经济数学基础 第4章多元函数的微分 第一编微分学 第4章多元函数的微分 引入:如果姑妈请你吃饭 如果姑妈请你吃饭,但在一大桌子菜中,你只对以下四样感兴趣,且每样每吃 口,效用不断递减.如下表所示: 顺第第第|第|第|第第第第第 效用 三四五六|七|八九十 菜名 龙 10 9 8 65 4 2 煎蛋 4 泡菜 7 4 2 0 假如你不知“礼义廉耻”,只求自己效用最大,应当怎么吃呢? 若你的胃口很大,能够“一扫而光”,可得总效用160.但是如果你不吃效用 为负的那三口,总效用便会增加到164 若你的胃口不好,又能吃十口.如果全吃最喜欢的龙虾,吃十口的总效用是 55.但是,如果你按照每口的效用大小排序依次吃十口,则龙虾只四口,牛排吃三 口,煎蛋吃两口,泡菜吃一口.当每样菜的效用都等于7时,总效用将最大,达到 114
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——114—— 第一编 微分学 第 4 章 多元函数的微分 一、引入：如果姑妈请你吃饭 如果姑妈请你吃饭，但在一大桌子菜中，你只对以下四样感兴趣，且每样每吃 一口，效用不断递减．如下表所示： 顺序 效用 菜名 第 一 口 第 二 口 第 三 口 第 四 口 第 五 口 第 六 口 第 七 口 第 八 口 第 九 口 第 十 口 龙 虾 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 牛 排 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 煎蛋 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 泡菜 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 假如你不知“礼义廉耻”,只求自己效用最大，应当怎么吃呢？ 若你的胃口很大，能够“一扫而光”,可得总效用 160．但是如果你不吃效用 为负的那三口，总效用便会增加到 164． 若你的胃口不好，又能吃十口．如果全吃最喜欢的龙虾，吃十口的总效用是 55．但是，如果你按照每口的效用大小排序依次吃十口，则龙虾只四口，牛排吃三 口，煎蛋吃两口，泡菜吃一口．当每样菜的效用都等于 7 时，总效用将最大，达到 80．
经济数学基础 第4章多元函数的微分 这个结论来自多元函数微分学的拉格朗日乘数法犹如一顿饭吃得如何往往取 决于多样菜及其吃法一样,经济变量往往取决于多种因素,属于多元函数.要研究 这种多元函数的变化规律及最优问题,就得学习多元函数微分学 二、本章内容结构 定义域 二元函数的概念 二元函数的极限 几何意义 二元函数的连续性 复合函数的偏导数 二元函数的偏导数二元函数的全微分 隐函数的偏导数 二元函数的极值 几何中的最值问题 元函数的最值 经济分析中的最值问题 三、学习方法 本章的知识体系及结构与一元函数相似,因此,要善于将第2,3章一元函数 的相关知识推广到二元函数并做比较 多元函数微分学与一元函数微分学在本质上是一致的,其基本概念、定理、公 式与一元函数微分学更是相似,只不过情况较复杂些.因此,在学习本章之前要认 真复习第2章、第3章中的相关内容(导数、微分、函数极值等),为学好本章内 容做好必要的准备 115
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——115—— 这个结论来自多元函数微分学的拉格朗日乘数法．犹如一顿饭吃得如何往往取 决于多样菜及其吃法一样，经济变量往往取决于多种因素，属于多元函数．要研究 这种多元函数的变化规律及最优问题，就得学习多元函数微分学． 二、本章内容结构 三、学习方法 本章的知识体系及结构与一元函数相似，因此，要善于将第 2，3 章一元函数 的相关知识推广到二元函数并做比较． 多元函数微分学与一元函数微分学在本质上是一致的，其基本概念、定理、公 式与一元函数微分学更是相似，只不过情况较复杂些．因此，在学习本章之前要认 真复习第 2 章、第 3 章中的相关内容（导数、微分、函数极值等），为学好本章内 容做好必要的准备．
经济数学基础 第4章多元函数的微分 本章重点是偏导数、二元函数的条件极值,也是本章的难点.学好偏导数是掌 握求二元函数条件极值的基础.因此,要认真复习第2章中有关导数的知识,熟练 掌握求复合函数、隐函数偏导数的方法.拉格朗日乘数法是求解条件极值问题有效 的方法之一,应熟记并多加练习 四、教学要求 理解二元函数的概念 2.熟练掌握求偏导数和全微分的方法,会求复合函数和隐函数的偏导数. 3.会用拉格朗日乘数法求解较简单条件极值的应用问题 五、讲授内容 第一单元二元函数及其偏导数 第一节二元函数的概念 第二节偏导数与全微分 第二单元复合函数与隐函数微分法 第一、二节复合函数与隐函数求导法 第三单元二元函数的极值 第一节二元函数的极值 第二节拉格朗日乘数法 116
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——116—— 本章重点是偏导数、二元函数的条件极值，也是本章的难点．学好偏导数是掌 握求二元函数条件极值的基础．因此，要认真复习第 2 章中有关导数的知识，熟练 掌握求复合函数、隐函数偏导数的方法．拉格朗日乘数法是求解条件极值问题有效 的方法之一，应熟记并多加练习． 四、教学要求 1．理解二元函数的概念． 2．熟练掌握求偏导数和全微分的方法，会求复合函数和隐函数的偏导数. 3．会用拉格朗日乘数法求解较简单条件极值的应用问题. 五、讲授内容 第一单元 二元函数及其偏导数 第一节 二元函数的概念 第二节 偏导数与全微分 第二单元 复合函数与隐函数微分法 第一、二节 复合函数与隐函数求导法 第三单元 二元函数的极值 第一节 二元函数的极值 第二节 拉格朗日乘数法
