经济数学基础 第三章导数的应用 第三单元导数在经济分析中的应用 第一节际与际分祈 学习目标 通过本节课学习,了解边际成本、边际收入、边际利润的概念,会求成本、收 入、利润等经济函数的边际值和边际函数 二、内容讲解 边际与边际分析 定义3.4—边际成本 在引进导数概念时,我们已经接触过边际成本概念,譬如说在连续化生产的 工厂中,可以知道总成本与总产量之间的函数关系,由此可以求出平均成本,即 总成本除总产量就是平均成本.同时又引进了边际成本的概念,就是总产量达到 定时刻,再增加生产一个单位产量时,单位成本增加量.下面具体看一个例子 C(a q产量:C(q)成本函数:q—平均成本函数 C(q)产量为9时的边际成本函数 经济意义:产量为q时,再生产一个单位产品所增加的成本 定义3.5——边际收入 收入是销售量或产量的函数,因此也就有总收入、平均收入、边际收入等函数.设q R(q 销售量;A(q)-一收入函数:q一—平均收入函数 R(q)一销售量为时的边际收入函数 106
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——106—— 第三单元 导数在经济分析中的应用 第一节 边际与边际分析 一、学习目标 通过本节课学习，了解边际成本、边际收入、边际利润的概念，会求成本、收 入、利润等经济函数的边际值和边际函数． 二、内容讲解 边际与边际分析 定义 3.4——边际成本 在引进导数概念时，我们已经接触过边际成本概念，譬如说在连续化生产的 工厂中，可以知道总成本与总产量之间的函数关系，由此可以求出平均成本，即 总成本除总产量就是平均成本．同时又引进了边际成本的概念，就是总产量达到 一定时刻，再增加生产一个单位产量时，单位成本增加量．下面具体看一个例子． q ——产量； C(q)——成本函数； q C(q) ——平均成本函数 C(q)——产量为 q 时的边际成本函数 经济意义：产量为 q 时，再生产一个单位产品所增加的成本. 定义 3.5——边际收入 收入是销售量或产量的函数，因此也就有总收入、平均收入、边际收入等函数．设 q ——销售量； R(q) ——收入函数； q R(q) ——平均收入函数 R(q) ——销售量为 q 时的边际收入函数
经济数学基础 第三章导数的应用 经济意义:销售量为q时,再生产一个单位商品所增加的收入 定义3.6——边际利润 想一想利润是怎样产生的? 已知成本Cq),收入(q),那么利润(q)=R(q)-C(q) 且边际利润L(q)=R(q)-C(q) 想一想边际利润的经济意义是什么? 这堂课我们讲了三个问题,即: 成本函数的导数称为边际成本; 收入函数的导数称为边际收入; 利润函数的导数称为边际利润. 思考题:当边际利润大于0,即1(40)>0的意义是什么? 答案:关于利润凵q),若1(40)>0,即在销售量为9时的边际利润大于 它意味着增加销售量,利润还能增加 问题思考:平均成本与边际成本有何区别? 平均成本C是在不同的产量下每单位产量的成本,它是产量在范围0,q]内的平均.边际成 本C是产量为q单位时,成本C(q)的增量△C与产量的增量4q的比值当A0时的取值, 也就是产量为9单位时总成本C(q)的瞬时变化率 、例题讲解 例1一企业的每日成本C(千元是日产量q(台)的函数C(q)=40024+5q, 求:(1)当产量为400台时的成本;(2)当产量为400台时的平均成本;(3)当 产量由400台增加到484台时的平均成本;(4)当产量为400台时的边际成本
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——107—— 经济意义：销售量为 q 时，再生产一个单位商品所增加的收入. 定义 3.6——边际利润 想一想利润是怎样产生的？ 已知成本 C(q) ，收入 R(q) ，那么利润 L(q) = R(q) − C(q) 且边际利润 L(q) = R(q) − C(q) 想一想边际利润的经济意义是什么？ 这堂课我们讲了三个问题，即： 成本函数的导数称为边际成本； 收入函数的导数称为边际收入； 利润函数的导数称为边际利润． 思考题：当边际利润大于 0，即 L(q0 ) 0 的意义是什么？ 答案：关于利润 L(q) ，若 L(q0 ) 0 ，即在销售量为 0 q 时的边际利润大于 0， 它意味着增加销售量，利润还能增加. 问题思考：平均成本与边际成本有何区别？ 平均成本 C 是在不同的产量下每单位产量的成本，它是产量在范围[0，q ]内的平均．边际成 本 C 是产量为 q 单位时，成本 C(q) 的增量 C 与产量的增量 q 的比值当 q →0 时的取值， 也就是产量为 q 单位时总成本 C(q) 的瞬时变化率． 三、例题讲解 例 1 一企业的每日成本 C （千元）是日产量 q （台）的函数 C(q) = 400 + 2q + 5 q ， 求：（1）当产量为 400 台时的成本；（2）当产量为 400 台时的平均成本；（3）当 产量由 400 台增加到 484 台时的平均成本；（4）当产量为 400 台时的边际成本
经济数学基础 第三章导数的应用 解(1)当产量为400合时的成本为:C(400=400+2×4005400=1300(千元) C(400)130 =3.25 (2)当产量为400台时的平均成本为:400400 (千元/台) (3)当产量由400台增加到484台时的平均成本: C(484)-C(400)1478-1300 2.119 484-400 484-400 (千元/台 C(q)=(400+2q+5q)y=2+ (4)当产量为400台时的边际成本为 C(400)=2+ 5 =2.12 所以, (千元/台) 例2某产品的销售量q与单位价格P之间的关系为9=1200-3p (1)写出收入函数R与9之间的关系 (2)计算销售量达到300时的收入 (3)销售量由300增加至360时,收入增加了多少? (4)在这个过程中平均多销售一单位时,收入增加多少 (5)求销售量为300时的边际收入 解:(1)收入函数R与q之间的关系为:(q)=p=1(1200-9)=400-2q R(300)=400×300-×3002 (2)销售量达到300时,收入为: 90000 (3)销售量由300增加至360时,收入增加了:R(360)-(300=1008009000 (4)在这个过程中平均多销售一单位时,收入将增加: 108
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——108—— 解（1）当产量为 400 台时的成本为： C(400) = 400 + 2 400 + 5 400 =1300(千元) （2）当产量为 400 台时的平均成本为： 3.25 400 1300 400 (400) = = C (千元/台) （3）当产量由 400 台增加到 484 台时的平均成本： 2.119 484 400 1478 1300 484 400 (484) (400) = − − = − C − C (千元/台) （4）当产量为 400 台时的边际成本为： q C q q q 2 5 ( ) = (400 + 2 + 5 ) = 2 + 所以， 2.125 2 400 5 C(400) = 2 + = (千元/台) 例 2 某产品的销售量 q 与单位价格 p 之间的关系为 q = 1200 − 3p （1）写出收入函数 R 与 q 之间的关系； （2）计算销售量达到 300 时的收入； （3）销售量由 300 增加至 360 时，收入增加了多少？ （4）在这个过程中平均多销售一单位时，收入增加多少？ （5）求销售量为 300 时的边际收入． 解：（1）收入函数 R 与 q 之间的关系为： 2 3 1 (1200 ) 400 3 1 R(q) = pq = − q q = q − q （2）销售量达到 300 时，收入为： 2 300 3 1 R(300) = 400300 − =90000 （3）销售量由 300 增加至 360 时，收入增加了： R(360) − R(300) =100800-90000 （4）在这个过程中平均多销售一单位时，收入将增加：
经济数学基础 第三章导数的应用 R(360)-R(300)10800 =180 360-300 R(q)=(400q-q2)=400-q (5)因为 所以,销售量为300时,边际收入为:R(300=200 例3某企业每天的产量均能售出,售价为490元/吨,其每日成本C与每日产量 q之间的函数为C(q)=2000+4504+002q (1)写出收入函数 (2)写出利润函数 (3)求利润函数的导数,并说明其经济意义 解(1)收入函数为:R(q)=490g (2)利润函数为:L(q)=R(q)-C(q)=490g-(2000+4509+0024) 2000+40g-0.02q (3)利润函数的导数为:L(q)=(-200040g-029)=40-0.04 利润函数的导数称为边际利润,其经济意义为:当产量达到q时,再增加单位 产量后利润的改变量 例4某厂每月生产q(百件产品的总成本为C(q)=q+29+100(千元).若每百件的 销售价格为4万元,试写出利润函数1(q),并求当边际利润为0时的月产量 解:已知q(百件),C(q)=q+2q+100(千元),P=40(千元/百件) (1)利润函数为:L(q)=40q-(q2+2q+100 (2)边际利润为1(q)=40-(2q+2)=38-2q -109
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——109—— 180 60 10 800 360 300 (360) (300) = = − R − R （5）因为 R q q q q 3 2 ) 400 3 1 ( ) (400 2 = − = − 所以，销售量为 300 时，边际收入为： R(300) = 200 例 3 某企业每天的产量均能售出，售价为 490 元/吨，其每日成本 C 与每日产量 q 之间的函数为 2 C(q) = 2000 + 450q + 0.02q （1）写出收入函数； （2）写出利润函数； （3）求利润函数的导数，并说明其经济意义. 解（1）收入函数为： R(q) = 490q （2）利润函数为： ( ) ( ) ( ) 490 (2000 450 0.02 ) 2 L q = R q −C q = q − + q + q 2 = −2000 + 40q − 0.02q （3）利润函数的导数为： L (q) ( 2000 40q 0.02q ) 40 0.04q 2 = − + − = − 利润函数的导数称为边际利润，其经济意义为：当产量达到 q 时，再增加单位 产量后利润的改变量. 例 4 某厂每月生产 q (百件)产品的总成本为 = + 2 C(q) q 2q +100 (千元).若每百件的 销售价格为 4 万元，试写出利润函数 L(q) ，并求当边际利润为 0 时的月产量. 解：已知 q (百件)， ( ) 2 100 2 C q = q + q + (千元)， p = 40 (千元/百件) （1）利润函数为： L(q) = 40 ( 2 100) 2 q − q + q + （2）边际利润为 L(q) = 40 - (2q +2) = 38 − 2q
经济数学基础 第三章导数的应用 令1(q)=0,即1(q)=38-2g=0,得q= 请大家从上述例题中归纳边际函数与导数的关系 四、课堂练习 某种产品的收入R(元)是产量q(吨)的函数(9)=800-9(q20)求:(1) 生产200吨该产品时的收入;(2)生产200吨到300吨时收入的平均变化率;(3) 生产200吨时的边际收入 分析:求产量为9=20吨时的收入,只需将q=200代入收入函数Rq800-g 求 求产量从200吨到300吨时的收入的平均变化率,只需先分别求出产量为200吨时的收入,产 △R(q)R(300)-R(200) 量为300吨时的收入,然后利用平均变化率公式△ 300-200求之.求产量为 q=200吨时的边际收入,只需先求出边际收入函数R(q),然后将q=200代入边际收入函 数R(q),求出R(200 五、课后作业 1.某工厂每日产品总成本C(百元)与日产量q(kg)的关系为C(q=4q+2vq+500 求日产量为900kg时的边际成本 2.某厂每月生产q(百件)产品的总成本为C(q)=q2+2q+100(千元).若每百件的 销售价格为4万元,试写出利润函数L(q),并求当边际利润为0时的月产量 1.30百元kg,;2.L(q)=389-q2-100,g=19百件 0—
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——110—— 令 L(q) = 0 ，即 L(q) = 38 − 2q = 0 ，得 q = 19 请大家从上述例题中归纳边际函数与导数的关系. 四、课堂练习 某种产品的收入 R（元）是产量 q（吨）的函数 ( 0) 4 ( ) 800 2 = − q q R q q 求:（1） 生产 200 吨该产品时的收入；（2）生产 200 吨到 300 吨时收入的平均变化率；（3） 生产 200 吨时的边际收入． 分析：求产量为 q = 200 吨时的收入，只需将 q = 200 代入收入函数 R(q) = 4 800 2 q q − 求之； 求产量从 200 吨到 300 吨时的收入的平均变化率，只需先分别求出产量为 200 吨时的收入，产 量为 300 吨时的收入，然后利用平均变化率公式 q R q ( ) = 300 200 (300) (200) − R − R 求之．求产量为 q = 200 吨时的边际收入，只需先求出边际收入函数 R(q) ，然后将 q = 200 代入边际收入函 数 R(q) ，求出 R(200)． 五、课后作业 1.某工厂每日产品总成本 C（百元）与日产量 q（kg）的关系为 C(q)=4q+ 2 q +500 求日产量为 900kg 时的边际成本． 2.某厂每月生产 q（百件）产品的总成本为 C(q)=q 2+2q+100（千元）．若每百件的 销售价格为 4 万元，试写出利润函数 L(q)，并求当边际利润为 0 时的月产量． 1. 30 1 4 百元/kg.；2. ( ) 38 100 2 L q = q − q − , q = 19 百件
经济数学基础 第三章导数的应用 郭二节姗求价裕殚忪 学习目标 通过本节课学习,了解需求弹性的概念,会求需求价格弹性. 二、内容讲解 定义3.7——需求价格弹性 设某产品的单位售价p,该产品市场需求量q,则它的需求函数为q=q(p) 需求函数的导数为:q(p) 价格由p增加到叶△p,则需求由q(p)增加到qp+△p) q(p+Ap)-qp) 价格提高的百分比P,需求改变的百分比9(P) 两个百分数之比(平均比率) 瞬时比率,即当Δp>0时,对需求影响的百分比为 q(p+Ap)-q(p) 4+0q(P) =p)9(P 称为需求价格弹性,简称需求弹性,记为E 边际问题和经济分析中的最值 边际成本、边际收入、边际利润;经济应用中的平均成本最小,收入、利润 最大的问题 需求价格弹性一一需求的变化是依赖于价格变化的,即当价格提高1%时,需 求的变化是百分比 问题思考:请写出需求价格弹性公式,解释它的经济意义
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——111—— 第二节 需求价格弹性 一、学习目标 通过本节课学习，了解需求弹性的概念，会求需求价格弹性． 二、内容讲解 定义 3.7——需求价格弹性 设某产品的单位售价 p，该产品市场需求量 q，则它的需求函数为 q=q(p) 需求函数的导数为： q (p) 价格由 p 增加到 p+ p，则需求由 q(p)增加到 q(p+ p)． 价格提高的百分比 p p ，需求改变的百分比 ( ) ( ) ( ) q p q p + p − q p 两个百分数之比（平均比率） 瞬时比率，即当 p→0 时，对需求影响的百分比为 p q p p q p q p p p + − → ( ) ( ) ( ) lim 0 = ( ) ( ) q p q p p =Ep 称为需求价格弹性，简称需求弹性，记为 Ep． 边际问题和经济分析中的最值 边际成本、边际收入、边际利润；经济应用中的平均成本最小，收入、利润 最大的问题． 需求价格弹性——需求的变化是依赖于价格变化的，即当价格提高 1%时，需 求的变化是百分比． 问题思考：请写出需求价格弹性公式，解释它的经济意义．
经济数学基础 第三章导数的应用 需求价格弹性的公式是E=9)) 经济意义是:当价格下降(上升)1%时,需求将 增加(减少)的百分比 三、例题讲解 例1已知需求量q(单位:百件),价格p(单位:千元),需求价格函数为 q(p)=15e3,p∈[3,10],求当p=9时的需求弹性 P 解:因为E=q(P) 15e 所以E(9 例2已知需求函数qp=150-2p2,p∈(0,8), (1)求需求弹性;(2)问p取何值时,E为单位弹性,缺乏弹性,富有弹性 2 2 解:由75-P得p=5:由75-p2得0p×5:由75-P得5y8 即当p=5时,E为单位弹性;当01时,称为富有弹性,即商品需求量的相对变化大于价格的相对变化,此时价格的变化 对需求量的影响较大 例3已知成本函数为C(q)=ag3-bq2+cq,求使平均成本最小的产量,其中a,b,c>0 2
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——112—— 需求价格弹性的公式是 Ep= ( ) ( ) q p q p p 经济意义是：当价格下降（上升）1%时，需求将 增加（减少）的百分比． 三、例题讲解 例 1 已知需求量 q（单位：百件），价格 p（单位：千元），需求价格函数为： q(p)=15 3 e p − ，p [3，10]，求当 p =9 时的需求弹性． 解：因为 Ep= ( ) ( ) q p q p p 3 ) e 3 1 15 ( 15e 3 3 p P p p = − = − − − 所以 Ep(9)=- 3 9 = -3 例 2 已知需求函数 q(p)=150-2p 2，p (0，8)， （1）求需求弹性；（2）问 p 取何值时，Ep 为单位弹性，缺乏弹性，富有弹性． 解：由 1 75 2 2 2 = − − p p 得 p=5；由 1 75 2 2 2 − − p p 得 01 时，称为富有弹性，即商品需求量的相对变化大于价格的相对变化，此时价格的变化 对需求量的影响较大． 例 3 已知成本函数为 C(q)=aq3 -bq2+cq，求使平均成本最小的产量,其中 a,b,c>0．
经济数学基础 第三章导数的应用 b 解:平均成本为C(q)=ag2by+c:C(g)=2agrb;令C(q2ag-b=0,得驻点2a 由于q=b是平均成本函数惟一驻点,且最小值确实存在,故q=b是使平均成本最 小的产量 四、课堂练习 某种产品的销售量q与价格p之间的关系为q=-2,求需求弹性E,如果销 售价格Pa=1/2,试确定Ep的值. 由需求弹性公式Ep=qq(p)可知,求一种商品需求弹性时,首先求出它的边际需求,然后代入 需求弹性公式,就可得到这种商品的需求弹性.利用导数除法运算法则v 求之 五、课后作业 某产品的销售量q与价格p间的关系式为a21-p,求需求弹性P·如 果销售价格为0.5,试确定Ep的值. 2设某商品需求量q对价格p的弹性为n=2phn2,求销售收入R=pg对价格 P的弹性 3.设生产某种产品q单位的生产费用为C(q)=900+20g+q2.问q为多少时, 能使平均费用最低?最低的平均费用是多少? 4.设某产品销售q单位的收入为R(q=400qq2-900,求使平均收入最大的销 售量q,并求最大平均收入
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——113—— 解：平均成本为 C (q)=aq2 -bq+c； C (q)=2aq-b；令 C (q)=2aq-b=0，得驻点 q= a b 2 . 由于 q= a b 2 是平均成本函数惟一驻点，且最小值确实存在，故 q= a b 2 是使平均成本最 小的产量． 四、课堂练习 某种产品的销售量 q 与价格 p 之间的关系为 p p q − = 1 ，求需求弹性 Ep．如果销 售价格 P0=1/2，试确定 Ep 的值． 由需求弹性公式 Ep= q p q (p)可知，求一种商品需求弹性时，首先求出它的边际需求，然后代入 需求弹性公式，就可得到这种商品的需求弹性．利用导数除法运算法则 ( ) u v u v uv v = − 2 求之． 五、课后作业 1．某产品的销售量 q 与价格 p 间的关系式为 p p q − = 1 ，求需求弹性 Ep ．如 果销售价格为 0.5，试确定 EP 的值． 2．设某商品需求量 q 对价格 p 的弹性为 Ep =-2pln2，求销售收入 R=pq 对价格 p 的弹性． 3．设生产某种产品 q 单位的生产费用为 C(q)=900+20q+q 2．问 q 为多少时， 能使平均费用最低？最低的平均费用是多少？ 4．设某产品销售 q 单位的收入为 R(q)=400q–q 2 -900，求使平均收入最大的销 售量 q，并求最大平均收入．
经济数学基础 第三章导数的应用 最大的 AP-/2:2.1-2pl2,3.30个单位,最低的平均费用为80:4.30个单位, 均收入为340 114
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——114—— 1． 2 1 1 − P − ；2．1− 2 p ln 2 ；3．30 个单位，最低的平均费用为 80.；4．30 个单位， 最大的平均收入为 340