生第5章线性空间与线性变換 王5线性空间及其性质 、线性空间的定义 工工工 二、线性空间的性质 三、线性子空间 上页
5.1 线性空间及其性质 第5章 线性空间与线性变换 • 二、线性空间的性质 • 三、线性子空间 • 一、线性空间的定义
一线性空间的定义 一个鏃悬续簪能鹚量琶喬铃懸含雍产:也是 线性空间是为了解决实际问题而引入的,它是 某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际问题 看作向量空间,进而通过研究向量空间来解决实际 王问题 上页
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题 看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题． 一、线性空间的定义
定义1设是一个非空集合,P是一数域.如果 对于任意两个元素a,B∈V,总有唯一的一个元 素y∈J与之对应,称为a与B的和,记作 r=a+ B 若对于任一数k∈P与任一元素a∈V总有唯 的一个元素δ∈V与之对应,称为k与a的积, s=ka 上页
= + 若对于任一数 与任一元素 ，总有唯 一的一个元素 与之对应，称为 与 的积， 记作 k P V V k = k 定义１ 设 是一个非空集合， 是一数域．如果 对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元 素 与之对应，称为 与 的和，记作 , V V V P
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律,那 么V就称为数域P上的线性空间 设a,B,y∈V;k,l∈P (1)a+B=B+; (2)(a+B)+y=a+(B+y (3)在中存在零元素0,对任何a∈V,都有 c+0=a; 上页
设, , V;k,l P 0 ; (3) 0, , + = 在V中存在零元素 对任何 V 都 有 (1) + = +; (2) ( + )+ = + ( + ); 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 V 就称为数域 P 上的线性空间．
(4)对任何a∈V都有a的负元素B∈V,使 a+B=0 (5)1a=a; (6)k(a)=(k)a; ((k+0)a=ka+la (8k(a+B)=ka+kB 上页
(5) 1 =; (6) k(l) = (kl); (8)k( + ) = k + k . (7)(k + l) = k + l; 0; (4) , , + = 对任何 V 都 有的负元素 V 使
说明 1.凡满足以上八条规律的加法及乘数运算, 称为线性运算 2.线性空间中的元素均称之为向量 3.判别线性空间的方法:一个集合,对于定 义的加法和数乘运算不封闭,或者运算不满足八条 c性质的任一条,则此集合就不能构成线性空间 上页
2 ．线性空间中的元素均称之为向量． 3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对于定 义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条 性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间． 说明 1． 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算， 称为线性运算．
线性空间是二维、三维几何空间及维向量 空间的推广,它在理论上具有高度的概括性 线性空间的元素统称为“向量”,但它可以是 通常的向量,也可以是矩阵、多项式、函数等 线(是一个集合 性 碧)对所定义的加法及数乘运算封闭 间(所定义的加法及数乘符合线性运算 上页
线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是 通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等. 线 性 空 间 是一个集合 对所定义的加法及数乘运算封闭 所定义的加法及数乘符合线性运算 线性空间是二维、三维几何空间及 维向量 空间的推广，它在理论上具有高度的概括性. n
线性空间的判定方法 (1)一个集合,如果定义的加法和乘数运 算是通常的实数间的加乘运算,则只需检验对运 算的封闭性 例1实数域上的全体m×n矩阵,对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间,记作RmD 工工工 A +B=C mxn 5 a4…=D xn mxn 5 Rm"是一个线性空间 上页
（１）一个集合，如果定义的加法和乘数运 算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运 算的封闭性． 例１ 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ． mn m n R , Amn + Bmn = Cmn , Amn = Dmn 是一个线性空间. m n R 线性空间的判定方法
王 例2次数小于m的多项式的全体记作Px,即 n-1 n r=p=amx ∴ a1x+a0an…a1a0∈R, 对于通常的多项式加法数乘多项式的乘法构成线 性空间 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律 n-1 (n-1X 0 )+(bn1x+…+b1x+b) 王=(an+bn)x"+…+(an+bx+an+b)ePxl 工工 n-1 (anx+…+a1x+a0 会1+…+(1)x+(孔a)∈PIx =(aD 1 P[x对运算封闭 上页
. , [ ] { , , , }, , [ ], 1 0 1 0 1 1 性空间 对于通常的多项式加法 数乘多项式的乘法构成线 次数小于 的多项式的全体 记作 即 P x p x R n P x a x a a an a a n n n n = = + + + − − 例 2 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律． ( ) ( ) 1 0 1 1 0 1 1 a 1 x a x a b x b x b n n n n + + + + + + + − − − − ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 1 a 1 b 1 x a b x a b n n n = + + + + + + − − − P [x] n ( ) 1 0 1 a 1 x a x a n n + + + − − ( ) ( ) ( ) 1 0 1 a 1 x a x a n n = + + + − − P [x]对运算封闭. n P [x] n
例3m次多项式的全体 Qxl1={P=anx+…+a1x+ aol a,s,…a;, 0 ∈R,且an≠0} n 对于通常的多项式加法和乘数运算不构成线性空 0p=0x"+…+0x+0 E ex Qxn对运算不封闭 上页
. , 0} { , , , 0 [ ] 1 0 1 间 对于通常的多项式加法和乘数运算不构成线性空 且 次多项式的全体 = = + + + a a Q x a x a a a a n n n n n R p x n 例 3 0 p = 0 x + + 0x + 0 n Q[x] n Q[x] 对运算不封闭. n