经济数学基础 第4章多元函数的微分 第一单元二元函数及其偏导数 第一节二元函数的概念 学习目标 通过本节的学习,理解二元函数的概念、能在生活具体事物中抽象出二元函数 的概念,会求二元函数的定义域、了解二元函数的几何意义 二、内容讲解 1.多元函数的概念 多元函数与一元函数类似,学习时应注意比较 元函数是含有一个自变量的函数:y=f(x) 多元函数是含有多个自变量的函数.例如 元函数:=f(xy),三元函数:=f(xy)等等 2.二元函数的几何意义 一元函数y=f(x)在直角坐标系O-x中,通常表示一条曲线.而二元函数 2=f(x,y)在直角坐标系O-x中,通常表示一张曲面 例如 表示中心在O,半径为a的上半球面 2表示椭圆抛物面 2=√x+y表示上半圆锥面 问题思考:二元函数与一元函数的共同点是什么?区别是什么?
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——117—— 第一单元 二元函数及其偏导数 第一节 二元函数的概念 一、学习目标 通过本节的学习，理解二元函数的概念、能在生活具体事物中抽象出二元函数 的概念，会求二元函数的定义域、了解二元函数的几何意义． 二、内容讲解 1.多元函数的概念 多元函数与一元函数类似，学习时应注意比较． 一元函数是含有一个自变量的函数： y = f (x) 多元函数是含有多个自变量的函数．例如： 二元函数： z = f (x, y) ，三元函数： u = f (x, y,z) 等等． 2.二元函数的几何意义 一元函数 y = f (x) 在直角坐标系 o − xy 中，通常表示一条曲线．而二元函数 z = f (x, y) 在直角坐标系 o − xyz 中，通常表示一张曲面． 例如： 2 2 2 z = a − x − y 表示中心在 o ，半径为 a 的上半球面． 2 2 2 y z = x + 表示椭圆抛物面． 2 2 z = x + y 表示上半圆锥面． 问题思考：二元函数与一元函数的共同点是什么？区别是什么？
经济数学基础 第4章多元函数的微分 答案:二元函数与一元函数的共同点:都是描述变量之间的对应关系,值域 都是数轴上的点组成的集合;二元函数与一元函数的区别:一元函数的定义域是数 轴(直线)上的点组成的集合,二元函数的定义域是平面直角坐标系(平面)上的 点组成的集合 三、例题讲解 v==h 例1如果圆锥体底半径为r,高为h,则其体积 它是二元函数.其 中,7和h是自变量,T是因变量(函数),定义域:D=b>0h>0 例2黑白电视:在1时刻屏幕上坐标为(xy)处的灰度为:=(xy,),它 是三元函数 例3在一个有火炉的房间里,在时刻,点(x,y,2)处的温度是xy,,的函 数:a=(x,y=1)称为温度分布函数,它是四元函数 例4:求函数 2-y2的定义域 解:a2-x2-y20,定义域为D=kxy)2+y2sa2 例5求 的定义域 0 解:由所给函数,对数真数为正,又分母根式为正,有 x+y>0 即 D=(x,yly>0,x+y 四、课堂练习
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——118—— 答案 ：二元函数与一元函数的共同点：都是描述变量之间的对应关系，值域 都是数轴上的点组成的集合；二元函数与一元函数的区别：一元函数的定义域是数 轴（直线）上的点组成的集合，二元函数的定义域是平面直角坐标系（平面）上的 点组成的集合． 三、例题讲解 例 1 如果圆锥体底半径为 r ,高为 h ，则其体积 v r h 2 3 1 = ，它是二元函数.其 中， r 和 h 是自变量， v 是因变量（函数）.定义域： D = (r,h)r 0,h 0 . 例 2 黑白电视：在 t 时刻屏幕上坐标为 (x, y) 处的灰度 z 为： z = z(x, y,t) ，它 是三元函数. 例 3 在一个有火炉的房间里，在 t 时刻，点 (x, y,z) 处的温度 u 是 x, y,z,t 的函 数： u = u(x, y,z,t) 称为温度分布函数，它是四元函数． 例 4: 求函数 2 2 2 z = a − x − y 的定义域． 解： 0 2 2 2 a − x − y ，定义域为 2 2 2 D = (x, y) x + y a 例 5 求 y x y z ln( + ) = 的定义域． 解：由所给函数，对数真数为正，又分母根式为正，有 + 0 0 x y y ，即 D = (x, y) y 0, x + y 0 四、课堂练习
经济数学基础 第4章多元函数的微分 练习1函数、(x+y)的定义域为 (分析:求函数定义域的方法、步骤与一元函数是一致的.即如果函数是有意 义的,那么根据实际问题的意义来决定函数的定义域;否则,根据函数的解析表达 式,求出使解析表达式有意义的自变量的取值范围就是函数的定义域.具体说有以 下几个常用原则:(1)分母≠0;(2)偶次根号内的代数式≥0;(3)对数中的 真数>0;(4)如果一个函数是由几个函数经过加、减、乘、除或复合运算后得到 的,则该函数的定义域就是这些部分函数定义域的公共部分,即交集.(5)分段 函数的定义域是各段函数定义域的全体组成,即并集 练习2若函数(x,y)=xy,则f(x+y,x-y)= (分析:求函数值与一元函数类似如函数(x)=2x表示一种倍数关系;二元函数 也是一种对应关系,只是情况稍复杂些,函数f(x,y)=x表示了两个变量相乘的对 应关系f(.)=00∞:f(x+y=x-y 五、课后作业 二元函数=(1-x-y)的定义域为() A) 0<x+y<1 B) 0≤x+y<1 ;D)+y≤1 2.二元函数=√=x2y2的定义域为 3.已知=f(a)=n,求f(x+yxy) 答案1.C;2.x+ys1;3.(x+y) 119
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——119—— 练习 1 函数 ln( ) 1 x y z + = 的定义域为 ． （分析：求函数定义域的方法、步骤与一元函数是一致的．即如果函数是有意 义的，那么根据实际问题的意义来决定函数的定义域；否则，根据函数的解析表达 式，求出使解析表达式有意义的自变量的取值范围就是函数的定义域．具体说有以 下几个常用原则：（1）分母 0；（2）偶次根号内的代数式 0 ；（3）对数中的 真数 0；（4）如果一个函数是由几个函数经过加、减、乘、除或复合运算后得到 的，则该函数的定义域就是这些部分函数定义域的公共部分，即交集．（5）分段 函数的定义域是各段函数定义域的全体组成，即并集．） 练习 2 若函数 f (x, y) = xy，则 f(x+y,x-y)= . （分析：求函数值与一元函数类似．如函数 f (x) = 2x 表示一种倍数关系；二元函数 也是一种对应关系，只是情况稍复杂些，函数 f (x, y) = xy 表示了两个变量相乘的对 应关系 f ((), ) = ()• 2 2 f ((x + y), x − y ) = (x + y)• x − y = x − y ）． 五、课后作业 1.二元函数 z = ln(1− x − y) 的定义域为（ ）． A) 0 x + y 1 ；B) 0 x + y 1 ；C) x + y 1 ；D) x + y 1 2.二元函数 2 2 z = 1− x − y 的定义域为 ． 3．已知 v z = f (u,v) = u ，求 f (x + y, xy) ． 答案 1．C；2． 1 2 2 x + y ；3． xy (x + y)
经济数学基础 第4章多元函数的微分 120—
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——120——
经济数学基础 第4章多元函数的微分 郭二节瘺导数与全激分 、学习目标 通过本节课的学习,弄清偏导数与全微分的概念,能熟练求解二元函数(表 达式中不带函数符号)的偏导数与全微分 二、内容讲解 1.偏导数 二元函数=f(x,y)在点(x)处关于x的偏导数 lim /(xo + Ax, yo)-/(o, yo) (注意到:y取值不变,恒为y0) 记作:ax或f(xn,y) ∫(x0,yo+△y)-f(xo,y) 类似地,关于y的偏导数 例如 ∫(x,y)=3xcos3y 2=m(0=303y0 求偏导数,包括两个偏导数,一个是对x求偏导,一个是对y求偏导.对x求 偏导时,应把y看作常数这样就变为了一元函数,于是就可以用一元函数的微 分法求导数了.对y求偏导也类似
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——121—— 第二节 偏导数与全微分 一、学习目标 通过本节课的学习，弄清偏导数与全微分的概念，能熟练求解二元函数（表 达式中不带函数符号）的偏导数与全微分. 二、内容讲解 1.偏导数 二元函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处关于 x 的偏导数 x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 （注意到： y 取值不变，恒为 0 y ） 记作： ( , ) 0 0 x y x z 或 ( , ) 0 0 f x y x . 类似地，关于 y 的偏导数： y f x y y f x y y + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 例如： z x sin 3y 2 = f x y x y y z y ( , ) 3 cos3 2 = = 3 (1,0) 3 cos3 (1,0) 2 (1,0) = = = f x y y z y 求偏导数，包括两个偏导数，一个是对 x 求偏导，一个是对 y 求偏导.对 x 求 偏导时，应把 y 看作常数.这样 z 就变为了一元函数，于是就可以用一元函数的微 分法求导数了.对 y 求偏导也类似
经济数学基础 第4章多元函数的微分 注意:一元函数y=(x)在x处可导,则在x处连续.多元函数=f(xy)在 (xo,y)可导与在(xoy)连续,二者不能互推 2.全微分 z=f(x,y)称 为函数=f(xy)在点(x,y)处的全微分 题思考:二元函数在一点可微与在该点偏导数存在的关系和一元函数有什 么不同? 答案一元函数在一点可微与在该点导数存在的关系是两者等价;二元函数在一点可微与 在该点偏导数存在的关系是:可微则偏导数存在,偏导数存在不一定可微 例题讲解 例1:求=f(x,y)=xsm3在点10)处关于x的偏导数 解:将y看作常数 2 2x sin 3y (1,0) y 例2:求 x在点(1-1)处的全微分 y 2 解: x(a,-1) (1,-1) 因此,d=-dx+2d 122
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——122—— 注意：一元函数 y = f (x) 在 0 x 处可导，则在 0 x 处连续.多元函数 z = f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 可导与在 ( , ) 0 0 x y 连续，二者不能互推. 2.全微分 z = f (x, y) 称 y y z x x z y y z x x z z d d d + = + = 为函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处的全微分. 问题思考：二元函数在一点可微与在该点偏导数存在的关系和一元函数有什 么不同？ 答案 一元函数在一点可微与在该点导数存在的关系是两者等价；二元函数在一点可微与 在该点偏导数存在的关系是：可微则偏导数存在，偏导数存在不一定可微． 三、例题讲解 例 1: 求 z f (x, y) x sin 3y 2 = = 在点 (1,0) 处关于 x 的偏导数. 解：将 y 看作常数 x y x z = 2 sin 3 ， 2 sin 3 0 (1,0) (1,0) = = x y x z 例 2: 求 x y z = x y + 2 在点 (1,−1) 处的全微分. 解： (2 ) 2 1 1 (1, 1) 2 (1, 1) = − = − + = − − − x y x y x z ， ) 2 1 ( (1, 1) 2 (1, 1) = + = − − x x y z 因此， dz = −dx + 2dy
经济数学基础 第4章多元函数的微分 五、课后作业 练习1若=xe,则ax (求偏导数,包括两个偏导数,一个是对x求偏导,一个是对y求偏导.对x求偏导时, 应把y看作常数这样〓就变为了一元函数,于是就可以用一元函数的微分法求导数了对y 求偏导时,应把x看作常数.求Ox,视y为常数,即对x求导数,且是乘积求 a(xy) =e + xe x'e +x(e )=e +xye 练习2若=x,则y 求偏导数,包括两个偏导数,一个是对x求偏导,一个是对y求偏导对x求偏导时,应 把看作常数这样就变为了一元函数,于是就可以用一元函数的微分法求导数了对y求 偏导时,应将x看作常数,一元函数求导公式:(a)=aha,即9hx 五、课后作业 1若二=e2),则②().A)e2-);B-e2-):)-2ye-:D)e2y 2若=c09(2y-x),求z的偏导数 3.已知=e”,求( 4.已知==esmy,求d 123
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——123—— 五、课后作业 练习 1 若 xy z = xe ，则 = x z . （求偏导数，包括两个偏导数，一个是对 x 求偏导，一个是对 y 求偏导.对 x 求偏导时， 应把 y 看作常数.这样 z 就变为了一元函数，于是就可以用一元函数的微分法求导数了.对 y 求偏导 时，应 把 x 看作常 数. 求 x z ，视 y 为常数 ，即 对 x 求导数， 且是 乘积求 导. x xy x x z xy xy = + ( ) e e = e + (e ) xy xy x x = xy xy e + xye ） 练习 2 若 y z = x ，则 = (e,1) y z ． 求偏导数，包括两个偏导数，一个是对 x 求偏导，一个是对 y 求偏导.对 x 求偏导时，应 把 y 看作常数.这样 z 就变为了一元函数，于是就可以用一元函数的微分法求导数了.对 y 求 偏导时，应将 x 看作常数.一元函数求导公式： a a a x x ( ) = ln ，即 x x y z y = ln 五、课后作业 1.若 2 2 e x y z − = ，则 = y z （）．A) 2 2 e x − y ；B) 2 2 e x −y − ；C) 2 2 2 e x y y − − ；D) 2( ) e − x− y 2.若 z = cos(2y − x) ，求 z 的偏导数． 3．已知 xy z = e ，求 d (1,1) z ． 4．已知 z y x = e sin ，求 dz
经济数学基础 第4章多元函数的微分 az 1.C:2. e(dx +dy) ydx +e cos ydy 124
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——124—— 1．C；2. sin( 2 ); 2sin( 2y x) y z y x x z = − − = − 3. e(dx + dy) ；4. y x y y x x e sin d + e cos d