复习n阶行列式的性质 c(1)行列式与它的转置行死相等即D=D (2)互换行列式的两行列,行列式变号 王(3如果行列式有两列完全相同则此行列式 等于零 (4)行列式的某一列中所有的元素都乘以同 王数等于用数乘此行列式 上页
, . (4) ( ) . (3) ( ) , (2) ( ), . (1) , D D . T 一 数 等于用数 乘此行列式 行列式的某一行列 中所有的元素都乘以同 等于零 如果行列式有两行列 完全相同则此行列式 互换行列式的两行列 行列式变号 行列式与它的转置行列式相等 即 k k = 复习n阶行列式的性质
王(6)行列式中某一行列的所有元素的公因子可以 十提到行列式符号的外面 庄(o列式中如果有两列)元素成比例则此行列 黑式为零 牛(7若行列式的某一列行的元素都是两数之和则 王此行列式等于两个行列之和 王(8把行列式的某一列行)的各元素乘以同一数然 后加到另一列行对应的元素上去行列式的值不变 上页
( ) , . (8) ( ) , . (7) ( ) , . (6) ( ) , . (5) ( ) 后加到另一列 行 对应的元素上去行列式的值不变 把行列式的某一列 行 的各元素乘以同一数然 此行列式等于两个行列式之和 若行列式的某一列 行 的元素都是两数之和则 式为零 行列式中如果有两行列 元素成比例则此行列 提到行列式符号的外面 行列式中某一行 列 的所有元素的公因子可以
11 2 若D=21“22 2n n2.a 12 则(1)21 22 2n (-1)D -a n2 21 22 2n 31 32 n (2) (-1)D nI n2 nn 12 n 上页
n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 若 = n n nn n n a a a a a a a a a − − − − − − − − − 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 则(1) n n n nn n n a a a a a a a a a a a a 1 1 1 2 1 1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 2 2 (2) n (−1) 1 ( 1) − − n D D
士 0 b c d -a0 a b c (3)b-a0ab=0 c-b 0 d-c-b - 0 11 12 3a 13 31 30 32 3a 33 (4)a2a21a3=d,则2a212an12a2l=261 31 32 33 11 12 13 上页
= − − − − − − − − − − 0 0 0 0 0 (3) d c b a c b a a b a a b a a b c a b c d (4) , 31 32 33 21 21 23 11 12 13 d a a a a a a a a a = 2 2 2 __ 3 3 3 1 1 1 2 1 3 2 1 2 1 2 3 3 1 3 2 3 3 = − a − a − a a a a a a a 则 0 6d
lk 0 设D =|k1 k 11 1 n k D d t (o le D 2 d t (e e k k 1 则 D D D2 上
n nn n n nk k k k k k b b b b c c c c a a a a D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 设 = det( ) , 1 11 1 1 k k k k ij a a a a D a = = det( ) , 1 11 1 2 n nn n ij b b b b D b = = . 则 D = D1D2
11 lk k1 bu 如=DD 2 In 0 naul lk 1 k1 akk=(1)D, D 2 11 0 nI 上页
n nn n k k n n k k k k b b b b c c c c a a a a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n nn n k k k k k k n n b b b b a a a a c c c c = D1 D2 1 2 ( 1) D D nk = −
§27 Cramer法则 、 Cramer法则 二、小结 上页
§2.7 Cramer 法则 一、Cramer 法则 二、小结
一、cmc法则 王引入行列式概念时,求解二、三元线性方程组, 当系数行列式D≠0时,方程组有惟一解, D x;=-(i=1,2,3) D 含有n个未知数,n个方程的线性方程组,与二、 三元线性方程组类似,它的解也可以用m阶行列 午式表示 上页
引入行列式概念时，求解二、三元线性方程组， 当系数行列式 D 0 时，方程组有惟一解， = (i = 1,2,3) D D x i i 含有n个未知数，n个方程的线性方程组，与二、 三元线性方程组类似，它的解也可以用n阶行列 式表示. 一、Cramer 法则
定理2-8( Cramer法则) 如果线性方程组 111+a12X2+……+ =b, Inn anx,+a2x,+…+a,.x.=b n lamr+an2x2+,,+amx=b 的系数行列式不等于零,即 11 In D 2 2n≠0 nI n2 n1 上页
定理2-8 （Cramer法则） 如果线性方程组 (1) 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 的系数行列式不等于零，即 n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = 0
则线性方程组(1有惟一解, DD D D I 2 D- D 其中D是把系数行列式D中第冽的元素用方程 王组右端的常数项代替后所得到的m阶行列式,即 b 11 1,j +1 n D.= n,J- n,j+1 nn 上页
, , , , . 2 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x n = = = n = 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n j n n j nn j j n j a a b a a a a b a a D 1 , 1 , 1 11 1, 1 1 1, 1 1 − + − + = 则线性方程组(1)有惟一解