第十章多元函数微分学 第一节多元函数的极限及连续性 第二节偏导数 第三节全微分 第四节多元复合函数微分法及偏导数 的几何应用 第五节多元函数的极值 冈凶
第十章 多元函数微分学 第一节 多元函数的极限及连续性 第二节 偏导数 第三节 全微分 第四节 多元复合函数微分法及偏导数 的几何应用 第五节 多元函数的极值
第一节多元函数的极限及连续性 、多元函数 二、二元函数的极限与连续性 冈凶
第一节 多元函数的极限及连续性 一、多元函数 二、二元函数的极限与连续性
第一节多元函数的极限及连续性 多元函数 1实例分析 例1设矩形的边长分别x和y,则矩形的面 积S为S=xy 在此,当x和y每取定一组值时,就有一确定的面 积值S.即S依赖于x和y的变化而变化 例2具有一定质量的理想气体,其体积为V,压强 为P,热力学温度T之间具有下面依赖关系P RT (R 是常数) 在这一问题中有三个变量P,V,T,当V和T每取 定为一组值时,按照上面的关系,就有一确定的压强P 冈凶
1.实例分析 例 1 设矩形的边长分别 x 和 y ，则矩形的面 积 S为 S = xy . 在此，当 x和 y 每取定一组值时，就有一确定的面 积值S ．即S 依赖于 x和 y 的变化而变化． 例 2 具有一定质量的理想气体，其体积为 V，压强 为 P，热力学温度 T 之间具有下面依赖关系 V RT P = （R 是常数）. 在这一问题中有三个变量 P，V，T，当 V 和 T 每取 定为一组值时，按照上面的关系，就有一确定的压强 P． 第一节 多元函数的极限及连续性 一、多元函数
1.二元函数的定义 定义1(二元函数)设有三个变量x,y和,如果 当变量x,y在它们的变化范围D中任意取定一对值时, 变量z按照一定的对应规律都有惟一确定的值与它们 对应,则称z为变量x,y的二元函数,记为2=f(x,y), 其中x与y称为自变量,函数z也叫因变量.自变量 x与y的变化范围D称为函数的定义域 区域的概念:由一条或几条光滑曲线所围成的具有连 通性(如果一块部分平面内任意两点均可用完全属于此部 分平面的折线连结起来,这样的部分平面称为具有连通性) 的部分平面,这样的部分平面称为区域.围成区域的曲线 称为区域的边界,边界上的点称为边界点,包括边界在内 的区域称为闭域,不包括边界在内的区域称为开域 冈凶
１．二元函数的定义 定义 1 (二元函数) 设有三个变量 x y, 和z, 如果 当变量 x y, 在它们的变化范围 D 中任意取定一对值时， 变量 z 按照一定的对应规律都有惟一确定的值与它们 对应，则称 z 为变量 x y, 的二元函数，记为z = f (x, y) ， 其中 x与 y 称为自变量，函数 z 也叫因变量．自变量 x与 y 的变化范围 D 称为函数 z 的定义域． 区域的概念：由一条或几条光滑曲线所围成的具有连 通性(如果一块部分平面内任意两点均可用完全属于此部 分平面的折线连结起来，这样的部分平面称为具有连通性) 的部分平面，这样的部分平面称为区域．围成区域的曲线 称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内 的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域．
如果一个区域D内任意两点之间的距离都不超过某 常数M,则称D为有界区域,否则称D为无界区域 常见区域有矩形域:a0 圆域{x,y)(x-x)2+(y-y)2<62)一般称为平面 上点0(x02y)的δ邻域,而称不包含点P0的邻域为无 心邻域 二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑 曲线所围成平面区域.二元函数定义域的求法与一元函 数类似,就是找使函数有意义的自变量的范围,其定义 域的图形一般由平面曲线围成 冈凶
如果一个区域D 内任意两点之间的距离都不超过某 一常数M ，则称D 为有界区域，否则称D 为无界区域． 常见区域有矩形域：a x b,c y d , 圆域:( ) ( ) ( 0). 2 2 0 2 x − x0 + y − y 圆域 2 2 0 2 0 (x, y)| (x − x ) + ( y − y ) 一般称为平面 上点 ( , ) 0 0 0 P x y 的 邻域，而称不包含点 P0的邻域为无 心邻域． 二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑 曲线所围成平面区域 .二元函数定义域的求法与一元函 数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围，其定义 域的图形一般由平面曲线围成．
例4求二元函数z=a2-x2-y2的定义域 解由根式函数的定义容易知道,该函数的定义域 为满足x2+y2≤a2的x,y,即定义域为 D={x,y)|x2+y2≤a 这里D在xOy面上表示一个以原点为圆心,a为半 径的圆域.它为有界闭区域(如下图所示) C O 冈
例 4 求二元函数 2 2 2 z = a − x − y 的定义域． 解 由根式函数的定义容易知道，该函数的定义域 为满足 2 2 2 x + y a 的x, y,即定义域为 2 2 2 D = (x, y) | x + y a . 这里D在xOy面上表示一个以原点为圆心，a 为半 径的圆域．它为有界闭区域（如下图所示）. O 2 2 2 x + y = a y x a a
例5求二元函数z=1n(x+y)的定义域 解自变量x,y所取的值必须满足不等式x+y>0 即定义域为 D={(x,y)|x+y>0} 点集D在xOy面上表示一个在直线上方的半平面(不 包含边界x+y=0),如下图所示,此时D为无界开区域 冈凶
例 5 求二元函数z = ln(x + y)的定义域． 解 自变量x, y 所取的值必须满足不等式x + y 0 , 即定义域为 D = (x, y) | x + y 0. 点 集D 在xOy 面上表示一个在直线上方的半平面(不 包含边界x + y = 0)，如下图所示，此时 D 为无界开区域． O y x
例6求二元函数=1(9-x2-y2)+x2+y2-1的定 义域 解这个函数是由m9-x2-y2)和、x2+y2-1两部 分构成,所以要使函数z有意义,x,y必须同时满足 x-+ ≥0 即1≤x2+y2<9,函数定义域为 D={x,y)1x2+y2<9}点集D 在xOy平面上表示以原点为圆 13x 心,半径为3的圆与以原点为 圆心的单位圆所围成的圆环 域包含边界曲线内圆x+y=1, 但不包含边界曲线外圆x+y2=9) (如右图所示) 冈凶
例 6 求二元函数 ln(9 ) 1 2 2 2 2 z = − x − y + x + y − 的定 义域． 解 这个函数是由ln(9 ) 2 2 − x − y 和 1 2 2 x + y − 两 部 分构成，所以要使函数 z 有意义，x, y 必须同时满足 + − − − 1 0, 9 0, 2 2 2 2 x y x y 即1 9 2 2 x + y ,函数定义域为 ( , ) |1 9. 2 2 D = x y x + y 点集 D 在xOy平面上表示以原点为圆 心，半径为 3 的圆与以原点为 圆心的单位圆所围成的圆环 域(包含边界曲线内圆 1 2 2 x + y = ， 但不包含边界曲线外圆 9 2 2 x + y = ) (如右图所示)． O 1 3 x y
2二元函数的几何表示 把自变量x,y及因变量z当作空间点的直角坐标,先在 xOy平面内作出函数z=f(x,y)的定义域D(如下图),再 过D域中的任一点M(x,y)作垂直于xOy平面的有向线段 MP,使P点的竖坐标为与(x,y)对应的函数值z.当M点在 D中变动时,对应的P点的轨迹就是函数z=f(x,y)的几何 图形,它通常是一张曲面,而其定义域D就是此曲面在 xOy平面上的投影 y MD 冈凶
2.二元函数的几何表示 把自变量x, y 及因变量 z 当作空间点的直角坐标，先在 xOy平面内作出函数z = f (x, y)的定义域 D (如下图)，再 过 D 域中的任一点M (x, y)作垂直于xOy平面的有向线段 MP，使P点的竖坐标为与(x, y)对应的函数值 z．当 M 点在 D中变动时，对应的 P 点的轨迹就是函数z = f (x, y) 的几何 图形，它通常是一张曲面，而其定义域 D 就是此曲面在 xOy平面上的投影． y x z O X Y M D P
例7作二元函数z=1-x-y的图形 解二元函数z=1-x-y的图形是空间一平面,其图 形如下图所示 2=1-x-y 冈凶
例 7 作二元函数z =1− x − y的图形． 解 二元函数z =1− x − y的图形是空间一平面，其图 形如下图所示． x y z O z=1-x-y