4.3向量组的秩 4.3.1向量组的等价 定义4-9:如果向量组A:C1,a2,…am 中的每一个向量a1(i=1,2,m) 压都可以由向量组4,AB 线性表示,那么就称向量组A可以 由向量组B线性表示。 午若同时向量组B也可以由向量组A线性 表示,就称向量组A与向量组B等价。 上页
4.3向量组的秩 4.3.1向量组的等价 都可以由向量组 定义4-9：如果向量组 中的每一个向量 1 2 : , , , A m 1 2 : , , , B s 线性表示，那么就称向量组A可以 由向量组B线性表示。 若同时向量组B 也可以由向量组A线性 表示，就称向量组A与向量组B等价。 (i 1,2, m) i =
a1=knB1+k12B2+…+kn,B,i=1,2,…,m( 月1=l1a1+l2a2+…+ l a i=1,2,…,s(2) 牛注意:等价是一种等价关系:即满足自反的对 称的和传递的关系) 工工工 上页
注意：等价是一种等价关系：即满足自反的，对 称的和传递的关系） 1,2, , (1) i = ki1 1 + ki2 2 ++ ki s s i = m 1,2, , (2) 1 1 2 2 l l l i s i = i + i ++ i m m =
定理45设a1,a2…,与B1,B2…,B是两个向量组,如果 c(1)向量组a1,a2y…,可以由向量组月1,B,…,B1线性表示 c"(2)S>t 则向量组1,C2,…,、必线性相关。 分析:要证向量组nx1,a2,…,a线性相关 只证存在一组不全为数k1,k2,,k 使k1a1+k2a2+…+k,a,=0 工工工 由向量组a1,2,C可以由向量组B1,B2,,B1线性表示 a1=∑knB1(=12s) 1 上页
定理4-5 设 1 2 , , , s 与 1 2 , , , t 是两个向量组，如果 (2) s t 则向量组 1 2 , , , s 必线性相关。 1 2 , , , s (1) 向量组 1 2 , , , 可以由向量组 t 线性表示； 0 , , , , : , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 + + + s s = s s k k k k k k 使 只证存在一组不全为零实 数 分 析 要证向量组 线性相关 1 2 , , , 由 向量组 s 1 2 , , , 可以由向量组 t 线性表示； ( 1,2, ) 1 k i s t j i = j i j = =
黑x1a1+x2a21+…+xa x∑knB+x2∑k j2/j +…x∑k月 j=1 j=1 =∑(xkm1+x2k12+…x,kn)B j=1 生=点 庄现考察齐次线性方程组 an1x+a12x2+…+a1,x,=0 a21x1+a22x2+…+a2xX。=0 an1x1+a12x2+…+anx,=0 上页
= = = = = + + = + + + + + t j j j s j s j t j s jss j t j j j t j j j s s x k x k x k x k x k x k x x x 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 ( ) = = = t j s i k ji xi j 1 1 ( ) + + + = + + + = + + + = 0 0 0 : 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 t t t s s s s s s a x a x a x a x a x a x a x a x a x 现考察齐次线性方程组
由于s>t即方程的个数小于未知数的个数 故齐次线性方程组有解 192,、. k,使k1a1+k,a2+…+ka=0 所以向量组a1,C2,”C,必线性相关。 推论49设a,a2,…,与月,月2,…,月是两个向量组,如果 (1)向量组a1a2,…a,可以由向量组B,B2,…,月线性表示 (2)且向量组a1,2,…,O线性无关 牛则 S≤t 例任意n+1个m维向量一定线性无关; 任意多于n个n维向量一定线性无关; 上页
故齐次线性方程组有非零 解 由 于s t即方程的个数小于未知数的个数, k1 ,k2 , ,ks ,使 k1 1 + k2 2 ++ ks s = 0 所以向量组 1 2 , , , s 必线性相关。 推论4-9 设 1 2 , , , s 与 是两个向量组，如果 1 2 , , , (1) 向量组 s 1 2 , , , 可以由向量组 t 线性表示； 1 2 , , , t (2)且向量组 1 2 , , , s 线性无关 则s t 例 任意n+1个n维向量一定线性无关； 任意多于n个n维向量一定线性无关；
王推论410等价的线性无关的向包含 相同个数向量 证明:设a1,a2,…,与月1,B2,…,B1是两个等价的向量组, 且都线性无关由推论4S且≤s→S=t A"4.32.极大线性无关组 午对向量组A,如果在A中有r个向量a,an,…,a 工工工 满足: (1)A:a1,O2,…,c线性无关。 (2)任意r+1个向量都线性相关。(如果有的话) 那么称部分组A为向量组A的一个极大线性无关组。 简称极大无关组。( maximalindependent syste) 上页
相同个数向量. 推论4-10 等价的线性无关的向量组包含 证明: 设 1 2 , , , s 与 1 2 , , , t 是两个等价的向量组， 且都线性无关,由推论4-9 s t且t s s = t 4.3.2. 极大线性无关组 简称极大无关组。(maximal independent system) 对向量组A，如果在A中有r个向量 1 2 , , , r 满足： （2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话） 0 1 2 : , , , （1） A r 线性无关。 那么称部分组 A0 为向量组 A 的一个极大线性无关组
王注:()只含零向量的向量组没有极大无关组 (2)一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身 (3)一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示 王工士 定理4-6 个向量组线性无关的充分必要条件是,它的极大线性无关组 就是其本身。 定理4-7一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示,且表示方法唯一 证明分析(1)由极大无关组的定义知任一向量都能由 中它的极大无关组线性表示 (2)用反证法证明表示是唯一的 上页
注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组. （2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。 （3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示 一个向量组线性无关的充分必要条件是,它的极大线性无关组 就是其本身。 定理4-6 定理4-7 一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示,且表示方法唯一 证明分析（1）由极大无关组的定义知任一向量都能由 它的极大无关组线性表示 (2)用反证法证明表示是唯一的
2 4 2 例如:在向量组a133/s/-2 中, 5 4 首先a1,C2线性无关,又a1,C2,C3线性相关, 所以a1,C2组成的部分组是极大无关组。 还可以验证2,C3也是一个极大无关组。 注:一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。 上页
例如：在向量组 1 2 3 中， 2 4 2 1 2 1 , , 3 5 4 1 4 1 − − − = = = − 1 2 首先 , 线性无关， 又 1 2 3 , , 线性相关， 所以 1 2 , 组成的部分组是极大无关组。 还可以验证 2 3 , 也是一个极大无关组。 注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的
向量组的极大无关组不唯一,但每一个极大无关组都 与向量组等价,所以 定理4-8向量组的任意一个极大线性无关组都与向量组 本身等价。 证明:设a1,an,…a1是向量组a1,a2,…,a, 的任一极大线性无关组 a1,an2,a1与a12,…,a可以相互表示。 故向量组的任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。 由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量,可得 上页
定理4-8 向量组的任意一个极大线性无关组都与向量组 本身等价。 向量组的极大无关组不唯一，但每一个极大无关组都 与向量组等价，所以： 证明: 设 1 2 , , , 是向量组 s r i i i , , 1 2 的任一极大线性无关组. r i i i , , 1 2 与 1 2 , , , s 可以相互表示。 故向量组的任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。 由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得
定理:一个向量组的任意两个极大无关组等价, 且所含向量的个数相同 44.3向量组的秩维数和基 定义2:向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩,记作r(x1,a2,,C,) 9S 2 2 1 2 例如:向量组ax1= 92 a 的 3 5 903 秩为2。 上页
一个向量组的任意两个极大无关组等价， 且所含向量的个数相同。 定理： 4.4.3 向量组的秩,维数和基 定义2：向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩, 记作 1 2 ( , , , ) s r 例如： 向量组 1 2 3 的 2 4 2 1 2 1 , , 3 5 4 1 4 1 − − − = = = − 秩为2