经济数学基础 第2章导数与微分 第一章典型例题与缐合练习 第一节典型囪题 、极限计算 lim 例1求极限 l+一+ lim 解:原式 例2求极限 = lin(x-1(x+D) x+11+1 =m 解: x(x-1)(x-2) lin 例3求极限 lim 解: x0sin2x(1+√x+1) lim x-0 SIn2x×x01+√x lim(1-o) 例4求极限 lim(1+ 解: -2x(1im(1-2x
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——74—— 第一章 典型例题与综合练习 第一节 典型例题 一、极限计算 例 1 求极限 lim n n n → n n + + − + 2 2 1 2 5 4 解：原式 = + + → − + lim n n n n n 2 2 1 2 5 4 = + + − + → lim n n n n n 1 1 1 2 5 4 2 2 = 1 2 例 2 求极限 lim x x → x x − 1 − + 2 2 1 3 2 解： lim x→1 x x x x x x x x x x x 2 2 1 1 1 3 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 − − + = − + − − = + − = + − = − → → lim ( )( ) ( )( ) lim 例 3 求极限 lim x sin x → x − + 0 1 1 2 解： lim x→0 1 1 2 − x + sin x = sin 2 (1 1) (1 1)(1 1) lim 0 + + − + + + → x x x x x = lim x→0 x sin 2x × lim x→0 − + + 1 1 x 1 = ) 2 1 ( 2 1 − = 4 1 − 例 4 求极限 lim( ) x x → x + 1− 1 2 1 解： lim( ) x x → x + 1− = 1 2 1 lim( ) x x → x 1− 1 2 lim( ) x→ x 1− 1 2 = + → − − − lim( ) ( ) x x x 1 1 2 2 1 2 lim( ) x→ x 1− 1 2
经济数学基础 第2章导数与微分 lim(1+-) lim(1 函数的连续性 0 例1讨论函数 0 在x=0处的连续性,并求函数的连续区间 解:因为 ime=l,ln(1+2x)=1,f(0)=a ,所以x lim f(x)=l 当a≠1时,0)m(,即极限值不等于函数值,所以x=0是函数的一个 间断点,且当a≠1时,函数的连续区间是(-0)(0.+∞) 当a=1时,f(0)=imnf(x) x0,即极限值等于函数值,所以x=0是函数的一个连 续点,且当a=1时,函数的连续区间是(一∞+) 三、函数的可导性 6 x>0 f(x) 例1设函数 x≤0 若函数f(x)在点x=0处连续且可导,应如何选取系数a,b? lm x=0, lim(ax+b)=b,f(0)=0 解:因为x0 所以当b=0时函数f(x)在点x=0处连续 又因为 o=l=hO+=(O)=A=0 →0△A A'(0)=lim Ay 所以当a=0,b=0时函数f(x)在点x=0处可导 75
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——75—— = + − → − − lim( ) x x x 1 1 2 2 1 2 lim( ) x→ x 1− 1 2 e 1 2 1 = − e 1 = 二、函数的连续性 例 1 讨论函数 + = = 1 2 0 0 e 0 ( ) x x a x x f x x 在 x=0 处的连续性，并求函数的连续区间. 解：因为 x f a x x x = + = = → − → + lim e 1, lim (1 2 ) 1, (0) 0 0 ，所以 lim ( ) 1 0 = → f x x 当 a 1 时， (0) lim ( ) 0 f f x x→ ，即极限值不等于函数值，所以 x=0 是函数的一个 间断点，且当 a 1 时，函数的连续区间是 (−,0) (0,+) . 当 a =1 时， (0) lim ( ) 0 f f x x→ = ，即极限值等于函数值，所以 x=0 是函数的一个连 续点，且当 a =1 时，函数的连续区间是 (−,+) . 三、函数的可导性 例 1 设函数 f x ax b x x x ( ) = + 0 0 2 若函数 f (x) 在点 x = 0 处连续且可导，应如何选取系数 a,b? 解：因为 lim 0, lim ( ) , (0) 0 0 2 0 = + = = → − → + x ax b b f x x 所以当 b = 0 时函数 f (x) 在点 x = 0 处连续. 又因为 0 ( ) lim (0 ) (0) (0) lim lim 2 0 0 0 = = + − = = − − → − → → − x x x f x f x y f x x x + = = = → + → + f y x a x x a x x (0) lim lim 0 0 所以当 a = 0，b = 0 时函数 f (x) 在点 x = 0 处可导
经济数学基础 第2章导数与微分 例2求曲线y=e+1在x=0处的切线方程 解n:y=c,川1-=()-=c"-=1,且当x=0时,y(0=°=1,即切 点为(1,1).所求切线方程为:y-1=1(x-0)或y=x+1 四、导数(微分)的计算 例1求下列函数的导数或微分 y (1)设 求y:(2)设 ,求 dv 解(1)先用加法法则,再用基本公式 4 )=(2x3)+(-)-(x)+(2)-(52) =2×5x12+4×(2)-3x3+0-5ln5=1Or41 2-x3-5ln5 (2)因为 (e)(+x2)-e(l+x2)ye(1+x2)-2xe2(x-1)2 (1+x2)2 (1+x2) D)e 所以 例2求下列函数的导数或微分:(1设y=边1+m2x,求y (2)设y=e2,求y;( In(1+x) ,求 解(1)设y=,=1+,=hx,由复合函数求导法则求导数, (1+ln2x)5(1+hn2x)=3(1+lhn2x)p'+(n2x) 76
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——76—— 例 2 求曲线 = e +1 x y 在 x = 0 处的切线方程． 解： x y = e ， (e ) e 1 0 0 0 = = = = = x= x x x x y ，且当 x = 0 时， (0) e 1 0 y = = ，即切 点为（1，1）．所求切线方程为： y −1 = 1(x − 0) 或 y = x +1 四、导数（微分）的计算 例 1 求下列函数的导数或微分 (1)设 y x x x x = 2 + − + − 4 2 5 5 3 2 ,求 y ；(2) 设 2 1 e x y x + = ,求 dy . 解(1)先用加法法则，再用基本公式 y = (2 + − + − ) 4 2 5 5 3 2 x x x x = (2 ) + ( ) − ( ) + ( ) − ( ) 4 2 5 5 3 2 x x x x = + − − + − − 2 5 4 1 1 3 0 5 5 4 2 2 3 x x x x ( ) ln = − − − − 10 4 1 3 5 5 4 2 2 3 x x x x ln (2)因为 2 2 2 2 2 (1 ) (e ) (1 ) e (1 ) ) 1 e ( x x x x y x x x + + − + = + = 2 2 2 (1 ) e (1 ) 2 e x x x x x + + − = 2 2 2 (1 ) ( 1) e x x x + − = 所以， x x x y x d (1 ) ( 1) e d 2 2 2 + − = 例 2 求下列函数的导数或微分：(1)设 y = 1+ x 3 2 ln ,求 y ； (2)设 x y 1 sin = e ,求 y ；(3) y x x xy e + ln(1+ ) = ,求 dy . 解(1)设 y u ,u 1 v ,v ln x 3 2 1 = = + = ，由复合函数求导法则求导数， = + + − y x x 1 3 1 1 2 1 3 1 2 ( ln ) ( ln ) = + + 1 − 3 1 1 2 2 3 2 ( ln x) [ (ln x) ]
经济数学基础 第2章导数与微分 2 2 2Inx(Inx)==(1+Inx)3. 2Inx e.l= sin vv (2)设 x,由复合函数求导法则求导数 y=e x(sin -'=e x. cos-('=e x.cos-(--5)=--3cos-e (3)方法一:由导数求得微分:(e”)+yh1+x=(x)即 移项得 1+x-y(1+x)e-y 解出 (1+x)e+(1+x)ln(1+x) 1+x-y(1+x)e-y 于是dy=x(1+x)e+(1+x)h(1+x)dr 方法二:方程两边对变量求微分,这时变量y和x的地位都是相同的 d(e)+diyIn(1+x=d (dx xdy)+In(1+x)dy x)]dy=(1 dy_x(1+x)e +(1+x)In(1+x)d 五、高阶导数 例1求函数 的二阶导数 2(1+x2)-4 解:因为 所以 (1+x2) (1
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——77—— = + + 1 − 3 1 0 2 2 2 3 ( ln x) [ ln x(ln x) ] = + 1 − 3 1 2 1 2 2 3 ( ln x) ln x x = + 2 − 3 1 2 2 3 x ln x( ln x) (2)设 x y u v v u 1 = e , = sin , = ，由复合函数求导法则求导数 ) 1 ( 1 ) e cos 1 e (sin 1 sin 1 sin = = x x x y x x ) 1 ( 1 e cos 2 1 sin x x x = − x x x 1 sin 2 e 1 cos 1 = − (3)方法一：由导数求得微分：(e ) +[y ln(1+ x)] = (x) xy 即： 1 1 e ( ) ln(1 ) = + + + + + x y y xy y x xy 移项得： x y x x y y xy xy + + + = − − 1 [ e ln(1 )] 1 e 解出 y ： (1 )e (1 )ln(1 ) 1 (1 )e x x x x x y x y y xy xy + + + + + − + − = 于是 dy = (1 )e (1 )ln(1 ) 1 (1 )e x x x x x y x y xy xy + + + + + − + − dx 方法二：方程两边对变量求微分，这时变量 y 和 x 的地位都是相同的. y x x xy d(e ) + d[ ln(1+ )] = d ； x x y x y x x y x y xy d 1 d e ( d d ) ln(1 )d = + + + + + x x y x y y xy xy )d 1 [e ln(1 )]d (1 e + + + = − − ；于是 dy = (1 )e (1 )ln(1 ) 1 (1 )e x x x x x y x y xy xy + + + + + − + − dx 五、高阶导数 例 1 求函数 y = ln(1+ x ) 2 的二阶导数. 解：因为 = + y x x 2 1 2 ( ) 所以， y = + = + − + = − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 4 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x
经济数学基础 第2章导数与微分 第二节典型劑题 填空题 x-sin x lim x2+1x≠ 0 f(x) 2.设 k 0 在x=0处连续,则k= x-6 f() 3.函数 4x-12的连续区间为 间断点 li ∫(x0+x)-f(x0) 则 5.曲线y=x在(1,1)处的切线方程是 6.已知f(x)是可导函数,则可f(e)= 7.设f(x)=x,则f(x)在x=x0处的弹性为 8.设 y=sinx 1.1:2.1:3.(-0-2)(-2.6)(6,0.x=2和x=6;4.2 6.==x+ 2 单选题 78
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——78—— 第二节 典型例题 一、填空题 1. lim sin x x x → x − = . 2.设 f x x x k x ( ) = + = 2 1 0 0，在 x = 0 处连续，则 k = . 3.函数 f x x x x ( ) = − − − 6 4 12 2 的连续区间为 ，间断点 是 . 4.若 lim x ( ) ( ) x → f x + x − f x = 0 0 0 2 ，则 f (x ) 0 = . 5.曲线 y = x 在（1，1）处的切线方程是 . 6.已知 f (x) 是可导函数，则 d[ (e )] x f − = . 7.设 f (x) = x 3 ，则 f (x) 在 x = x0 处的弹性为 . 8.设 y = x sin x ，则 y( ) 2 = . 1．1；2．1；3． (−,−2) (−2,6) (6,+), x = −2 和 x = 6 ；4． 1 2 ； 5． y = x + 1 2 1 2 ； 6． f x x x e (e )d − − − ；7．3；8． − 2 二、单选题
经济数学基础 第2章导数与微分 y 函数x2+x-2的连续区间是( (A)(-∞)u(1+∞);(B)(--2)(-2+o) (C)(-0-2)(-2.1)(1+∞);①D)(-0,1)(1,+∞)或(-0-2)(-2,+O) 2.下列极限计算正确的是() lim -=1 li lim(- im(1--)2 )x→0x 2 3.当x≠0时, 又f(x)在x=0处连续,则f(0)=() (A)-1;(B)2;(C)1:(D)-2. f(x)-f(2) 4.设f(x)=x,则12x-2-() (A)2x;(B)2;(C)1;(D)4 x 则∫ 1C;2.B;3.A;4 三、多选题 1.当x→>+∞时,下列变量中()为无穷小量 sInx 2.下列极限值正确的是() 79
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——79—— 1.函数 y x x x = − + − 1 2 2 的连续区间是（ ） (A) (−,1) (1,+) ；(B) (−,−2) (−2,+) (C) (−,−2) (−2,1) (1,+) ；(D) (−,1) (1,+) 或 (−,−2) (−2,+) 2.下列极限计算正确的是( ) (A) lim x x → x = 0 1 ；(B) lim x x → x + = 0 1 ；(C) 2 1 0 ) e 2 1 lim (1 − → − = x x x ；(D) ) e 2 1 lim (1 2 − = → x x x 3.当 x 0 时， f x x x ( ) = 1− 1+ 2 ，又 f (x) 在 x = 0 处连续，则 f (0) = ( ) (A)－1；(B)2；(C)1；(D)－2. 4.设 f (x) = x 2 ，则 lim ( ) ( ) x f x f → x − − = 2 2 2 ( ) (A)2 x ；(B)2；(C)1；(D)4 5.若 f x ( ) x 1 = ，则 f (x) = （ ）. (A) 1 2 x ；(B)－ 1 2 x ；(C) 1 x ；(D)－ 1 x 1.C；2．B；3．A；4．D；5．B 三、多选题 1.当 x → + 时，下列变量中（ ）为无穷小量. (A) ln(1+ x) ；(B) sin x x ；(C) x x 2 +1 2. 下列极限值正确的是（ ）
经济数学基础 第2章导数与微分 sIn x lim sin.r lim x sin -=0 limx sin -=0 (A)Imo x : B)Io x :(c) 3.函数f(x)在x=x0处可导,则() (A)函数f(x)在x0处有定义;(B)x limf(x)=A,但A≠f(x0) (C)函数f(x)在x处连续:;(D)函数f(x)在x处可微 4.下列导数计算正确的是() (A)(x Inx)=2xInx+x:(B)(e-V)'2vx (2x+-)=2ln2 (1-元cos2x)=sin2x (D) 5.下列函数在x=0处不连续的是() xcos-x≠0 f(x)= xx>0 (A) -xx0 0 1. BD: 2. BD: 3. ACD: 4. ACD: 5. B 四、配伍题 1.下列数列收敛于 6 (A)1,0,2,0,3,0,4,;①1:(B)1,2,3,4,5,;②0 n-1 80—
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——80—— (A) lim sin x x → x = 1 ；(B) lim sin x x → x = 0 1 ；(C) lim sin x x → x = 1 0 ；(D) lim sin x x → x = 0 1 0 3.函数 f (x) 在 x = x0 处可导，则（ ）. (A)函数 f (x) 在 x 0 处有定义；(B) lim ( ) , ( ) x x f x A A f x → = 0 但 0 (C)函数 f (x) 在 x 0 处连续；(D)函数 f (x) 在 x 0 处可微 4.下列导数计算正确的是（ ）. (A) (x ln x) x ln x x 2 = 2 + ；(B)(e − x ) x x 2 e − = (C) (2 ) ln 1 2 2 1 2 x x x x + = − ；(D) (1 cos ) sin 1 4 2 1 2 − x = 2x 5.下列函数在 x = 0 处不连续的是（ ）． (A) = = 0 0 0 1 cos ( ) x x x x f x ；(B) f x x x x x ( ) = − 0 0 (C) f x x x x x ( ) = + 2 1 0 2 0 ；(D) = − = 0 0 e 1 0 ( ) x x f x x 1.BD ； 2．BD ； 3．ACD ； 4．ACD ； 5．BC 四、配伍题 1.下列数列收敛于 (A)1，0， 1 2 ，0， 1 3 ，0， 1 4 ，；①1；(B)1， 2 3 ， 3 4 ， 4 5 ， 5 6 ，；②0 (C)0， 4 1 ， 3 1 ， 8 3 ， 5 2 ，…， n n 2 −1 ；③ 1 2
经济数学基础 第2章导数与微分 2.下面极限式的值为: (2x-1)23(x2+2) 2(-2xy2:①0:1)1mx,②-4 x+2 ;③2 3.讨论函数在x=0处的性质 0 f(x) 0 0→(21-xx<0:①可导;(B) 0x=0;②有极限存在 f(x) 但不连续;(C) ③连续但不可导 4.下列可导函数所对应的导函数是: ∫'(√x)f( (A) (B) 5.求函数在x=5处的弹性值 J(x)=5-5的弹性为:①-1;(B)()=e 的弹性为 (C)f(x)=x的弹性为;③5 1.A②;B①;C③:2.A②;B③:C①;3.A②;B①:C③;4.A③;B②;C① 5.A②;B①:C③ 五、是非题 函数f(x)在x→x处有极限,则f(x)在x点处有定义.()
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——81—— 2.下面极限式的值为： (A) lim ( ) ( ) x ( ) x x → x − + − 2 1 2 1 2 15 2 17 ；①0；(B) lim ln( ) x x → x + 0 1 2 ；②－ 1 4 ； (C) lim x x →− x x + 2 − − 2 2 2 ；③2 3.讨论函数在 x = 0 处的性质 (A) f x x x x x ( ) = + − 1 0 1 0 ；①可导；(B) f x x x x x ( ) sin = = 2 1 0 0 0 ；②有极限存在 但不连续；(C) f x x x x x ( ) sin = = 1 0 0 0 ；③连续但不可导. 4.下列可导函数所对应的导函数是： (A) (e ) x f ；① − 1 1 2 x f x ( ) ；(B) f ( x ) ；② 1 2 x f ( x ) (C) f x ( ) 1 ；③ e (e ) x x f 5.求函数在 x = 5 处的弹性值 (A) f x x ( ) = 5 − 5 的弹性为；①－1；(B) 5 ( ) e x f x − = 的弹性为；② − 1 4 (C) f (x) = x − 1 5 的弹性为；③ − 1 5 1．A②；B①；C③；2．A②；B③；C①；3．A②；B①；C③；4．A③；B②；C①； 5．A②；B①；C③； 五、是非题 1.函数 f (x) 在 0 x → x 处有极限，则 f (x) 在 0 x 点处有定义.（ ）
经济数学基础 第2章导数与微分 2若f(x)在点x处可微,则当x→x时,f(x)有极限存在.() 3.f(x)在点x处不可导,则f(x)在此点处不连续 4.因为f(x)是连续函数,所以有 lim f(x)=f(lim x) x→x0 5曲线y=f(x)在点(x0,(x0)处有不垂直x轴的的切线,则一定有 lim f(x)=f(xo) () 2.√ 六、计算题1.计算下列极限 2x+3 li m(√x2+x-√x lim 2"sin (1) x2+1;(2)x ;(3)n→+o 2x2-5x+2 3 lin lin lin 4)m2x3-x+1:(5)x2x2-x-2:(6)xsn(x-3) (7)x0 sinx (8)x+1+x)2x-1 x+ sinx f(x)= x≠0 2.讨论函数 2x=0,在x=0处的连续性 f(x)=√9-x2+ 3.求函数 √x2-4的连续区间 4.求下列函数的导数y (1)y=sin x-cos5x:(2) (4) 82
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——82—— 2.若 f (x) 在点 x 0 处可微，则当 0 x → x 时, f (x) 有极限存在.（ ） 3. f (x) 在点 x 0 处不可导，则 f (x) 在此点处不连续.（ ） 4.因为 f (x) 是连续函数，所以有 lim ( ) (lim ) x x x x f x f x → → = 0 0 .（ ） 5.曲线 y = f (x) 在点（ x f x 0 0 , ( ) ）处有不垂直 x 轴的的切线，则一定有 lim ( ) ( ) x x f x f x → = 0 0 （ ） 1．× ； 2．√ ； 3．× ； 4．√ ； 5．√ ； 六、计算题 1.计算下列极限 （1） lim x x x → x − + 1 + 2 2 2 3 1 ；（2） lim ( ) 2 2 x x x x x + − − →+ ；（3） lim sin n n →+ 2 x n 2 ； （4） lim x x x → x x − − − + 2 3 1 3 2 3 ；（5） lim x x x → x x − + 2 − − 2 2 2 5 2 2 ；（6） lim x sin( ) x x → x − + 3 − 2 4 3 3 （7） lim x sin x → x + − 0 2 2 1 2 1 ；（8） lim( ) x x → 1+ x 2x−1 2.讨论函数 f x x x x x x ( ) sin = + = 0 2 0 ,在 x = 0 处的连续性. 3.求函数 f x x x ( ) = − + − 9 1 4 2 2 的连续区间. 4.求下列函数的导数 y （1） y = sin x − cos x 3 3 ；（2） 1 2 + = x x y （3） 2 (e e ) x x y − = − ；（4） y x x = + − ln( ) 1 1
经济数学基础 第2章导数与微分 (5)J=2 ;(6)求由方程x+y=x+1确定的y对x的 函数的导数yx 5求下列函数的微分d (1)y=e2h(1+x);(2)ex-e"= cos(xy)):(3)x2y-lny=x;(4)≈(1+2)y 6.求下列函数的二阶导数: (1)y=￥hnx求y及y1-:(2)y=e,求y”及y1 7求曲线y=在(1,1)点处的切线方程 8.试求曲线y=x在哪一点处的切线斜率为16 1.(1)1:(2)1:(3)x:(4)2:(5)1:(6)2:(7)1:(8)e2; lim f(x)=lim sin x_lim +m sin x=1+1=2=f(O) 2.因为 所以,函数在 x=0处是连续的 3.函数的连续区间为-3-2)(2, 1-3 4.(1)y=3sin xcos x+3sin 3x,(2)y=2vx(x2+1):(3)y=2(e2-e") (y=√x(1-x):(5)y=x0sx dy n(xy) 83
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——83—— （5） y x = 2 1 tan + 1+ − 2 3 2 x x x ；（6）求由方程 x y xy 2 2 + = +1 确定的 y 对 x 的 函数的导数 y x . 5.求下列函数的微分 dy （1） e ln(1 ) 2 2 y x x = + − ；（2） e e cos(xy) x y − = ；（3） x y y x 2 − ln = ；（4） y x x = (1+ ) 1 6.求下列函数的二阶导数： （1） y = x x 2 ln 求 =e x y 及y ；（2） x y = e ，求 = y y 及 x 1 . 7.求曲线 2 1 2 e − + − = x x y 在（1，1）点处的切线方程. 8.试求曲线 y = x 4 在哪一点处的切线斜率为 16. 1．(1)1；(2)1；(3)x；(4)2；(5)1；(6)2；(7)1；(8)e -2； 2．因为 1 1 2 (0) sin lim lim sin lim ( ) lim 0 0 0 0 f x x x x x x x f x x x x x = + = + = = + = → → → → ，所以，函数在 x = 0 处是连续的. 3．函数的连续区间为 [−3,−2) (2,3] . 4．(1) y = 3sin x cos x 3sin 3x 2 + ；(2) y = 2 2 2 2 ( 1) 1 3 + − x x x ；(3) y = 2(e e ) 2x −2x − ； (4) y = 1 x (1− x) ；(5) y = − − + 2 2 − − 1 1 2 1 6 1 2 2 3 2 5 6 tan ln cos x x x x x ；(6) y = y x y x − − 2 2 ； 5．(1) dy = 2 2 2 2 1 e ( ln(1 ))d 1 2 x x x x x − − + + ；(2) dy = x x xy y xy y x d sin( ) e sin( ) e − + − ；
