2特征函数 母函数有很好的性质,但是也有很大限制。考虑母函数的期望形式,我 们定义下面的特征函数 定义对任一随机变量,称 f(t=E(e x<t< 为X的特征函数 对任意的随机变量X以及实数t,都有 f(t)=|E(e)≤Ele 故任意随机变量的特征函数f(t)都存在,是实变复值的 特征函数有以下性质 (1)f(0)=1,|f(t)|≤1,f(-t)=f(t) (2)f(t)一致连续 (3)若X与Y相互独立,则∫x+y(t)=fx(t)·fy(t) (4)若X有k阶矩,则fx(1)是k阶可微的,且f()=E( Keitt (5)如果X的特征函数为fx(t),则a+bX的特征函数为 fa+bx(t)=efx(at) (6)f(t)是非负定的,即对任意的正整数n及任意的实数t1,……,tn与 复数A1,…,An,总有 ∑∑f(k-t4)Ax≥0. k=l j 下面看几个常用函数的特征函数 (1)两点分布 根据定义,两点分布的特征函数为
Ch5 1 §2 ✂✁✂✄✂☎ ✆✂✝✂✞✂✟✂✠✂✡✂☛✂☞✍✌✏✎✒✑✍✓✍✔✍✟✍✠✍✕✂✖✍✗✏✘✚✙✍✛✍✆✍✝✂✞✍☛✍✜✍✢✍✣✍✤✏✎✒✥ ✦✂✧✂★✂✩✂✪☛✂✫✂✬✂✝✂✞✭✘ ✮✂✯ ✰✂✱✂✲✂✳✂✴✂✵✂✶✎✸✷ f(t) = E(eitX ), −∞ 0. ✩✂✪✂❭✂❪✂❫✂❴✂❵✝✂✞✂☛✂✫✍✬✂✝✍✞✭✘ (1) ❛✂❜✂❝✂❞ ❡✂❢✧✂★✎ ❛✂❜✂❝✂❞☛✂✫✍✬✍✝✂✞✹ f(t) = pe it + q. 1
于是,可以推出二项分布B(n,p)的特征函数为 +q (2) Poisson分布 f(t)=>e he ex=ei A(e-1) k! k=0 (3)正态分布 先求标准正态分布N(0,1)的特征函数 f(t) 于是,对一般的正态分布,X~N(,),由上面的性质6可知X的特 征函数为 特征函数之所以称为特征函数,是因为从分布函数F(x)到相应的特征 函数f(1)的变换是一映射。也就是说,两个不同的分布函数对应的特征函 数也是不同的。于是,给定了f(t)之后,分布函数F(x)也唯一确定了。从 f(t)到F(x)的公式如下 F()-F(a)⊥mp f(t)dt, 其中a<b都是F(x)的连续点 §3几种收敛 对于一族分布或一族随机变量,容易想到它们是否有极限,有什么意义 下的极限。如果有,极限是否还是一个分布函数。接下来就要讨论这个问题
Ch5 2 ❣✓✺✎ ❖✂✼✂❤❥✐❧❦✂♠✍❝✂❞ B(n, p) ☛✂✫✂✬✂✝✂✞✹ f(t) = (pe it + q) n . (2) Poisson ❝✂❞ f(t) = X∞ k=0 e itk · λ k k! e −λ = X∞ k=0 (λe it) k k! e −λ = e λ(e it−1) . (3) ❨✂♥❝✂❞ ♦✂♣✂q✂r❨✂♥❝✂❞ N(0, 1) ☛✂✫✂✬✂✝✂✞✺✘ f(t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ e itxe − x 2 2 dx = 1 √ 2π Z ∞ −∞ e − (x−it) 2 x e − t 2 2 dx = e − t 2 2 . ❣✓✺✎ ✰✂✲✂s☛✂❨✍♥❝✍❞✎ X ∼ N(µ, σ) ✎✉t❧✈✪☛✂☞✂✌ 6 ❖✂✇ X ☛✂✫ ✬✂✝✂✞✹ f(t) = e iµt− 1 2 σ 2µ 2 . ✫✂✬✂✝✂✞✂①✂②✼✷✹✫✂✬✍✝✍✞✭✎✒✓④③✹✍⑤❝✂❞✝✍✞ F(x) ⑥✂❋✂⑦☛✂✫✂✬ ✝▼✞ f(t) ☛✵▼⑧✓✲▼✲▼⑨✂⑩✘❶✔✂❷✂✓✂❸✭✎ ❛ ❫✂❹❥❺☛❝✂❞✝✂✞✰ ⑦ ☛✂✫✂✬✂✝ ✞✂✔✂✓❹❥❺☛✏✘ ❣✓✏✎❼❻✧✍❽ f(t) ①✂❾✭✎ ❝✂❞✝✂✞ F(x) ✔✂❿✲✂➀✧✂❽ ✘ ⑤ f(t) ⑥ F(x) ☛✂➁✂✤❘✩❅ F(b) − F(a) = 1 2π lim T→∞ Z T −T e −ita − e −itb it f(t)dt, ➂❥➃ a < b ✿✂✓ F(x) ☛❇✂❈❜ ✘ §3 ➄✂➅✂➆✂➇ ✰❣✲✂➈❝✂❞✂➉✲✂➈✂✳✂✴✂✵✂✶✎✸➊✂➋✍➌⑥✍➍✦✓✂➎✍✟✂➏✍✖✭✎✸✟✂➐✍➑✻★ ✩☛▼➏▼✖➒✘ ❘▼❙✟✺✎➓➏✂✖✂✓✂➎▼➔✂✓✲❫ ❝✂❞✝✂✞✺✘➓→✩✂➣❷✂↔✂↕▼➙✂➛❫➝➜❧➞✘ 2
定义对于分布函数列{Fn},如果存在一个函数F,使得 lim Fn(a)=F(a) 对F的每一个连续点都成立,则称Fn(x)依分布收敛(弱收敛)于F(x),记 作Fn 关于弱收敛,有下面的结论 连续性定理 设分布函数列Fn(x)依分布收敛于某一分布函数F(x),则相应的特征 函数列fn(t)收敛于f(t),且在t的一个有限区间内是一致收敛的 设特征函数列fn(t)收敛于某一函数∫(t),且f(t)在t=0处连续,则 相应的分布函数列F(x)依分布收敛于某一分布函数F(x),且f(t)是F(x) 的特征函数 对于随机变量,有以下几种收敛 (1)依分布收敛 称随机变量列Xn依分布收敛到X,如果相应的分布函数Fn(x)依分布 收敛到F(x).记作Xn→→X (2)依概率收敛 称随机变量列Xn依概率收敛到X,如果对任意的ε>0,都有 lim P(IXn-X>a=0 记作XnPX (3)几乎处处收敛(几乎必然收敛,概率1收敛) 称随机变量列Xn几乎处处收敛到X,如果 P(lim Xn=X)=l n→o 记作XnX (4)r阶矩收敛 称随机变量列Xn收敛到X,如果 im‖Xxn-Xllr=0 记作Xn一→X
Ch5 3 ✮✂✯ ✰❣❝✂❞✝✂✞✂➟ {Fn} ✎ ❘✂❙❁✂❂✲❫✝✂✞ F ✎✸➠✂➡ limn→∞ Fn(x) = F(x) ✰ F ☛▼➢✲❫❇▼❈❜✿✂➤■ ✎➥❏✂✷ Fn(x) ➦▼❝▼❞▼➧▼➨➫➩➯➭✂➧✂➨➳➲ ❣ F(x) ✎❶➵ ➸ Fn w−→ F ✘ ➺❣ ➭✂➧✂➨✎✸✟✩✂✪☛✂➻✍➙✏❅ ➼✂➽✂➾✂✮✂➚❅ ➪❝✂❞✝✂✞✍➟ Fn(x) ➦✂❝✂❞✂➧✂➨❣✍➶✲ ❝✍❞✝✍✞ F(x) ✎➹❏❋✂⑦☛✍✫✍✬ ✝✂✞✂➟ fn(t) ➧✂➨❣ f(t) ✎✸◗✂❂ t ☛✲❫✟✂✖❥➘✂➴✂➷❧✓✲✍❆➧✍➨☛✭✘ ➪✫✂✬✂✝✂✞✂➟ fn(t) ➧✂➨❣✂➶✲✝✂✞ f(t) ✎✒◗ f(t) ❂ t = 0 ➬❇✂❈✎✒❏ ❋▼⑦☛❝▼❞✝✂✞✂➟ Fn(x) ➦▼❝▼❞▼➧▼➨❣✂➶✲ ❝✂❞✝✂✞ F(x) ✎➮◗ f(t) ✓ F(x) ☛✂✫✂✬✂✝✂✞✺✘ ✰❣✳✂✴✂✵✂✶✎✸✟✼ ✩✂❪✍➱➧✂➨❅ (1) ➦✂❝✂❞✂➧✂➨ ✷✳▼✴▼✵▼✶➟ Xn ➦▼❝▼❞▼➧▼➨▼⑥ X ✎ ❘▼❙▼❋▼⑦☛❝✂❞✝✂✞ Fn(x) ➦▼❝▼❞ ➧✂➨✂⑥ F(x) ✘✸➵➸ Xn L−→ X ✘ (2) ➦✂✃✂❐✂➧✂➨ ✷✳✂✴✂✵✂✶➟ Xn ➦✂✃✂❐✂➧✂➨✂⑥ X ✎ ❘✂❙✰✂✱✂✻☛ ε > 0 ✎✸✿✂✟ limn→∞ P(|Xn − X| > ε) = 0. ➵➸ Xn P−→ X ✘ (3) ❪✂❒➬✂➬✂➧✂➨❮➩ ❪✂❒✂❰✍Ï➧✍➨✎ ✃✍❐ 1 ➧✂➨➳➲ ✷✳✂✴✂✵✂✶➟ Xn ❪✂❒➬✂➬✂➧✂➨✂⑥ X ✎ ❘✂❙ P( limn→∞ Xn = X) = 1. ➵➸ Xn a.s. −→ X ✘ (4) r ❑✂▲✂➧✂➨ ✷✳✂✴✂✵✂✶➟ Xn ➧✂➨✂⑥ X ✎ ❘✂❙ limn→∞ ||Xn − X||Lr = 0. ➵➸ Xn L r −→ X ✘ 3
这几种收敛的强弱关系如下: XnX→XnPX→Xnbx, X X→X 依分布收敛不能推出依概率收敛,但有下面的特殊情形; 对任意的常数c,有 X. C→→X
Ch5 4 ➛❪✂➱➧✂➨☛✂Ð➭➺✂Ñ❘✩❅ Xn a.s. −→ X =⇒ Xn P−→ X =⇒ Xn L−→ X, Xn L r −→ X =⇒ Xn P−→ .X ➦✂❝✂❞✂➧✂➨❹✂Ò❤❥✐❧➦✂✃✍❐✂➧✍➨✎Ó✑✍✟✩✂✪☛✍✫✂Ô✍Õ✂✣✏Ö ✰✂✱✂✻☛❴✞ c ✎✸✟ Xn L−→ c =⇒ Xn P−→ c. 4