第8章二次型 庄81三次型及其矩阵表示 王.3惯性定理和规范形 庄·84实二次型的正定性 85二次曲面的分类 ●总结习题课 上页
第8章 二次型 8.1 二次型及其矩阵表示 8.2 二次型的标准形 8.3 惯性定理和规范形 8.4 实二次型的正定性 8.5 二次曲面的分类 总结 习题课
注:本节的二次型都假定是实二次型。 庄8.4.1正定二次型 定义1设有实二次型∫(x)=xAx,如果对任何 王x≠都有/(x)>0显然0)=0则称/为正定二 次型,并称对称矩阵4是正定的如果对任何x≠0 牛都有()<0则称/乃为负定二次型并称对称矩阵 A是负定的 牛例如∫=x2+4y2+162为正定二次型 ∫=-x1-3x2 为负定二次型 王页下
2 2 2 f = x + 4 y + 16z 为正定二次型 2 2 2 f = −x1 − 3x 为负定二次型 8.4.1 正定二次型 ( ) ( ( ) ) . ( ) 0, , , ; 0 0, 0 0 0 , 1 ( ) , 是负定的 都 有 则 称 为负定二次型 并称对称矩阵 次 型 并称对称矩阵 是正定的 如果对任何 都 有 显 然 则 称 为正定二 定 义 设有实二次型 如果对任何 A f x f A x x f x f f f x x Ax T = = 例如 注：本节的二次型都假定是实二次型
定理1m元实二次型∫=x4x为正定的充分必要条件 为:它的标准形的n个系数全为正 王证明设可逆变换x=Q使 f(x)=f(y)=∑ky2 充分性 设k>0(=1,…,n)任给x≠0 则y=Cx≠0, 上故f(x)2=8n2>0 上页
证明 设可逆变换x = Cy使 ( ) ( ) . 2 1 i n i i f x f Cy k y = = = 充分性 k 0 (i 1, ,n). 设 i = 任给 x 0, y = C x 0, 则 -1 ( ) 0. 2 1 = = i n i i 故 f x k y 定理1 n元实二次型 为正定的充分必要条件 为：它的标准形的n个系数全为正。 T f x Ax =
必要性 假设有k,≤0,则当=e、(单位坐标向量时, f(Ce,)=k。≤0 显然Ce≠0,这与∫为正定相矛盾 故k1>0(i=1,…,n) 注:参考书中定理8-9,定理8-10。 推论对称矩阵A为正定的充分必要条件是:A 的特征值全为正 上页
必要性 0, 假设有ks 则当 (单位坐标向量)时, s y = e ( ) = 0. Ces ks f 0, 显然Ces 这与 f 为正定相矛盾. 故 k 0(i 1, ,n). i = 推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正． A A 注：参考书中定理8-9，定理8-10
推论1n元实二次型正定的充分必要条件是 它的规范形为 f=x1+z2+…+zn 推论2n元实二次型正定的充分必要条件是, 它的正惯性指数为n。 上页
推论1 n元实二次型正定的充分必要条件是， 它的规范形为 2 2 2 1 2 n f z z z = + + + 推论2 n元实二次型正定的充分必要条件是， 它的正惯性指数为n
生84.2正定矩阵 定义2设A是实对称矩阵,如果二次型x7Ax是 正定二次型,则称A是正定矩阵 定理2实对称矩阵A正定的充要条件是A=E 证明:由推论2。 中定理3实对称矩阵A正定的充要条件是:存在可逆 矩阵C,使得A=CC 上页
8.4.2 正定矩阵 T 定义2 设A是实对称矩阵，如果二次型 x Ax 是 正定二次型，则称A是正定矩阵。 定理2 实对称矩阵A正定的充要条件是 A E T A C C = 定理3 实对称矩阵A正定的充要条件是：存在可逆 矩阵C，使得 证明：由推论2
定理4对称矩阵A为正定的充分必要条件是:A 的特征值全为正 上证明:因为任何n元实二次型f=x4x都可经过 正交线性替换x=T化为标准形 2 Ay12+2y2+…+nyn 其中λ,2…,λ,是啪的全部特征值。 A正定分xAx是正定二次型 兮λ2…,,全大于0 上页
定理4 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正． A A 证明：因为任何n元实二次型 都可经过 正交线性替换 化为标准形 T f x Ax = x Ty = 2 2 2 1 1 2 2 n n y y y + + + 其中 1 2 ， ， ， n 是A的全部特征值。 T A x Ax 正定 是正定二次型 1 2 ， ， ， n 全大于0
例1设A正定,则A可逆,且A-1也正定 证明:因为A是正定矩阵,所以存在可逆C,使得 A=CC =CC=C≠0 且A1=(CC)=C(C) =C-(C-)=DD (其中D=(C-)) 上页
例1 设A正定，则A可逆，且 A −1 也正定。 证明：因为A是正定矩阵，所以存在可逆C，使得 T A C C = 2 0 T = = A C C C 1 1 1 ( ) ( ) T T A C C C C − − − = = 且 - 1 1 1 ( )T T C C D D − − = = 1 ( )T D C （其中 ＝ − ）
下面给出正定矩阵的必要条件和充分必要条件 定理5(必要条件)设A为正定矩阵,则 c(1)A的主对角元素an>0i=1,2,…,m) 王2的行列式|4>0 证明();正定,∫=x正定 取x=e1=(0,…,1,…,0)y 王f0,…,1,,0=274=n>0 A2因为A是正定矩阵,所以存在可逆C,使得 A=CC A4=c|l=C>0 上页
下面给出正定矩阵的必要条件和充分必要条件 定理5（必要条件）设A为正定矩阵，则 0( 1,2, , ) ii (1) A的主对角元素 a i n = (2) A的行列式 A 0. 证明： (1) T A f x Ax 正定， = 正定 (0, ,1, ,0)T i 取x e = = (0, ,1, ,0) 0 T i i ii f e Ae a = = (2)因为A是正定矩阵，所以存在可逆C，使得 T A C C = 2 0 T = = A C C C
注:此定理只是必要条件, 02|-13 例如 2532 都不是正定矩 1200 2100 0012 虽满足an>0,4=9>0 002 但A不是正定矩阵 上页
注：此定理只是必要条件， 0 2 1 3 , 2 5 3 2 − 例如 都不是正定矩 1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 1 2 0 0 2 1 A = 虽满足 0, 9 0 ii a A = 但A不是正定矩阵