北京交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 向量空间 4.5 齐次线性方程组

王45齐次线性方程组 上页

4.5 齐次线性方程组

生45.1齐次线性方程组有非零解的条 庄件 齐次线性方程组 a1x1+a12x2+…+a1nxn=0 ,x,+a,X2+…+1x,=0 n (1) a,x1+am2x2+…+axn=0 上页

齐次线性方程组        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     （1） 4.5.1 齐次线性方程组有非零解的条 件

士 2 4= 21 22 a2n 1 m2 则上述方程组(1)可写成向量方程 Ax=0 (2) 王若x=5,x2=与2 21∵n E on1 为方程Ax=0的 牛解,则 上页

, a a a a a a a a a A m m mn n n               =        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1               = xn x x x  2 1 则上述方程组（1）可写成向量方程 Ax = 0. (2) 1 1 1 2 2 1 xn n1 若 x =  , x =  ,, =  为方程 Ax = 0 的 解，则

x=51 21 nI 称为方程组(1)的解向量,它也就是向量方程 (2)的解 上页

              = = 1 21 11 1 n x      称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解．

定理421:齐次线性方程组 Ax1=0m有非零解 令→r(4) <n 等价的:齐次线性方程组4xnx1=0n只有零解 台→r(4)=n 推论:齐次线性方程组 A x=0mx只有零解 r(4)=n 即|4≠0,即系数矩阵A可逆。 上页

定理4-21：齐次线性方程组 A x m n n m    1 1 = 0 有非零解   r A n ( ) 等价的：齐次线性方程组 A x m n n m    1 1 = 0 只有零解  = r A n ( ) 推论：齐次线性方程组 A x n n n n    1 1 = 0 只有零解  = r A n ( ) 即 A  0, 即系数矩阵A可逆

4.5.2齐次线性方程组的解的结构 中定理4-22若x=5,x=52为Ax=0的解,则 x=k151+k252 中也是Ax=0的解 证明∵A51=0,A2=0 工工工 A(k51+k2)=k451+k2452=0 故x=k151+k22也是Ax=0的解 上页

4.5.2 齐次线性方程组的解的结构 定理4-22 若 x =  1 ,x =  2 为 Ax = 0 的解，则 1 1 2 2 x k k = +   也是 Ax = 0 的解. 证明  + = + = A k k k A k A ( 1 1 2 2 1 1 2 2     ) 0  A 1 = 0, A 2 = 0 1 1 2 2 故 也是 的解 x k k Ax = + =   0

王注意: 本性质对有限多个解也成立 由以上两个性质可知,方程组的全体解向量 王所组成的集合,对于加法和数乘运算是封闭的 因此构成一个向量空间,称此向量空间为齐次线 王性方程组=0的解空间 上页

•由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax = 0 的解空间． 注意： •本性质对有限多个解也成立

王定义416:基础解系的定义 71,m2”,m称为齐次性方程组Ax=0的基础 解系,如果 王(nm,n,m是4x=0一组线性无关的解 庄(2)4x=0的任一解都可由v,m,…,m线性表 出 王如果n,n2,,m为齐次线性方程组Ax=0 牛的一组基础解系那么,Ax=0的通解可表示为 x=k1m+k2m2+…+km 其中k1,k2,…,kn,是任意常数 上页

1 2 , , , 0 ,   t称为齐次性方程组 的基础 Ax = 解系 如果 (1) , , , 0 ; 1 2  t是Ax = 的一组线性无关的解 . (2) 0 , , , 1 2 出 Ax = 的任一解都可由   t线性表 定义4-16：基础解系的定义 的一组基础解系 那么 的通解可表示为 如果 为齐次线性方程组 0 = = Ax t Ax , , 1 ,2 ,, 0 x = k11 + k22 ++ ktt , , , . 其中k1 k2  kn−r是任意常数

基础解系又称为解空间的基 定理4-23设A是m×m矩阵,如果r(A)=r<n 则齐次线性方程组A灬x=0的基础解析存在, 且每个基础解析中含n-r个解向量 工工工 上页

基础解系又称为解空间的基 ( ) 0 . m n m n r A r n A x n r   =  = − 定理4-23 设A是 矩阵，如果 则齐次线性方程组 的基础解析存在， 且每个基础解析中含 个解向量

证:设齐次线性方程组的系数矩阵为4,于是 王A由初等行变换化为 0 n-r 0 A-0… rI In-I 0 0 0 上页

11 1, 1 , 1 0 0 1 ~ 0 0 0 0 n r r r n r c c c c A − −                   A 证：设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，于是 由初等行变换化为 A