笨大学 Tsinghua University 第八讲 2005-1-18 应用随机过程讲义第八讲
2005-1-18 应用随机过程讲义 第八讲 1 第八讲
笨大学 Tsinghua University 作业题 1,6(1),7(1)(2),9,10,11,12,17, 23) 2005-1-18 应用随机过程讲义第八讲
2005-1-18 应用随机过程讲义 第八讲 2 • 作业题 1，6(1)，7(1)(2)，9，10，11，12，17， 23)
笨大学 Tsinghua University 宽平稳过程 定义设随机过程Xr={x(tt∈T},Bxt)2<x,(即xr为二阶价矩过程若 Ex(t)=m为常数,Co(x(t,x(s)=E(x(+)-m(x(s)-m]=lt-s 则称x为宽平稳过程或协方差平稳过程 2005-1-18 应用随机过程讲义第八讲
2005-1-18 应用随机过程讲义 第八讲 3 宽平稳过程
笨大学 Tsinghua University 例(1)设={n,n∈2}为实的(或复的)随机序列,且En=0. En2=2<x,BFnm=6nm2其中 1m= 6n 07≠m 可见ξ={n,n∈Z}是宽平稳过程,人们常称={n,n∈Z}为白噪声, 2005-1-18 应用随机过程讲义第八讲
2005-1-18 应用随机过程讲义 第八讲 4
笨大学 Tsinghua University (2)设Xn=∑+、n-k,其中nn∈z}为白噪声,∑=、/ak2<x 显然EXn=0,B(n,n+r)=E(XnXn+)= E∑asn-b(∑5+1)=(∑a+2≡B k=- 上式只与时间差r有关.所以Xr={xn,n∈Z}为宽平稳过程(序列) 2005-1-18 应用随机过程讲义第八讲
2005-1-18 应用随机过程讲义 第八讲 5
笨大学 Tsinghua University 例随机简谐运动的叠加 (1)Xn=cosn+ninn,n∈z.其中∈0.]为角频率.E=En= E2=E1n2=a2,且E(n)=0.即,n互不相关,称Xn为随机简谐运动显然EXn=0 R(n, n+r)=E(X,Xn+r)=E(S cos nw+nsin nw)(s cos(n +r)w +n sin(n +r)w) =o(cos(n +r)w cos nw+sin(n+r)w sin nw) =02 cosTa≡R(r) 上式只与时间差r有关,所以Xn是宽平稳过程 2005-1-18 应用随机过程讲义第八讲
2005-1-18 应用随机过程讲义 第八讲 6
笨大学 Tsinghua University (2)Xn=∑h=0(5kC0smk+ 7k Sin nwk,n∈Z,其中k∈0,x,为角频率。Ek= Ek=0.B2=En=02,E(F51)=E(7m)=0(k≠1) l≤mn,E(kmn)= 于是可得EXn=0 R(n, n+r)=E(X,Xn+r E'EISR COS UK+m, sin mW: )EISI COS(n+1)u+n sin(m+)u )) ∑c(nmm+(m+1m=∑ k COSTWk 上式只与r有关,所以Xn为宽平稳过程 2005-1-18 应用随机过程讲义第八讲
2005-1-18 应用随机过程讲义 第八讲 7
笨大学 Tsinghua University 3)Xn=∑=05kem,其中k性质同上,且∑x=02<xn∈Z 则由Xn=∑k=05k( COS nUK+ L sin nUk).可得EXn=0 R(n+r, n)=E(Xn+rXn) E(∑5e"+m∑5e-m)=∑e"R k=0 1=0 k=0 上式仅与r有关 角频率不同的随机简谐运动振幅不相关,它们的迭加必为宽平稳过程. 反问题:任意宽平稳过程是否能分解成为上述简谐运动的迭加? 2005-1-18 应用随机过程讲义第八讲
2005-1-18 应用随机过程讲义 第八讲 8 角频率不同的随机简谐 运动振幅不相关 ,它们的迭加必为宽平稳 过程. 反问题:任意宽平稳过程是否能分解成为上述简谐运动的迭加?
笨大学 Tsinghua University 若令02=∑=0,p=答w∈可记F(a)=∑k<,易知,F)是.x 上的单调不减,右连续的台阶形函数,F(0)=0.F()=1.即F()是0.7上的一分布 函数.它是刻划不同频率电流分量的分配通常称F(u)为电流Xn的功率谱函数(详见 本章第四节).则相关系数 p(r) R(r) ∑Dem=∑ arUk Ph (COS TWk +isinrwp ∑ Pk e ir二 e"“dF() k=0 即pr)可看作是F(a)的富利埃变换 请思考:对一般宽平稳过程是否有类似结果? 2005-1-18 应用随机过程讲义第八讲
2005-1-18 应用随机过程讲义 第八讲 9 请思考:对一般宽平稳过程是否有类似结果?
笨大学 Tsinghua University 正态过程 定义设X=(Xk,1<k<n)是n维随机向量,我们称它是n维正态随机向量, 若它的概率密度函数为 f(x)=(2x)| exp{-(x-1) ∑-1(x-p 其中=(xk,1<k<n)∈R,p=(k,1<k≤n)2,1<k≤n ∑是n阶正定对称矩阵,此时记作X~N(,∑) 易知,EXk=体k,1≤k≤n∑是X的协方差矩阵,即:〗=E(X-1)(X-1)2 且X~N(,)的特征函数为p(t)EeX= exp(iu t-3+】+ 其中t=(tk,1<k<n)x∈R2 2005-1-18 应用随机过程讲义第八讲 10
2005-1-18 应用随机过程讲义 第八讲 10 正态过程