64实对称矩阵的对角化 6.4.1实对称矩阵特征值与特征向量 642实对称矩阵对角化的条件 工工工 上页
6.4 实对称矩阵的对角化 6.4.1 实对称矩阵特征值与特征向量 6.4.2 实对称矩阵对角化的条件
6.4.1、实对称矩阵的特征值与特征向量 定理1实对称矩阵的特征值为实数 证明设复数为对称矩阵A的特征值,复向量x为 对应的特征向量, 即 A4x=ax,x≠0 用表示的共轭复数,表示的共轭复向量, 则Ax=Ax=(4x)=(ax)=元x 上页
定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 证明 , , 对应的特征向量 设复数为对称矩阵A的特征值 复向量x为 即 Ax = x , x 0. 用 表示的 共轭复数 , 则 Ax = Ax = (Ax) = (x) = x. 6.4.1、实对称矩阵的特征值与特征向量 x表示x的共轭复向量
庄于是有x4x=x(4)=xx=x 牛及x4x=(2Ak=(4yx=(yAxx 两式相减,得 -几 xx=0. 但因为x≠0, 王所以xx==x2≠0=(x-x)=0 牛即=元,由此可得是实数 上页
于是有 x Ax T x Ax T 及 x (Ax) T = x x T = x x, T = (x A )x T T = (Ax) x T = ( x) x T = x x. T = 两式相减，得 ( − )x x = 0. T 但因为x 0, ( − ) = 0, 即 = , 由此可得是实数. 0, 1 2 1 = = = = n i i n i i i T 所以 x x x x x
定理的意义 由于实对称矩阵的特征值,为实数所以齐次 线性方程组 (4-,E)x=0 是实系数方程组由A-E=0知必有实的基础解 系,从而对应的特征向量可取实向量 推论n阶实对称矩阵有个实特征值 (重根按重数计算) 上页
定理1的意义 , . , 0 ( ) 0 , 系 从而对应的特征向量可以取实向量 是实系数方程组由 知必有实的基础解 线性方程组 由于实对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 − = − = A E A E x A i i i 推 论 n阶实对称矩阵有n个实特征值 （重根按重数计算）
王定理2设4是实对称矩阵的k重特征值, 王则A的属于特征值的特征向量中,极大线生 平无关组包含的向量个数合为k 定理2也可叙述为 定理2′设A为n阶对称矩阵A0是4的特征方程的 王重根则矩阵A-A1E的秩R(A-E)=n-k从而 对应特征值恰有k个线性无关的特征向量 上页
无关组包含的向量个数恰 为 。 则 的属于特征值 的特征向量中，极大线性 定 理 、 设 是实对称矩阵 的 重特征值， k A 2 k 0 0 A . , ( ) , 2 , 0 0 0 0 对应特征值 恰 有 个线性无关的特征向量 重 根 则矩阵 的 秩 从 而 定 理 设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 k A E R A E n k A n A k − − = − 定理2也可叙述为
王 王定理设A,是对称矩阵的两个特征值n 19 P2是对应的特征向量若≠2,则1与2正交 证明A1n1=41,2n2=42,A≠2, A对称,A=Ar, 41n1=(1n1)=(41)=n1A=n1A, 于是A1n1P2=n142=n1(2n2)=2n1n2 25 → (1-2)nP2=0 ≠12,∴P1P2=0.即p1与2正交 王页下
, , . 3 , , , 2 1 2 1 2 1 2 1 是对应的特征向量若 则 与 正 交 定 理 设 是对称矩阵 的两个特征值 p p p A p 证明 , , , 1 p1 = Ap1 2 p2 = Ap2 1 2 A , A A , T 对称 = ( ) ( ) T T T 1 p1 = 1 p1 = Ap1 , p1 A p1 A T T T = = 于是 ( ) 1 1 2 1 2 1 2 p2 p p p Ap p T T T = = , 2 1 p2 p T = ( ) 0. 1 − 2 p1 p2 = T , 1 2 . p1 p2 = 0. 即p1与p2正交 T
642、实对称矩阵对角化的方法 定理4设A为n阶对称矩阵则必有正交矩阳P,使 P+AP=A,其中A是以4的n个特征值为对角元 素的对角矩阵 王证明设4的互不相等的特征值为,,… 它们的重数依次为2,(+++= 根据定理1(对称矩阵的特征值为实数)和定 理3(如上)可得: 上页
. , 4 , , 1 素的对角矩阵 其 中 是 以 的 个特征值为对角元 定 理 设 为 阶对称矩阵 则必有正交矩阵 使 P AP A n A n P = − 证明 , , , , 1 2 s 它们的重数依次为 s r ,r , ,r 1 2 ( ). r1 + r2 + + rs = n 根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得： 设 A 的互不相等的特征值为 6.4.2、实对称矩阵对角化的方法
对应特征值元;(i=1,2,…,s,恰有r个线性无 关的实特征向量,把它们正交化并单位化即得r个 单位正交的特征向量.由r+n2+…+r,=n知, 这样的特征向量共可得n个 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交, 故这n个单位特征向量两两正交 以它们为列向量构成正交矩阵P,则 PAP=PPA=A 牛其中对角矩阵A的对角元素含个4,…,个,恰 是A的n个特征值 上页
, 由r1 + r2 ++ rs = n知 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， . , , ( 1,2, , ), 单位正交的特征向量 关的实特征向量 把它们正交化并单位化 即得 个 对应特征值 恰有 个线性无 r i s r i i = i = = − − P AP P P 1 1 . , , , 1 1 是 的 个特征值 其中对角矩阵 的对角元素含 个 个 恰 A n r r s s 这样的特征向量共可得 n 个. 故这 n 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则
生利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法 根据上述结论,利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵,其具体步骤为: 1.解特征方程A-E=0, 工工工 求出对称阵A的全部不同的特征值 2.对每个特征值λ,,求出对应的特征向量, 即求齐次线性方程组(A-E)X=0的基础解系。 上页
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法 1. 解特征方程 A E − = 0, 求出对称阵 A 的全部不同的特征值。 2. 对每个特征值 i ，求出对应的特征向量， 即求齐次线性方程组 ( ) 0 A E X − = i 的基础解系
3.将属于每个的特征向量先正交化,再单位化。 这样共可得到n个两两正交的单位特征向量n1,m2,,7n .以,仍,,为列向量构成正交矩阵T=(n,,,m) 工工 有TAT=A 上页
3. 将属于每个 的特征向量先正交化，再单位化。 i 这样共可得到 n 个两两正交的单位特征向量 1 2 , , , n 4. 以 1 2 , , , n 为列向量构成正交矩阵 1 2 ( , , , ) T = n 有 1 T AT − =