第八章常微分方程 第一节常微分方程的基本概念与 分离变量法 第二节一阶线性微分方程与可降 阶的高阶微分方程 第三节二阶常系数线性微分方程
第八章 常微分方程 第一节 常微分方程的基本概念与 分离变量法 第二节 一阶线性微分方程与可降 阶的高阶微分方程 第三节 二阶常系数线性微分方程
第一节常微分方程的基本概念与 分离变量法 微分方程的基本概念 二、分离变量法
一、微分方程的基本概念 二、分离变量法 第一节 常微分方程的基本概念与 分离变量法
第一节常微分方程的基本概念与分离变量法 、微分方程的基本概念 微分方程:含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微 分方程.特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时,这 时的微分方程就称为常微分方程 微分方程的阶:微分方程中,所含未知函数的导数的最高 阶数定义为该微分方程的阶数 线性微分方程:当微分方程中所含的未知函数及其各阶 导数全是一次幂时,微分方程就称为线性微分方程.在线性 微分方程中,若未知函数及其各阶导数的系数全是常数,则 称这样的微分方程为常系数线性微分方程
第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法 微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高 阶数定义为该微分方程的阶数． 微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微 分方程．特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时，这 时的微分方程就称为 常微分方程． 线性微分方程：当微分方程中所含的未知函数及其各阶 导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程．在线性 微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则 称这样的微分方程为常系数线性微分方程． 一、微分方程的基本概念
微分方程的解:如果将函数=y(x)代入微分方 程后能使方程成为恒等式,这个函数就称为该微分方程的 解 微分方程的解有两种形式:一种不含任意常数;一种 含有任意常数.如果解中包含任意常数,且独立的任意常 数的个数与方程的阶数相同,则称这样的解为常微分方程 的通解,不含有任意常数的解,称为微分方程的特解 初始条件:用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值 作为确定通解中任意常数的条件,称为初始条件 阶常微方程的初始条件为y(x0)=y0,其中x0 是两个已知数 二阶微分方程的初始条件为y(x0)=y (
如果将函数y = y ( x ) 代入微分方 程后能使方程成为恒等式，这个函数就称为该微分方程的 解． 初始条件：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值 作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件． 一阶常微方程的初始条件为 0 0 y( x ) = y ,其 中 0 x ， 0 y 是两个已知数. 二阶微分方程的初始条件为 0 0 0 0 ( ) , ( ) . y x y y x y = = 微分方程的解： 微分方程的解有两种形式：一种不含任意常数；一种 含有任意常数．如果解中包含任意常数，且独立的任意常 数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为常微分方程 的通解，不含有任意常数的解，称为微分方程的特解．
例1验证函数y=C1e+C2e2(CC2为任意常数) 为二阶微分方程y"-3y+2y=0的通解,并求该方程满 足初始条件y(0)=0,y(0)=1的特解 解 Ce+o ge +cEx y=Ce+4Ce2x 将yy,y代入方程y”-3y+2y=0左端,得 Ce2+4C2e2x-3(C1e2+2C2c2x)+2(C1e2+C2e2x) (C1-3C1+2C1ex+(4C2-6C2+2C2)e2x=0, 所以,函数y=Ce+C2e2是所给微分方程的解.又因 为,这个解中有两个独立的任意常数,与方程的阶数相 同,所以它是所给微分方程的通解
例 1 验证函数 x x y C C 2 1 2 = e + e ( 1 2 C C, 为任意常数) 为二阶微分方程 y − 3y + 2 y = 0的通解，并求该方程满 足初始条件y(0) = 0, y(0) =1的特解． 所以，函数y = C e1 x +C2 2x e 是所给微分方程的解．又因 为，这个解中有两个独立的任意常数，与方程的阶数相 同，所以它是所给微分方程的通解． x x y C C 2 1 2 = e + e , 2 1 2 e 2 e , x x y C C = + 2 1 2 e 4 e , x x y C C = + 将y, y , y 代入方程 y − 3y + 2 y = 0左端，得 解 e 4 e 3( e 2 e ) 2( e e ) 2 1 2 2 1 2 2 1 2 x x x x x x C + C − C + C + C +C ( 3 2 )e (4 6 2 )e 0 2 = 1 − 1 + 1 + 2 − 2 + 2 = x x C C C C C C
由初始条件y0)=0,我们得C1+C2=0,由初始条件 y(0)=1,得C1+2C2=1.所以C2=1,C1=-1.于是,满 足所给初始条件的特解为y=-ex+e2x 定义1(线性相关,线性无关)设函数y(x),y2(x) 是定义在区间(a,b)内的函数,若存在两个不全为零的数 k1,k2,使得对于(a,b)内的任一x恒有 k1y1+k2y2=0 成立,则称函数,y2在(a,b)内线性相关,否则称为线性 无关
由初始条件y(0) = 0，我们得C1 + C2 = 0，由初始条件 y(0) =1，得 2 1. C1 + C2 = 所以C2 = 1，C1 = −1．于是，满 足所给初始条件的特解为 x x y 2 = −e + e ． 设函数 ( ), ( ) 1 2 y x y x 是定义在区间( , ) a b 内的函数，若存在两个不全为零的数 1 2 k , k ，使得对于( , ) a b 内的任一 x 恒有 成立，则称函数 1 2 y , y 在( , ) a b 内线性相关，否则称为线性 无关． 0 k1 y1 + k 2 y2 = 定义1 （线性相关，线性无关）
y1,y2线性相关的充分必要条件是在(ab)区间内 恒为常数.若不恒为常数,则y,y2线性无关当y y2 与y2线性无关,函数y=Cy+C2y2中含有两个独立 的任意常数C1和C2 二、分离变量法 定义2形如4y=(x)g(y)的方程,称为可分离 dx 变量的方程 可分离变量方程的特点:等式右边可以分解成两个函数之 积,其中一个只是x的函数,另一个只是y的函数
1 2 y , y 线性相关的充分必要条件是 2 1 y y 在( , ) a b 区间内 恒为常数．若 2 1 y y 不恒为常数，则 1 2 y , y 线性无关．当 1 y 与 2 y 线性无关，函数 1 1 2 2 y = C y +C y 中含有两个独立 的任意常数 C1和C2 ． 定义 2 形如 ( ) ( ) d d f x g y x y = 的方程，称为可分离 变量的方程. 可分离变量方程的特点：等式右边可以分解成两个函数之 积，其中一个只是 x 的函数，另一个只是 y 的函数． 二、分离变量法
可分离变量方程的解法: (1)分离变量:将该方程化为等式一边只含变量y 而另一边只含变量x的形式,即 d 2)两边和()=f(x其中g(y)≠0 积分 d f(x)dx g(y) (3)计算上述不定积分,得通解
可分离变量方程的解法： （1）分离变量：将该方程化为等式一边只含变量 y ， 而另一边只含变量 x 的形式，即 f x x g y y ( )d ( ) d = 其中g( y) 0 （2）两边积分： f x x g y y ( )d ( ) d = （3）计算上述不定积分，得通解
例2求y+xy=0的通解 解方程变形为 d d 分离变量得 d xdx(y≠0) 两边积分得∫= xdx, 求积分得n|y=-x2+ 2 所以 ly=e 方程通解为y=Ce2(C为任意常数)
例2 求y'+xy = 0的通解． 解 方程变形为 xy x y = − d d , 分离变量得 x x y y d d = − (y 0 ), 两边积分得 = − x x y y d d , 求积分得 1 2 2 1 ln | y |= − x +C , 所以 2 1 1 2 2 1 2 1 | | e e e x C x C y − + − = = , 即 2 2 1 1 1 1 2 2 e e e ( e ) x x C C y C C − − = = = , 方程通解为 2 2 1 e x y C − = （ C 为任意常数）
例3设降落伞从跳伞塔下落,所受空气阻力与速度 成正比,降落伞离开塔顶(t=0)时的速度为零.求降落 伞下落速度与时间t的函数关系 解设降落伞下落速度为v(1)时伞所受空气阻力为 (负号表示阻力与运动方向相反,k为常数).另外 伞在下降过程中还受重力P=mg作用,故由牛顿第二定律 dv 得∥“且有初始条件:v=0=0于是,所给问题归 结为求解初值问题 dv mg dt 0=0
例 3 设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度 成正比，降落伞离开塔顶(t = 0)时的速度为零．求降落 伞下落速度与时间 t 的函数关系. 解 设降落伞下落速度为v(t)时伞所受空气阻力为 − kv（负号表示阻力与运动方向相反，k为常数）．另外， 伞在下降过程中还受重力P = mg作用，故由牛顿第二定律 得 mg kv t v m = − d d 且有初始条件：v | t=0= 0于是，所给问题归 结为求解初值问题 0 d , d | 0, t v m mg kv t v = = − =
