84分布函数 定义设X(u)是概率空间(,F,P)上的一个随机变量,则称函数 元实变实值) F(x)=P(X≤x)=P({uX(u)≤x}),-∞<x<∞ 为X(u)的概率分布函数 容易看出,分布函数具有以下性质: (1)F(x)单调非降; (2) lim F()=0, lim F(r)=1 (3)F(x)右连续,且左极限存在; (4)称F(x-)≠F(x)的点x为跳跃点,则跳跃点只有可数个 5)离散型随机变量的分布函数是阶梯函数 定义对于随机变量X,如果存在可积函数p(x)使得 F(a)=P(x≤x)/p(tt 则称X为连续型随机变量,相应的,p(x)称为X的概率密度函数 对于连续型随机变量X,它取任何一个值a的概率为0. 下面给出几个常用的连续型随机变量的概率密度函数 (1)均匀分布 称概率密度为 p(a) A,当a≤x≤b; 0,其他, 的随机变量X为区间[a,上的均匀分布,记作 X~U[a,列 容易看出,N=b-a·均匀分布就是一维的几何概型 (2)指数分布
Ch2 1 §4 ✂✁✂✄✂☎ ✆✂✝✟✞ X(ω) ✠✂✡✂☛✂☞✍✌ (Ω, F, P) ✎✂✏✂✑✂✒✂✓✂✔✂✕✗✖✙✘✛✚✗✜✗✢✗✣✥✤✦✑ ✧✂★✕ ★✂✩✫✪ F(x) = P(X 6 x) = P({ω|X(ω) 6 x}), −∞ < x < ∞ ✬ X(ω) ✏✂✡✂☛✂✭✂✮✂✢✂✣✰✯ ✱✂✲✂✳✍✴ ✘✵✭✂✮✂✢✂✣✗✶✂✷✗✸✗✹✂✺✗✻✙✼ (1) F(x) ✽✂✾✂✿✂❀❂❁ (2) lim x→−∞ F(x) = 0, lim x→+∞ F(x) = 1; (3) F(x) ❃✂❄✂❅✰✘✵❆✂❇✂❈✂❉✗❊✂❋✙❁ (4) ✜ F(x−) 6= F(x) ✏✂● x ✬✂❍✂■●✰✘✵✚❍✂■●✗❏✂✷✗❑✗✣✂✒❂✯ (5) ▲✂▼✂◆✂✓✂✔✂✕✂✖✂✏✂✭✂✮✂✢✗✣✗✠✂❖✗P✂✢✗✣❂✯ ✆✂✝❘◗✂❙✓✂✔✂✕✂✖ X ✘✵❚✂❯✂❊✂❋✂❑✂❱✂✢✂✣ p(x) ❲✂❳ F(x) = P(X 6 x) Z x −∞ p(t)dt ✚✂✜ X ✬❄✂❅✂◆✂✓✂✔✂✕✂✖✰✘❩❨✗❬✂✏❂✘ p(x) ✜ ✬ X ✏✂✡✂☛✂❭✂❪✂✢✂✣✰✯ ◗✂❙❄✂❅✂◆✂✓✂✔✂✕✂✖ X ✘✵❫✂❴✂❵✂❛✂✑✂✒✩ a ✏✂✡✂☛✬ 0 ✯ ✹✂❜✂❝✴❡❞✒✂❢✂❣✂✏✂❄✂❅✗◆✂✓✗✔✗✕✂✖✗✏✂✡✗☛✗❭✂❪✗✢✗✣❂✯ (1) ❤✂✐✂✭✂✮ ✜✂✡✂☛✂❭✂❪✬ p(x) = ( λ, ❥a 6 x 6 b; 0, ❦✂❧, ✏✂✓✂✔✂✕✂✖ X ✬✍♠ ✌ [a, b] ✎✂✏✂❤✂✐✂✭✂✮✰✘✵♥✗♦ X ∼ U[a, b]. ✱✂✲✂✳✍✴ ✘ λ = 1 b − a ✯✵❤✂✐✂✭✂✮✂♣✂✠✂✑✂q✗✏❞ ❛✗✡✂◆❂✯ (2) r✂✣✂✭✂✮ 1
称概率密度为 p()=xx≥0(>0) x0,则称X服从参数为,a的正 态分布,记作X~N(,0) 正态分布的图形如下: 容易看出,图形是关于直线x=对称的.故P(X≤-a)=P(X≥ a)。 容易证明,若X~N(μ,0),Y~N(0,1),则 P(a<x<b=P( 于是在计算的时候,只需要知道N(0,1)的分布即可.NO,1)的分布函数记 为更(
Ch2 2 ✜✂✡✂☛✂❭✂❪✬ p(x) = ( λe −λx , x > 0 (λ > 0); 0, x a + b|X > a) = P(X > b). ① ♣✂✠✂②❂✘✛③❞ ❛✗✭✗✮④✑✗⑤✙✘⑥r✗✣✗✭✗✮✗✶④✷✗⑦✗♥✗⑧✗✺✙✯⑥⑨❶⑩❷✏✗✠✙✘⑥r✗✣✗✭✗✮ ✠✂❄✂❅✂◆✂✏✂✓✂✔✂✕✂✖❂✯ (3) ❸✂❹✂✭✂✮ ❚✂❯✂✓✂✔✂✕✂✖ X ✏✂✡✂☛✂❭✂❪✂✢✂✣✬ p(x) = 1 √ 2πσ · e − (x−µ) 2 2σ2 (−∞ 0 ✘❼✚✂✜ X s✂t✂✉✣ ✬ µ, σ ✏✂❸ ❹✂✭✂✮✰✘✵♥✂♦ X ∼ N(µ, σ) ✯ ❸✂❹✂✭✂✮✂✏✍❽❡❾✂❚✂✹❂✼ O µ x y ✱✂✲✂✳✍✴ ✘❿❽❡❾✂✠✂➀❙✗➁✗➂ x = µ ◗✜✂✏✰✯❩➃ P(X 6 µ − a) = P(X > µ + a) ✯ ✱✂✲✂✇✍➄ ✘✵➅ X ∼ N(µ, σ) ✘ Y ∼ N(0, 1) ✘✵✚ P(a < X < b) = P( b − µ σ < Y < a − µ σ ). ❙✠✂❋✂➆✂➇✂✏✂➈✂➉✰✘➊❏✗➋✗➌✂➍✗➎ N(0, 1) ✏✂✭✂✮✂➏✂❑✰✯ N(0, 1) ✏✂✭✂✮✂✢✂✣✂♥ ✬ Φ(x) ✯ 2
正态分布是统计中应用最多的分布,很多测量误差,观察指标都是服从 正态分布。第五章从理论上证明了这一点。具体细节在第五章里讨论 (4)伽玛分布 如果随机变量X的概率密度为 T(a) a-be,x>0(a>0,B>0) 0 ≤0 则称X服从参数为(a,B)的伽玛分布,记作X~r(a,B) 伽玛分布是一个很大的分布类,指数分布是它的一个子类(a 外,在统计学中常见的x2分布类也是它的一个子类(a=,B=5) s5随机变量函数及概率其分布 这里要讨论的问题是,已知X(u)的概率分布,求 Y(u)=f(X() 的概率分布,其中,f()是已知的一元实值实变函数 在这里只讨论几个例子,更一般的讨论在下一章一起讨论 例51已知X~N(,a),求Y=aX+b的分布函数(a>0) 解 Fy(y)=P(Y≤y)=P(aX+b≤y P(X≤ F 是 也就是说,Y~N(a+b,a2a2),即正态分布经过线性变换之后还是正态分 布.特别的,取Y=X一有Y~N(0,1)
Ch2 3 ❸✂❹✂✭✂✮✂✠✂➐✂➆✍❺❡❬✂❣✂➑✂➒✂✏✂✭✗✮❂✘✵➓✂➒✗➔✂✖✗→✂➣❂✘✵↔✗↕✂r✗➙✂➛✗✠s✗t ❸✂❹✂✭✂✮✰✯✵➜✂➝✂➞t✗➟✂➠✎✇❶➄➢➡✂➤✑✂●❂✯➥✶✗➦✂➧✗➨✂❋✗➜✗➝✂➞✗➩✂➫➠ ✯ (4) ➭✂➯✂✭✂✮ ❚✂❯✂✓✂✔✂✕✂✖ X ✏✂✡✂☛✂❭✂❪✬ p(x) = β α Γ(α) x α−1 e −βx , x > 0 (α > 0, β > 0); 0, x 6 0, ✚✂✜ X s✂t✂✉✣ ✬ (α, β) ✏✂➭✂➯✂✭✂✮✰✘✵♥✂♦ X ∼ Γ(α, β) ✯ ➭✂➯✂✭✂✮✂✠✂✑④✒✗➓✗➲④✏✗✭✗✮④➳✙✘➵r✗✣✗✭④✮✗✠✗❫④✏✗✑✗✒④➸✗➳ (α = 1) ✯➻➺ ➼ ✘✵❋✂➐✂➆✂➽✍❺❡❢✗➾✗✏ χ 2 ✭✂✮✂➳① ✠✂❫✂✏✂✑✂✒✂➸✂➳ α = n 2 , β = 1 2 ✯ §5 ➚✂➪✂➶✂➹✄✂☎✂➘✂➴✂➷✂➬✗✂✁ ➤ ➩✂➌✂➫➠ ✏✍➮❡➱✂✠✰✘❿✃➢➍ X(ω) ✏✂✡✂☛✂✭✂✮✰✘✵❐ Y (ω) = f(X(ω)) ✏✂✡✂☛✂✭✂✮✰✘✵❦✍❺❒✘ f(·) ✠✍✃❡➍✂✏✂✑✧✂★✂✩✂★✕✗✢✗✣❂✯ ❋➤ ➩✂❏✂➫➠❞ ✒✂❮✂➸✰✘➥❰✗✑✂Ï✗✏✂➫➠ ❋✂✹✗✑✗➞✂✑✗Ð✂➫➠ ✯ Ñ 5.1 ✃❡➍ X ∼ N(µ, σ) ✘✵❐ Y = aX + b ✏✂✭✂✮✂✢✂✣ (a > 0) ✯ Ò FY (y) = P(Y 6 y) = P(aX + b 6 y) = P(X 6 y − b a ) = FX( y − b a ). ❙✠ F 0 Y (y) = F 0 X( y − b a ) · 1 a = 1 √ 2πaσ exp − (y − aµ − b) 2 2a 2σ 2 . ① ♣✂✠✂②❂✘ Y ∼ N(aµ + b, a 2σ 2 ) ✘➥➏✂❸✂❹✂✭✂✮✂Ó✂Ô➂✺✗✕✗Õ✗Ö✗×✗Ø✗✠✗❸✂❹✗✭ ✮✰✯✵Ù✂Ú✂✏✰✘✵❴ Y = X − µ σ ✘✵✷ Y ∼ N(0, 1) ✯ 3
例52X~N(0,1),求Y=X2的分布 解当y≤0时,显然有F(y)=0.当y>0时 Fy(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y) P(-≤X≤√勿 可知其密度函数为 pr(y)=yte-y ,y>0; 0, y≤0, 也就是说,Y~T(,) 例53设X~U(0,1),求Y=重-1(X)的分布 解 F(y)=P(Y≤y)=P(重1(X)≤y) P(X≤更(y))=重(y 这表明Y~N(0,1)
Ch2 4 Ñ 5.2 X ∼ N(0, 1) ✘✵❐ Y = X2 ✏✂✭✂✮✰✯ Ò ❥ y 6 0 ➈✰✘✵Û✂Ü✂✷ FY (y) = 0 ✯✵❥ y > 0 ➈✰✘ FY (y) = P(Y 6 y) = P(X2 6 y) = P(− √y 6 X 6 √y) = 1 √ 2π Z √y − √y e − x 2 2 dx = 1 √ 2π Z y 0 x − 1 2 e − x 2 dx ❑✂➍✂❦✂❭✂❪✂✢✂✣✬ pY (y) = ( y − 1 2 e − y 2 , y > 0; 0, y 6 0, ① ♣✂✠✂②✰✘ Y ∼ Γ 1 2 , 1 2 ✯ Ñ 5.3 ✞ X ∼ U(0, 1) ✘✵❐ Y = Φ −1 (X) ✏✂✭✂✮✰✯ Ò FY (y) = P(Y 6 y) = P(Φ−1 (X) 6 y) = P(X 6 Φ(y)) = Φ(y). ➤✂Ý✍➄ Y ∼ N(0, 1) ✯ 4