王44矩阵的秩 44.1.行秩、列秩、矩阵的秩 把矩阵的每一行看成一个向量,则矩阵可被认为 由这些行向量组成(行向量组),把矩阵 的每一列看成一个向量,则矩阵可被认为由这些 列向量组成(列向量组)。 工工工 上页
4.4 矩阵的秩 4.4 .1. 行秩、列秩、矩阵的秩 把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为 由这些行向量组成（行向量组），把矩阵 的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些 列向量组成（列向量组）
定义4-13: 矩阵的行向量组的秩,就称为矩阵的行秩( ow ran) 矩阵的列向量组的秩,就称为矩阵的列秩( column rank) 1131 例如:矩阵A=02-14的行向量组是 0005 0000 1=(1,1,3,1 a2=(0,2,-1,4)=ky 上a3=(0,0,0,5)0)0)(00 牛a=(0,0,0,0 上页
例如：矩阵 1 1 3 1 0 2 1 4 0 0 0 5 0 0 0 0 A − = 的行向量组是 1 2 3 4 (1,1,3,1) (0,2, 1,4) (0,0,0,5) (0,0,0,0) = = − = = 定义4-13： 矩阵的行向量组的秩，就称为矩阵的行秩(row rank); 矩阵的列向量组的秩，就称为矩阵的列秩(column rank)。 1 2 3 4 1 1 3 1 0 2 1 4 , , , 0 0 0 5 0 0 0 0 − = = = =
可以证明,a12,C3是A的行向量组的一个极大无关组, 因为,由k1ax1+k2a2+k33=0 即k1(1,1,3,1)+k2(0,2,-1,4)+k3(0,0,0,5) =(k1,k1+2k2,3k1-k2,k1+4k2+5k3) =(0,0,0,0) 工工工 可知k1=k2=k2=0,即a1,a2,a3线性无关; 而4为零向量,包含零向量的向量组线性无关, 中∴a1,a2,a3,a4线性相关 所以向量组a12,C3O4的秩为3, 所以矩阵A的行秩为3。 上页
可以证明， 1 2 3 , , 是A的行向量组的一个极大无关组， 因为，由 1 1 2 2 3 3 k k k + + = 0 即 1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 3 (1,1,3,1) (0,2, 1,4) (0,0,0,5) ( , 2 ,3 , 4 5 ) (0,0,0,0) k k k k k k k k k k k + − + = + − + + = 可知 1 2 3 k k k === 0, 即 1 2 3 , , 线性无关； 而 4 为零向量，包含零向量的向量组线性无关， 1 2 3 4 ,,, 线性相关。 所以向量组 1 2 3 4 ,,, 的秩为3， 所以矩阵A的行秩为3
矩阵A的列向量组是 3 B1= 000 2 月2 B3=。,B 0 0 5 可以验证B1,B2,4线性无关, 21-2B2+0月 而B3=B1 所以向量组B,B2月3,B4的一个极大无关组是B1,2,B4 所以向量组月1,B2,B3,月4的秩是3, 所以矩阵A的列秩是3 上页
矩阵A的列向量组是 1 2 3 4 1 1 3 1 0 2 1 4 , , , 0 0 0 5 0 0 0 0 − = = = = 可以验证 1 2 4 , , 线性无关， 而 3 1 2 4 7 1 0 2 2 = − + 所以向量组 1 2 3 4 ,,, 的一个极大无关组是 1 2 4 , , 所以向量组 1 2 3 4 ,,, 的秩是3， 所以矩阵A的列秩是3
问题:矩阵的行秩≠矩阵的列秩 定理4-14:矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 (列) (列) 证:把A按行分块,设A=2 xn nxn (1)对换矩阵A的两行 、C A的行向量组所含向量未变,所以向量组的秩不变, 所以矩阵A的行秩不变 (2)用非零常数k乘以A的第i行 上页
问题：矩阵的行秩 ? ＝ 矩阵的列秩 定理4-14：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 （列） （列） 证：把 A m n 按行分块，设 1 2 m n m A = （1）对换矩阵A的两行 A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。 （2）用非零常数k乘以A的第i行
1 a= a ka: =A2 显然,向量组a1…,ka;…,am 可以由向量组c1 n 线性表示; 而向量组a1,…,1;…,Cm 也可以由向量组a1,,ka1;…,Cm线性表示。 所以矩阵A的行向量组与A2的行向量组等价, 又等价的向量组有相同的秩, A的行秩=A2的行秩,即A的行秩不变 上页
1 1 2 i kr i i m m A A k = ⎯⎯→ = 显然，向量组 1 , , , , i m k 可以由向量组 1 , , , , i m 线性表示； 而向量组 1 , , , , i m 也可以由向量组 1 , , , , i m k 线性表示。 所以矩阵 A 的行向量组与 A2 的行向量组等价， 又等价的向量组有相同的秩， A的行秩＝ A2 的行秩，即A的行秩不变
(3)非零常数k乘以第行后加到第j行上 1 4= A 3 a2+ka7显然,A3中的行向量组 可以由A的行向量组线性表示 m am)而A的行向量组可以由 A,中的行向量组线性表示。 所以两个向量组等价,所以行向量组的秩不变 所以矩阵的行秩不变。 上页
（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上 1 1 3 i i i kr j j i m m A A k = ⎯⎯→ = + 显然， A3 中的行向量组 可以由 A 的行向量组线性表示 而 A 的行向量组可以由 A3 中的行向量组线性表示。 所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变
定理4-15:矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 (列) (行) 证:设矩阵A经过初等行变换变为B, 即存在有限个初等矩阵P,P2,…,P 使得PP2…PA=B 令P=PP2…P则PA=B 工工工 把Anm按列分块,设Amxn=(a1,a2…,an) 不妨设A的列向量组的极大无关组为a1C2,…,Cr, (可交换列的次序把它们换到前r列,矩阵的秩不变) 则PA=P(a1,a2,…,arn)=(Pa1,Pa2,…,Pan) =B 王页下
定理4-15：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 （列） （行） 证：设矩阵A经过初等行变换变为B， 即存在有限个初等矩阵 1 2 , , , P P PS 使得 P P P A B 1 2 S = 令 P P P P = 1 2 S 则 PA B = 把 A m n 按列分块，设 1 2 ( , , , ) A m n n = 不妨设A的列向量组的极大无关组为 1 2 , , , , r （可交换列的次序把它们换到前r列，矩阵的秩不变） 则 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) PA P P P P = = n n = B
下面证明A的列向量组的极大无关组a1a2…a 士王士 经过初等行变换变为Pa,、P2∵,Po 是矩阵B的列向量组的极大无关组。 (1)先证Pa1,Pa2…,Pa线性无关。 设数k1,k 29 k 使得k,Pa,+k,Pa,+k.Pa.=0成立 P(K,a,+k,a,+k, a)=0 工工工 因为P为初等矩阵的乘积,所以P可逆 '.PP(K,a +k, a,+k, a)=P-0 k1a1+k2a2+k,a1=0又a1,a2,…,a,线性无关 ∴k1=k2=k3=0∴PO1,Pa2,…,Pa,线性无关
下面证明A的列向量组的极大无关组 1 2 , , , r 经过初等行变换变为 1 2 , , , P P P r 是矩阵B的列向量组的极大无关组。 设数 1 2 , , , r k k k 使得 1 1 2 2 0 r r k P k P k P + + = 成立 1 1 2 2 ( ) 0 P k k k + + = r r 因为P为初等矩阵的乘积，所以P可逆。 1 1 1 1 2 2 ( ) 0 P P k k k P r r − − + + = 1 1 2 2 0 r r + + = k k k 又 1 2 , , , r 线性无关 1 2 3 = = = k k k 0 1 2 , , , P P P r 线性无关。 （1）先证 1 2 , , , P P P r 线性无关
中(2)再证B的列向量组中任一向量Pa 可由向量组Pa1,Pa2…,Par线性表示。 a1,a2,…,C1是A的列向量组的极大无关组 c所以对于A中任一列向量a1都存在数1l,… 使得a1=l1a1+l2a2+…+la 等号两边左乘P 有Pa1=l1P1+l2Pa2+…+l,Pa 由(1)(2)可知Pa1,Pa2,…,P1是B的列向量组的一个极大 无关组。 所以,B的列秩=r=A的列秩 上页
可由向量组 1 2 , , , P P P r 线性表示。 1 2 , , , r 是A的列向量组的极大无关组 所以对于A中任一列向量 1 2 , , , r j 都存在数 l l l 使得 j r r 1 1 2 2 = + + + l l l 等号两边左乘P 有 P l P l P l P j r r = + + + 1 1 2 2 由(1)(2)可知 1 2 , , , P P P r 是B的列向量组的一个极大 无关组。 所以，B的列秩＝r＝A的列秩 （2）再证B的列向量组中任一向量 P j