经济数学基础 第6章定积分 第二单元NL公式 学习目标 通过本节课的学习,理解并能熟练运用NL公式 内容讲解 N-L公式 若F(x)是f(x)的一个原函数,则 f(x)dx=F(b)-F(a)简记为F(x 对于N-L公式作几点说明: ①定积分是一个确定的数值,它不依赖于对原函数的选取, 若F(x),G(x)均为f(x)的原函数,则 F() ②在公式 f(x)dx= F(6)-F(a) ∫(x)dx=F(x)-F(a) 中如果把b换成x,就得到a 由此结果看出,定积分和变上限x之间有确定的对应关系,这就是一个函数, 即定积分可以看作积分上限的函数. 在上式左端,积分上限X与积分变量x的含义是不同的 再由等式右端可知J(x)dr 是被积函数f(x)的一个原函数 完全一样,因为 ∫(xdx=F(x)=F(0)2=」r(x 174
经济数学基础 第 6 章 定积分 ——174—— 第二单元 N-L 公式 一、学习目标 通过本节课的学习，理解并能熟练运用 N-L 公式． 二、内容讲解 1.N-L 公式： 若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则 b a b a f (x)dx = F(b) − F(a) 简记为 F(x) 对于 N-L 公式作几点说明： ①定积分是一个确定的数值，它不依赖于对原函数的选取， 即:若 F(x) , G(x) 均为 f (x) 的原函数，则 b a b a b a f (x)dx = F(x) = G(x) ②在公式 f (x)dx F(b) F(a) b a = − 中如果把 b 换成 x ，就得到 f (x)dx F(x) F(a) x a = − 由此结果看出，定积分和变上限 x 之间有确定的对应关系，这就是一个函数， 即定积分可以看作积分上限的函数． 在上式左端，积分上限 x 与积分变量 x 的含义是不同的． 再由等式右端可知 x a f (x)dx 是被积函数 f (x) 的一个原函数． ③ b a f (x)dx 与 b a f (t)dt 完全一样，因为 = = = b a b a b a b a f (x)dx F(x) F(t) f (t)dt
经济数学基础 第6章定积分 说明定积分与积分变量选取的字母无关 ④由NL公式可得 ∫f(x)dx=-J(dr ∫f(x)dx=0 、例题讲解 d: 例1计算 解:因为f(x)=x,它的一个原函数为 F(x==x 得 F(x)=-x+2 xdx=(x3+2)= 若将原函数换为 ,同样得 例2计算 解:因为f(x)=e,它的一个原函数为F(x)=e,得 e dx=e =e-e 例3计算 dx=--e-+ 解: e-2dr=、l 2√x3+1dx 例4计算 175
经济数学基础 第 6 章 定积分 ——175—— 说明定积分与积分变量选取的字母无关． ④由 N——L 公式可得 = − a b b a f (x)dx f (t)dt ( )d = 0 a a f x x 三、例题讲解 例 1 计算 1 0 2 x dx ． 解：因为 2 f (x) = x ，它的一个原函数为 3 3 1 F(x) = x ， 得 3 1 3 1 d 1 0 3 1 0 2 = = x x x 若将原函数换为 2 3 1 ( ) 3 F x = x + ，同样得 3 1 2) 3 1 d ( 1 0 3 1 0 2 = + = x x x 例 2 计算 − 2 1 e dx x ． 解：因为 x f (x) = e ，它的一个原函数为 x F(x) = e ，得 2 1 2 1 2 1 e d e e e − − − = = − x x x 例 3 计算 − − 1 1 2 e dx x ． 解： x c x x = − + − − − 2 1 1 2 e 2 1 e d 1 1 2 1 1 2 e 2 1 e d − − − − = − x x x (e e ) 2 1 2 2 = − − − 例 4 计算 + 2 0 2 3 x x 1dx ．
经济数学基础 第6章定积分 ∫x√x+ldx=a(x2+ 解: 2 +1dx=2(x3+1) xe ax 例5计算 解: J xe dx=(x-)e+c 例6计算 解 In xdx=x(n x-1)+c In xdx=x(nx- 四、课堂练习与作业 F(x)=sintd 1.设 2.利用NL公式计算下列定积分 xe d (1) (3) ;(4) (e-1) 1.2:2.(1)3(2)1(3)2 (4)21 176
经济数学基础 第 6 章 定积分 ——176—— 解： x x + x = x + + c 2 3 2 3 3 ( 1) 9 2 1d 2 0 2 3 3 2 0 2 3 ( 1) 9 2 +1d = + x x x x 9 52 = 例 5 计算 2 1 xe dx x ． 解： x x x c x x = − + e d ( 1)e 2 1 2 1 e d ( 1)e x x x x = x − 2 = e 例 6 计算 e 1 ln xdx ． 解： x x = x x − + c ln d (ln 1) e 1 e 1 ln d = (ln −1) x x x x = 1 四、课堂练习与作业 1．设 = x F x t t 0 2 ( ) sin d ，求 ) 4 ( F . 2．利用 N-L 公式计算下列定积分： （1） 1 0 2 x dx ；（2） 2 1 2 x dx ；（3） 1 0 e d 2 x x x ；（4） 2 0 cos d x x x . 1． 2 1 ；2.（1） 3 1 （2） 1 （3） (e 1) 2 1 − （4） 1 2 −