生第7章空间曲面与曲线 生71曲面及其方程 ●72二次曲面 牛●73空间曲线 工工工 ●总复习 上页
第7章 空间曲面与曲线 7.1 曲面及其方程 7.2 二次曲面 7.3 空间曲线 总复习
73空间曲线 73.1空间曲线的方程 732空间曲线在坐标面上的投影 牛73曲面所围成区域的画法 小结思考题 工工 上页
7.3 空间曲线 7.3.1 空间曲线的方程 7.3.2 空间曲线在坐标面上的投影 7.3.3 曲面所围成区域的画法 小结 思考题
73.1空间曲线的方程 x=x() y=y()空间曲线的参数方程 =z(t) 当给定t=t1时,就得到曲线上的一个点 (x1,y1,z1),随着参数的变化可得到曲线上的全 部点 上页
= = = ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t 当给定 1 t = t 时，就得到曲线上的一个点 ( , , ) 1 1 1 x y z ，随着参数的变化可得到曲线上的全 部点. 空间曲线的参数方程 7.3.1 空间曲线的方程
例3如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以 角速度绕轴旋转,同时又以线速度沿平行 轴的正方向上升(其中、v都是常数),那么点 M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程. 解 取时间t参数,动点从A点出 发,经过(时间,运动到M点 M在xOy面的投影M'(x,y,0) x= acos ot y=asin at t Z= vt xAMy螺旋线的参数方程 上页
动点从A点出 发，经过t时间，运动到M点 例 3 如果空间一点M 在圆柱面 2 2 2 x + y = a 上以 角速度 绕z 轴旋转，同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升（其中 、v 都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程． A • M M M 在xoy面的投影M(x, y,0) x = acost y = asint z = vt t 螺旋线的参数方程 取时间t为参数， 解 x y z o
螺旋线的参数方程还可以写为 x=acos e y=asin 8 z=b6 (6=o,b=" 螺旋线的重要性质: 上升的高度与转过的角度成正比 即6:6→>6+a,z:b60→>b6+ba, a=2兀,上升的高度h=2b兀螺距 上页
螺旋线的参数方程还可以写为 = = = z b y a x a sin cos ( , ) v = t b = 螺旋线的重要性质： : , 0 → 0 + : , z b 0 → b 0 + b 上升的高度与转过的角度成正比． 即 = 2, 上升的高度 h = 2b 螺距
73.2空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的一般方程:(,只2=0 G(x,y’,)=0 消去变量后得:H(x,y)=0 曲线关于xoy的投影柱面 投影柱面的特征: 以此空间曲线为准线,垂直于所投影的坐标面 上页
= = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 消去变量z后得： H(x, y) = 0 曲线关于 xoy 的投影柱面 设空间曲线的一般方程： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面. 投影柱面的特征： 7.3.2 空间曲线在坐标面上的投影
如图:投影曲线的研究过程 空间曲线 投影柱面 投影曲线 上页
如图:投影曲线的研究过程. 空间曲线 投影柱面 投影曲线
王空间曲线在xO面上的投影曲线 H(x,y)=0 z=0 类似地:可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 y0z面上的投影曲线,Oz面上的投影曲线, ∫R(y,x)=0 ∫T(x,z)=0 =0 =0 上页
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 = = 0 ( , ) 0 x R y z = = 0 ( , ) 0 y T x z yoz 面上的投影曲线, xoz 面上的投影曲线, = = 0 ( , ) 0 z H x y 空间曲线在 xoy 面上的投影曲线
x2+y2+x=1 上例4求曲线{1 在坐标面上的投影 2 解(1)消去变量后得 3 r ty 在xOy面上的投影为 3 0.5 x ty= z=0 上页
例4 求曲线 在坐标面上的投影. = + + = 2 1 1 2 2 2 z x y z 解 （1）消去变量z后得 , 4 2 2 3 x + y = 在 xoy 面上的投影为 , 0 4 2 2 3 = + = z x y
1 (2)因为曲线在平面z=上, 2 所以在x0面上的投影为线段 2,|x|≤ 2 y=0 (3)同理在yz面上的投影也为线段 2, 3 ly|≤ 2 = 0 上页
所以在 xoz 面上的投影为线段. ; 2 3 , | | 0 2 1 = = x y z （3）同理在 yoz 面上的投影也为线段. . 2 3 , | | 0 2 1 = = y x z （2）因为曲线在平面 上， 2 1 z =