63、矩阵可对角化的条件 63.1、可对角化条件 王632特征向量的线性无关性 6.3.3、举例 上页
6.3、矩阵可对角化的条件 6.3.1、可对角化条件 6.3.2、特征向量的线性无关性 6.3.3、举例
631、可对角化条件 对n阶方阵A,若可找到可逆矩阵P,使 PAP=A为对角阵这就称为把方阵对角化 定理1m阶矩阵4与对角矩阵相似即4能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量 王证明假设存在可逆阳,使PP=A为对角阵 把P用其列向量表示为P=(m1,P2, n 上页
, . , , 1 为对角阵 这就称为把方阵 对角化 对 阶方阵 若可找到可逆矩阵 使 P AP A n A P = − 证明 , , 假设存在可逆阵P 使P −1AP = 为对角阵 ( , , , ) . 把 P 用其列向量表示为P = p1 p2 pn 6.3.1、可对角化条件 . 1 ( ) 的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量 定 理 阶矩阵 与对角矩阵相似即 能对角化 A n n A A
由PAP=A,得AP=PA, 1 即4(n1,p2…,pn)=(n1,P2,…,pn 2 =(巩1D1,2P2,…,,Dn A(m1,D2,…pn)=(41,42…,pn) =(41p1,42,…,4n) 于是有42=4p1(=12…m小 上页
( ) ( ) = n n n A p p p p p p 2 1 1 2 1 2 即 , , , , , , ( , , , ). = 1 p1 2 p2 n pn ( ) ( ) A p p pn Ap Ap Apn , , , , , , 1 2 = 1 2 Ap p (i 1,2, ,n). 于是有 i = i i = ( ) p p pn , , , = 1 1 2 , , 1 = = − 由P AP 得AP P
庄可见x1是A的特征值而P的列向量p就是 A的对应于特征值λ的特征向量 反之,由于A恰好有n个特征值,并可对应地求 得n个特征向量,这n个特征向量即可构成矩阵P, 使AP=PA 王又由于阿可所以,2,m线性无关 命题得证 上页
. , 的对应于特征值 的特征向量 可见 是 的特征值 而 的列向量 就是 i i i A A P p , , , , . 又由于P可逆 所以p1 p2 pn线性无关 命题得证. . , , , , AP = P n n P A n 使 得 个特征向量 这 个特征向量即可构成矩阵 反之 由于 恰好有 个特征值 并可对应地求
说明如果A的特征方程有重根,此时不一定有 n个线性无关的特征向量,从而矩阵4不一定能 对角化,但如果能找到个线性无关的特征向量 A还是能对角化. 可逆矩阵P就是以这n个线性无关的特征向量 作为列向量而成的 上页
说明 如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， A 还是能对角化． A n n A 作为列向量而成的。 可逆矩阵P就是以这n个线性无关的特征向量
定理2、设41,A2…n是方阵A的m个互不相 同的特征值,a1x12…1是A的属于特征值1 (i=1,2,…,m)的线性无关的特征向量,则有所有 这些特征向量组成的向量组 11, 21522 a m13 是线性无关的。 上页
是线性无关的。 α , ,α α ，α ， ，α α ,α , ,α , ,α , 这些特征向量组成的向量组 (i 1,2, ,m)的线性无关的特征向量，则有所有 同的特征值，α ,α , ,α 是A的属于特征值λ 定理2、设λ，λ λ 是方阵A的m个互不相 m 1, 2 i m 2 m s 1 1 1 2 1 s 2 1 2 2 2 s m 1 i 1 i 2 i s i 1 2 ， m =
定理3、设λ是n阶方阵A的一个k重 平特征值,则的属于特征值的特征向量 中,极大线性无关组仓含的向量个数不 王多于个。即齐次线性方程组 (noE-A)x=0 工工工 的基础解系包含的向量个数最多有k个 上页
的基础解系包含的向量个数最多有 个 。 （ ） 多 于 个。即齐次线性方程组 中，极大线性无关组包含的向量个数不 特征值，则 的属于特征值 的特征向量 定 理 、 设 是 阶方阵 的一个 重 k 0 k A 3 n A k 0 0 0 E − A x =
王推论、n阶方阵最多有m个线性无关的特征向量 推论2如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等, 则A与对角阵相似. 注、该推论的逆不成立 推论3、若复数域上的阶方阵A的特征多项式没有 重根,则A可对角化。 上页
推 论1、n阶方阵A最多有n个线性无关的特征向量 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似． 推论2 n A A n 注、该推论的逆不成立 重根，则 可对角化。 推 论 、若复数域上的 阶方阵 的特征多项式没有 A 3 n A
633举例 c例1判断下列实矩阵能否化为对角阵? 1-22 -21-2 王①4-|-2-24(21-53-3 24-2 102 解 1- 2 (1)由A0E=-2-2- 2 4 -(4-2)(+7)= 得A1=2=2,43=-7 上页
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ − − − − = 2 4 2 2 2 4 1 2 2 (1) A − − − − = 1 0 2 5 3 3 2 1 2 (2)A 解 (1)由A− E ( 2) ( 7) 2 = − − + = 0 − − − − − − − = 2 4 2 2 2 4 1 2 2 2, 7. 得 1 = 2 = 3 = − 6.3.3、举例
将1=2=2代入(4-41E)=0,得方程组 -x1-2x2+2x3=0 2x1-4x2+4x2=0 2x1+4x2-4x3=0 解之得基础解系 工工 an1=0,a,=1 上页
将 1 = 2 = 2代入(A− 1E) = 0,得方程组 + − = − − + = − − + = 2 4 4 0 2 4 4 0 2 2 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 解之得基础解系 . 1 1 0 , 1 0 2 1 2 = =