则x=m1 上m为对应的齐次方程Ax=0的解 证明∵Am1=b,Am2=b A(m1-m2)=b-b=0 即x=n1-m2满足方程Ax=0 反回

0 . (1) , 2 1 2 1 为对应的齐次方程 的解 设 及 都是 的解 则       Ax x x Ax b x     证明   0.  A 1 2  b  b  0. 即x  1 2满足方程 Ax  A  b A  b 1 2   ,  １．非齐次线性方程组解的性质

庄42非齐次线性方程组的解的结构 c定理425(1设x=m及x=n2都是Ax=的解 则x=m1-72为对应的齐次方程Ax=啪的解 证明A71=b,Am2=b A(n,-n2)=b-b=0 即x=n1-m2满足方程Ax=0 反回

1 2 1 2 , 0 . x x Ax b x Ax           定理4-25 （1)设 及 都是 的解 则 为对应的齐次方程 的解 证明   0.  A 1 2  b  b  0. 即x  1 2满足方程 Ax  A  b A  b 1 2   , 

(2)设x=是方程Ax=b的解,x=是方程 上Ax=0的解,则x=5+m仍是方程Ax=b的解 证明A(+n)=A2+Am=0+b=b 庄所队x=5+7是方程A=6的解 证毕 反回

证明 A   A  A  0  b  b, 所以x    是方程 Ax  b的解. 证毕． 0 , . (2) , 的解 则 仍是方程 的解 设 是方程 的解 是方程 Ax x Ax b x Ax b x           

王士 非齐次线性方程组的通解 定理4-26如果非齐次线性方程组Ax=b有解,则其通 解为m=5+n 即x=k151+…+kn5nr+m. 其中k1点1+…+kn-n为对应齐次线性方程 中组的通解,n为非齐次线性方程组的任意一个特 平解k,k,…,k为任意常数,5,…,5是4x=0 的一个基础解析 反回

1 1 . n r n r x k  k    即      其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解. n r n r k k 1 1         非齐次线性方程组的通解 定理4-26 如果非齐次线性方程组Ax=b有解,则其通 解为    .    的一个基础解析。 , , , 为任意常数， ， ， 是 0 k1 k2  k n  1   nr Ax 

注意(1)解非齐次方程组的关键是: 求对应的齐次方程组的基础解析。 (2)若Ax=0只有零解,则Ax=b只有唯一解 A(3)若Ax=b对应的Ax=0有无穷多组解, 上则4x=b有无穷多组解。 反回

求对应的齐次方程组的 基础解析。 注意：(1)解非齐次方程组的关键 是： (2)若Ax  0只有零解，则Ax  b只有唯一解 则 有无穷多组解。 若 对应的 有无穷多组解， Ax b Ax b Ax  (3)   0

与方程组Ax=b有解等价的命题 线性方程组Ax=b有解 向量b能由向量组a1,a2,…,an线性表示; 向量组a1,a2,…,an与向量组a1,a2,…an,b等价; 矩阵A=(a1,a2,…,an与矩阵B=(an1a2,…,an,b) 的秩相等 反回

与方程组 A x  b有解等价的命题 , , , ; 向量b能由向量组  1  2   n线性表示  , , , , , , , ; 向量组1  2   n与向量组1  2   n b等价      . , , , , , , , 1 2 1 2 的秩相等 矩阵A 与矩阵B b      n      n  线性方程组 A x  b有解

x1-x2-x3+x4= 0, 上例1求解方程组{x1-x2+x3-3x;=1 x1-x2-2x3+3x4=-1/2 解对增广矩阵B施行初等行变换 1-1-11 0 B=1-11一 1-2 1/4 1-10 l/2 ~001 33120 1/2 000 反回

例1 求解方程组                   2 3 1 2. 3 1, 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵B施行初等行变换 :               1 1 2 3 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 0 B , 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 ~         

可见R(A)=R(B)=2,故方程组有解,并有 x1=x2+x4+1/2, x3=2x4+1/2 取x2=x4=0,则x1=x3=,即得方程组的一个解 2 0 1/2 0 在对应的齐次线性方程组x2+x中取 3 2 X4 反回

可见R(A)  R(B)  2,故方程组有解,并有         2 1 2. 1 2, 3 4 1 2 4 x x x x x 0, 取 x2  x4  , 2 1 则 x1  x3  即得方程组的一个解 . 0 1 2 0 1 2          在对应的齐次线性方程 组 中,取 2 , 3 4 1 2 4       x x x x x

.2 (0//o 则 x1= 及 X4 x3(0)(2丿 即得对应的齐次线性方程组的基础解系 10 2 021 反回

, 1 0 0 1 4 2                    及 x x , 2 1 0 1 3 1                    则 及 x x 即得对应的齐次线性方 程组的基础解系 , 1 2 0 1 , 0 0 1 1 1 2                