北京交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 矩阵 3.5 分块矩阵

3.5分块矩阵 3.5.1分块矩阵的概念 3.5.2分块矩阵的运算 3.5.3分块矩阵的逆矩阵 上页

3.5 分块矩阵 3.5.1 分块矩阵的概念 3.5.2 分块矩阵的运算 3.5.3 分块矩阵的逆矩阵

生3.51分块矩阵的概念 对于行数和列数较高的矩阵A,为了 简化运算,经常采用分块法,使大矩阵的 平运算化成小矩阵的运算具体做法是:将 庄矩阵4用若于条纵线和横线分成许多个小 矩阵,每一个小矩阵称为A的子块,以子 牛块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 上页

对于行数和列数较高的矩阵 ，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为 的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. A A A 3.5.1 分块矩阵的概念

a100 0 a00 例A BBB 2 10b1 011b B 0a00 4= B 011b 上页

, 321   = BBB   = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 例   A = a 1 0 0b a 0 1 1 0 0 0 0 1 1 b   = B 1 B 2 B 3 即

a100 0a:0 0(C1C2 即 10b1|(C;C 011b a100 0a00 CC 10b1 3 011b 00 l:00 a:0 A=………… (29 0:b1 011b 上页

              = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 , 3 4 1 2       = C C C C       =               A = a 1 C1 0 0 C2 0 1 1 0 0 a C3 b b 1 1 0 0 C4 即 ,      = E B A O               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0       = a a A 0 1 其中       = b b B 1 1       = 0 1 1 0 E       = 0 0 0 0 O

士 ′a:10:0 0:a:00 =(41A2A3A)其中A 1:0b1 01:1b (按列分块) a100 02004其中狗身 10b1 011b)(4 (按行分块) 上页

( ), = A1 A2 A3 A4               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0               = 0 1 0 1 a 其中A               = 1 0 1 2 a A               = 1 0 0 3 b A               = b A 1 0 0 4 （按列分块） , 4 3 2 1               = A A A A               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 ( 1 0 0) 其中A1 = ( a0 0 0) A2 = (1 0 a 1) AA3 = (0 1 b 1 b) 4 = （按行分块）

王3.52分块矩阵的运算 (1)设矩阵4与B的行数相同列数相同,采用 相同的分块法,有 B B A B B sI B 王其中4与的行数相同列数相同那末 A41+B A,.+ 1r a+B A31+B,1…Ay+B3r 上页

( ) 相同的分块法 有 设矩阵 与 的行数相同 列数相同 采用 , 1 A B , , 其中Aij与Bij的行数相同,列数相同,那末 . 1 1 1 1 1 1 1 1           + + + + + = s s sr sr r r A B A B A B A B A B               =           = s sr r s sr r B B B B B A A A A A         1 1 1 1 1 1 1 1 , 3.5.2 分块矩阵的运算

2) 设 :,k为数那末 4 41 k 4 kA= k

(2)设 , 为 数,那 末 1 1 1 1 k A A A A A s s r r           =     . 1 1 1 1           = s s r r kA kA kA kA kA    

(3)设4为m×矩阵B为xn矩阵分块成 / B t 11 BI 9 SI B t1 B st tr 其中An,42,,A4的列数分别等子B1,B2;…,Bn 工工工 的行数那末 11 Ir AB= C Sr 其中Cn=∑AkB6(=1,…,sj=1,…, k=1

(3)设A为ml矩阵,B为l n矩阵,分块成 , , 1 1 1 1 1 1 1 1           =           = t tr r s st t B B B B B A A A A A         的行数 那 末 其 中 的列数分别等于 , , , , , , , Ai1 Ai 2  Ai t B1 j B2 j  Bi j           = s sr r C C C C AB     1 11 1 ( 1, , ; 1, , ). 1 C A B i s j r k j t k i j =  i k =  =  = 其 中

A1…A1 LAt 王()设4-氵 则A T Ir (5)设4为阶矩阵若4的分块矩阵只有在主对角线 上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都 是方阵即 A1 A2 A 上页

( ) 是方阵即 上有非零子块 其余子块都为零矩阵 且非零子块都 设 为 阶矩阵 若 的分块矩阵只有在主对角线 . , , 5 A n , A , 2 1               = As A A A  O O (4) , 1 1           = Asr A A     设 A1r As1 . 11           = T sr T T A A A     则 T As1 T A1r T As1 T A1r . 11           = T sr T T A A A     则

A= (AA O 午其中4(=12,)都是方阵那末称4为分块 对角矩阵. A分块对角矩阵的行列式具有下述性质: A=A142…A, 上页

, 2 1               = As A A A  O O ( ) . 1,2, , 对角矩阵 其中 Ai i = s 都是方阵 那末称 A为分块 . A = A1 A2  As 分块对角矩阵的行列式具有下述性质: