经济数学基础 第5章不定积分 第七单元分部积功法一、学习目标 通过本节课的学习,掌握不定积分的分部积分法 二、内容讲解 分部积分的方法一般是用于被积函数是两个函数乘积的形式 我们来导出分部积分公式(m)=? 对于这个问题,由导数运算法则容易得到()y=+w 上式两端积分,得 u)'dx=(uv+vu)dx 由积分与导数运算的关系及积分的性质得到m=Jmd+ 整理后得到 uv'dx =uv-vu'dx 它的另一种形式是 于是就得到分部积分公式: dy udv=uv-wdu 分部积分的关键在于 ①被积函数的一个乘积项是某个函数的导函数,即 ∫/(x) dx=undr写成∫mx v=g(或dv=gdx),可知v是8的一个原函数 ②利用分部积分公式Jamx=m-mtr 160—
经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——160—— 第七单元 分部积分法一、学习目标 通过本节课的学习，掌握不定积分的分部积分法． 二、内容讲解 分部积分的方法一般是用于被积函数是两个函数乘积的形式． 我们来导出分部积分公式 (uv) = ? 对于这个问题，由导数运算法则容易得到 (uv) = uv + vu 上式两端积分，得 (uv)dx = (uv + vu )dx 由积分与导数运算的关系及积分的性质得到 uv = uv dx + vu dx 整理后得到 uv dx = uv − vu dx 它的另一种形式是 udv = uv − vdu 于是就得到分部积分公式： uv dx = uv − vu dx udv = uv − vdu 分部积分的关键在于 ①被积函数的一个乘积项是某个函数的导函数，即 f (x)dx = ugdx 写成 uv dx v = g （或 dv = gdx ），可知 v 是 g 的一个原函数． ②利用分部积分公式 uv dx = uv − vu dx
经济数学基础 第5章不定积分 它的意义在于将x的计算转化为Jvdx的计算,如果后者的计算比前者简 单,这种方法就获得了成功.它将一个较难的积分化为一个较简单的积分 三、例题讲解 例1求 解:令l=x,V (或 (或 ),v= ldx (x-1)e+c 例2求 解:令 (或 (或 du= dx cos xdx osx+snx+C 例3求 In xdx In xdx=hn x1c 解: du=-dx 令=hx,v=1(或 xInx-x-dx xIn 例4求 In xdx 解:设l=hx,v=x(或dv=xdx (或 xIn xdx==l dx =-hn 例5求
经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——161—— 它的意义在于将 uv dx 的计算转化为 vu dx 的计算，如果后者的计算比前者简 单，这种方法就获得了成功．它将一个较难的积分化为一个较简单的积分． 三、例题讲解 例 1 求 x x x e d ． 解：令 u = x， x v = e （或 v x x d = e d ），u =1 （或 du = dx ）， x v = e x x = x − x x x x e d e e 1d x c x x = e − e + x c x = ( −1)e + 例 2 求 x sin xdx ． 解：令 u = x，v = sin x （或 dv = sin xdx ） u =1 （或 du = dx ）， v = −cos x x sin xdx = x(−cos x) − (−cos x)dx = −x cos x + cos xdx = −xcos x +sin x + c 例 3 求 ln xdx． 解： ln xdx = ln x 1dx 令 u = ln x，v =1 （或 dv =1dx ）， x u 1 = （或 x x u d 1 d = ）， v = x = = − x x x x x x x x x d 1 ln d ln 1d ln = xln x − x + c 例 4 求 x ln xdx ． 解：设 u = ln x，v = x （或 dv = xdx ）， x u 1 = （或 x x u d 1 d = ）， 2 2 x v = = − x x x x x x x x d 1 2 ln 2 ln d 2 2 c x x x = − + 2 2 1 ln 2 2 2 c x x x = − + 4 ln 2 2 2 例 5 求 − x x x e d 2 ．
经济数学基础 第5章不定积分 解:令 或dv=e-dr),u'=2x(或dn=2xdx) e-(x2+2x+2)+c 四、课堂练习 练习1求不定积分 xcos xdx cosx=(inx),再利用=-吨dn.利用分部积分法,当被积函数是幂函数和 三角函数的乘积时,用三角函数凑微分 xcos xdx=xd(sin x)=xsin x- sin xdx In x 练习2求不定积分 利用分部积分法,当被积函数是幂函数和对数函数的乘积时,用幂函数凑微分.利用分部 In 积分法x2 av=0 x,再利用 五、课后作业 求下列不定积分 (1) ∫(x+1e ;(3) (4) :(5)JIn(x+1)dr ;(6) (1)-(x+1)e +C;(2)xe+c:(3) -2x cos -+4sn -+c (4)(x2-2)mx+2xc0sx+c,(5)(x+)m(x+1)-xx++c 162
经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——162—— 解：令 2 u = x ， x v − = e （或 v x x d e d − = ），u = 2x （或 du = 2xdx ）， x v − = −e − − − x x = −x + x x x x x e d e 2 e d 2 2 − − − = −x − x + x x x x e 2 e 2e d 2 x x c x x x = − − − + − − − e 2 e 2e 2 x x c x = − + + + − e ( 2 2) 2 四、课堂练习 练习 1 求不定积分 x cos xdx． （ cos x = (sin x) ，再利用 udv = uv − vdu ．利用分部积分法，当被积函数是幂函数和 三角函数的乘积时，用三角函数凑微分． x cos xdx = xd(sin x) = x sin x − sin xdx ） 练习 2 求不定积分 x x x d ln 2 ． 利用分部积分法，当被积函数是幂函数和对数函数的乘积时，用幂函数凑微分．利用分部 积分法 = − = − + x x x x x x x x x d 1 ln 1 ) 1 d ln d( ln 2 2 ，再利用 udv = uv − vdu ． 五、课后作业 求下列不定积分： （1） − x x x e d ；（2） x + x x ( 1)e d ；（3） x x x d 2 sin ； （4） x cos xdx 2 ；（5） ln( x +1)dx ；（6） x x x d ln 2 ． （1） x c x − + + − ( 1)e ；（2） x c x e + ；（3） c x x − x + + 2 4sin 2 2 cos ； （4） (x − 2)sin x + 2x cos x + c 2 ；（5） (x +1)ln( x +1) − x + c ；（6） c x x x − − + ln 1